2017高考十年高考数学(理科)分项版 专题06 数列(北京专版)(解析版) 含解析

1. 【2006高考北京理第7题】设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()f n 等于( ）
（A ）2(8
1)7
n
-
（B ）1
2(8
1)7
n +-
（C ）3
2(8
1)7
n +-
(D ）4
2(8
1)7
n +-
【答案】D
【解析】依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和,根据等比数列的求和公式可得D
2. 【2008高考北京理第6题】已知数列{}n
a 对任意的*
p q ∈N ，满足
p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ )
A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21- 【答案】C
考点：数列
3. 【2010高考北京理第2题】在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，公比｜
q ｜≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 【答案】C
【解析】
试题分析：a 1＝1,a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝53
a ＝51
a q 10＝a 1q 10＝a 11，∴m ＝11.
考点：等比数列的通项公式.
4。

【2014高考北京理第5题】设{}n
a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”
是“{}n
a 为递增数列"的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】
试题分析：对等比数列}{n
a ,若1>q ，则当01
<a
时数列}{n a 是递减数列;若
数列}{n
a 是递增数列，则}{n
a 满足01
<a
且10<<q ,故当“1>q "是"数列}{n a 为
递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.
考点:等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定，容易题. 5. 【2007高考北京理第10题】若数列{}n
a 的前n 项和210(123)n
S
n n n =-=，，，,
则此数列的通项公式为 ;数列{}n
na 中数值最小的项是第 项．
6. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()k
k
k
P x y ，处，其
中1
1x
=，11y =，当2k ≥时,
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤
⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎨
--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，．
()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =,(0.2)0T =．
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【答案】（1,2） （3， 402） 【解析】
试题分析： T ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-5251k T k 组成的数列为1,0，0,0，0，1, 0，0,0,0，1,
0，0，0，0,1……（k=1,2，3，4……)。

一一带入计算得：数列{}n
x 为
1,2，3,4,5，1，2,3，4，5，1，2，3，4,5……；数列{}n
y 为1，1,1,1，
1,2，2，2，2，2,3,3,3,3,3,4，4,4，4，4……。

因此,第6棵树种在 （1，2),第2008棵树种在（3, 402）. 考点：数列的通项
7。

【2009高考北京理第14题】已知数列{}n
a 满足：
434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________。

【答案】1,0 【解析】
试题分析：依题意，得2009
450331a
a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====. ∴应填1,0.
考点:周期数列等基础知识。

8. 【2011高考北京理第11题】在等比数列{}n
a 中，若11
2a
=
,4
4a =-，则公比q =________；1
2
||||||n a a
a ++
+=________。

【答案】2-
11
22
n --
9。

【2012高考北京理第10题】已知}{n
a 等差数列n
S 为其前n 项和.若
2
1
1=
a ,32a S =，则2a =_______. 【答案】12=a ，n n S n 41412+=
考点：等差数列的通项公式,前n 项和。

［]
10. 【2013高考北京理第10题】若等比数列｛a n ｝满足a 2＋a 4＝20，
a 3＋a 5＝40,则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.
【答案】2 2n ＋1－2 【解析】［]
试题分析：由题意知3
52440
220
a
a q a a +===+.
由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2）＝a 1q （1＋q 2）＝20，
∴a 1＝2。

∴S n ＝21212
n (-)
-＝2n ＋1－2。

考点:等比数列的通项公式，前n 项和.
11。

【2014高考北京理第12题】若等差数列{}n
a 满足7
897100,0a
a a a a ++>+<,
则当n = 时,{}n
a 的前n 项和最大。

【答案】8
考点:等差数列的性质，前n 项和的最值,容易题.
12. 【2005高考北京理第19题】（本小题共12分）［］ 设数列⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=≠=+.
,41,,21,41}{1
1为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n n
n n 记.,3,2,1,4
1
12 =-=-n a b
n n
(Ⅰ）求a 2,a 3;
（Ⅱ）判断数列}{n
b 是否为等比数列，并证明你的结论;［］
(Ⅲ）求).(lim 21
n n b b b
+++∞
→
【答案】 解：（I ）
213211
,44
111.
228a a a a a a =+
=+==+
（II ）
13. 【2006高考北京理第20题】（本小题共14分） 在数列{}n
a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,
n
n n a
a a n --=-=,则称{}n
a 为
“绝对差数列”。

(Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； (Ⅱ）若“绝对差数列"{}n
a 中,20
213,0a
a ==,数列{}n
b 满足12n n n n b a a a ++=++，
1,2,3,
n =，分别判断当n →∞时,n
a 与n
b 的极限是否存在，如果存在，求
出其极限值；
(Ⅲ)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。

【答案】
【解析】(Ⅰ）1
2345673,1,2,1,1,0,1a
a a a a a a =======，89101,0, 1.a a a ===（答案不
惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列{}n
a 中20
3a
=，210a =。

所以自第 20 项开始，
该数列是20
3a
=，210a =，2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======⋅⋅.⋅
即自第 20 项开始。

每三个相邻的项周期地取值 3，0，3。

所以当
n →∞时,n a 的极限
不存在。

当20n ≥时，
126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞
=
14。

【2007高考北京理第15题】（本小题共13分）数列{}n
a 中，
12a =,1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，)，且1
2
3
a a a ，，成公比不为1的等比数
列．
（I)求c 的值； （II ）求{}n
a 的通项公式．
15. 【2009高考北京理第20题】（本小题共13分） 已知数集{}()1
2
12,,
1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的
(),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A . w 。

w 。

w 。

c.o.m
(Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a
=，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明:当5n =时,1
2
3
4
5
,,,,a a a a a 成等比数列.。

k 。

s 。

5. w 。

w 。

w 。

c.o.m
【答案】（Ⅰ)由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P 。

由于66123612,13,16,23,,,,,,231236
⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6,
∴该数集具有性质P 。

（Ⅱ）∵{}1
2
,,
n A a a a =具有性质
P,∴n n
a a 与n
n
a a 中至少有一个属于
A ，
由于1
21n a
a a ≤<<
<，∴n n n a a a >,故n n a a A ∉。

w 。

w 。

w 。

c 。

o.m 从而1n
n
a A a =∈，∴11a =. w 。

w.w 。

c 。

o 。

m
∵1
21n a
a a =<<
<，
∴k
n
n a a
a >，故()2,3,
,k n a a A k n ∉=。

由A 具有性质P 可知()1,2,3,
,n
k
a A k n a ∈=.
又∵1
21
n
n
n n
n
n a a a a a a a a -<
<<
<，
∴211211,
,,n
n
n n n n n
n a
a a a
a a a a a a a --====，w.w.w 。

.c 。

o 。

m
从而1211
21
n
n
n n
n n n
n a a a a a a a a a a a a --=++
+=++++,
∴
12111
12n
n n
a a
a a a a a ---+++=+++。

w.w.w.。

c 。

o.m
16。

【2013高考北京理第20题】（本小题共13分）已知｛a n ｝是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ,d n ＝A n －B n .
（1）若{a n ｝为2,1，4，3，2,1,4，3，…,是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *,a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3,d 4的值；
(2）设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3,…）的充分必要条件为｛a n}是公差为d的等差数列;
(3）证明：若a1＝2,d n＝1(n＝1，2，3，…），则｛a n｝的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
【答案】
17。

【2015高考北京，理6】设{}
a是等差数列. 下列结论中正确的
n
学必求其心得，业必贵于专精
是( ）
A ．若12
a a
+>，则2
30
a
a +> B ．若13
a a
+<,则1
2
0a a
+<
C ．若
1
2
0a a <<，则2
a
D ．若1
0a <,则()()2
1230
a
a a a -->[］
【答案】C
【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1
232,1,4a
a a ==-=-，120a a +>而
230
+<a a ，A 错误,B 举同样反例1
232,1,4a
a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ,B
错误,下面针对C 进行研究,{}n
a 是等差数列，若1
2
0a a <<，则1
0,a >设公
差为d ，则0d
>,数列各项均为正,由于
22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111
220a ad d a ad d =++--=>,则
2113a a a >1a ⇒>C 。

考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体,考查不等关系问题,重 点是对知识本质的考查。