奥数讲义数论专题：余数及同余

华杯赛数论专题：余数及同余
一、带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：
（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商
（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商
二、同余的概念
两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m
来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.
同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.
由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.
三、同余的性质
1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.
2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.
3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.
4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.
5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），
a×c≡b×d （mod m）.
6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.
例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.
【答案】95
【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于
43的约数，所以所求的两位数是95.
例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.
【答案】39，13或3.
【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－
947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.
例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？
【答案】35
【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

所有这两种数只能选出一种，我们选个数较多的一种，即1、4、7、10、…、100.此外，被3整除的数只能选出一个，所以最多可以选出34+1=35个数.
例4.求除以7的余数.
【答案】5
【解答】方法一：由于（143被7除余3），
所以（被7除所得余数与被7除所得余数相等）
而，（729除以7的余数为1），
所以.故除以7的余数为5.
方法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：
于是余数以6为周期变化.所以.
例5.的末三位数是多少？
【答案】625
【解答】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于的平方再乘以的末三位.
而
其末三位为；然后来看前者.它是一个奇数的平方，设其为（k为奇
数），由于，而奇数的平方除以8余1，所以是8的倍
数，则是200的倍数，设，则
，
所以它与105的乘积，所以所求的末三位都是625.
例6.有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和.
【答案】360
【解答】观察条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。

因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3。

将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即
.
所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360。

例7.三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15.则这三个数除以11的余数之和是.
【答案】12
【解答】三个连续的两位数除以5的余数之和是7，那么只可能是3+4+0=7，所以第一个数被5除余3；同样方法可以得出第一个两位数除以7余2，除以9余4或者7.
如果第一个两位数除以9余4，那么由于它除以7余2，所以它只能是7×9-5=58，满足除以5余3的要求.这时三个数除以11的余数依次是3、4和5，和是12.
如果第一个两位数除以9余7，那么由于它除以5余3，所以它只能是5×9-2=43或者5×9×2-2=88，但是它们都不满足除以7余2的要求.
因此题目所求的余数之和是12.
例8.定义表示a、b中较大的数除以较小的数所得的余数，例如
，那么在小于100的数中，使得的自然数x有个.
【解答】如果x大于29，那么x应该是29的倍数加上5，这样的数有29×1+5=34，29×2+5=63，29×3+5=92.
如果x小于29，那么x应该是29-5=24的约数，并且大于5，这样的数有6、8、12、24.
所以满足条件的数一共有7个.
例9.一个自然数的7倍除以231所得的余数是28，它的11倍除以231所得的余数是143，那么它的15倍除以231所得的余数是.
【答案】27
【解答】
方法一：由已知，这个数除以33的余数是4，除以21的余数是13，
因此它除以231的余数是202，
那么它的15倍除以231的余数是202×15÷231=13……27.
方法二：注意到11×2-7=15，所以所求余数为143×2-28≡258≡27（mod 231）.
例10.有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少？
【答案】20
【解答】
因为63+90+130-25=258，所以除数一定是258的约数.而258=2×3×43
因为25÷3>8，说明至少有一个余数大于8，因此除数大于9.但又显然小于63（否则它去除63的余数就是63），所以满足要求的除数只可能是43，经检验，它除63，90，130的余数分别是20，4，1，满足要求.
所求最大余数是20.
例11.在小于1000的正整数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？
【答案】99
【解答】余数只能是0至17，用18及33的公倍数分别加上0~17均可，小于1000的自然数中18与33的公倍数有198、396、594、792、990，前四个数分别加上0至17各得18个数，990只能加上0到9这十个数，此外1到17这17个数也符合题目的要求.
综上所述共18×4+10+17=99个.
例12.甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？
【答案】17
【解答】某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍，也即某数A除甲数与除乙数的2倍及丙数的4倍余数相同，
939×2=1878，393×4=1572；1878-1572=306=2×3×3×17，1572-603=969=3×17×19，
306与969的公约数有：3、17和51，3可以整除甲、乙、丙三个数，51经检验不符合，17符合，所以，A=17.。