2019年9月贵州省遵义市高三第一次统一考试数学(理)试题

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2019年9月贵州省遵义市高三第一次统一考试数学（理)试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合{|110}A x x =-<，集合{|lg 1}B x x =，则A B =（ ）
A.{|110}x x -≤<
B.{|110}x x -≤≤
C.{|010}x x <<
D.{|010}x x <≤
2．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．已知两个单位向量a 和b 的夹角为120︒，k ∈R ，则||ka b +的最小值为（ ）
A.
34
D.
32
4．已知tan α=2
π
απ<<，则sin cos αα-=（ ）
A B C D 5．已知：6log 5a =，0.3b π=，1
ln 2
c =，则下列结论正确的是（ ） A.a b c <<
B.b a c <<
C.c b a <<
D.c a b <<
6．执行如图所示程序框图，若输入的4k =，则输出的s =（ ）
A.
34
B.
45
C.
56
D.
67
7．已知函数()sin f x x x =-，则不等式2
(1)(33)0f x f x -++>的解集是
A ．(,4)(1,)-∞-+∞
B ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞
C ．(1,4)-
D ．(4,1)-
8．如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A 1
B ．
)2
4
1
π-
C ．
)2
4
1
π+
D ．
16
9．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同
B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点
C.把函数()f x 的图像向右平移2π
个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-
)4
π
上都是增函数
10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a，若数列{}n a的前n项和为n S，则47
S=（）
11．已知边长为4的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将三角形ABC 折成直二面角B AD C
--，则经过A，B，C，D球的表面积为（）
A.12π
B.16π
C.20π
D.24π
12．已知F1,F2分别是双曲线C：F2
F2−F2
F2
=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称
点恰落在以F1为圆心|FF1|为半径的圆上，则双曲线F的离心率为( )
B.√3 D.√2
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．直线:3410l x y +-=与圆222
:C x y a +=（其中a R ∈）无公共点，则实数a 的取值范围是_______．
14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为12V V 、，则12:V V 等于_______．
15．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则4
4
a b =_____． 16．已知函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12
1m n
++的最小值为_____．
三、解答题
17．设函数2()sin(2)2cos 16
f x x x π
=-
+-．
（Ⅰ）当[0,]2
x π
∈时，求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）ABC ∆中，角A
，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1()2
f A =，2223a b =，1
c
=
，求ABC ∆的面积．
18．未来创造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从
中随机抽取10个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：m μ）.
（1）计算平均值μ与标准差σ；
（2）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布2
(,)N μσ，该团队到
工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：m μ）：86、95、103、
109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试为什么
参考数据：(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，
30.95440.87=，40.99740.99=，20.04560.002=.
19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，90ABC ∠=︒，
AB =1BC =，AD =4CD =，E 为CD 的中点.
(1)求证：AE 平面PBC ；
(2)求二面角B PC D --的余弦值.
20．顺次连接椭圆2223:1(0)x y C a b a b
+=>>的四个项点，
面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M(3,0)-，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()MA MB R λλ⋅∈恒成立，求λ的最小值．
21．已知()ln f x x =，31
()3g x x ax =-+-
．
（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调性；
（Ⅱ）记max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，若()max{(),()}(0)F x f x g x x =>，且函数()y F x =恰有三个零点，求实数a 的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x t
y m t
=--⎧⎨=+⎩（其中t 为参数）.
以坐标原点O 为原点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （I ）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P ，Q 分别在曲线1C ，2C 上运动，若P ，Q 两点间距离的最小值为求实数m 的值.
23．已知()2
221f x x x a =+-+
（1）当3a =-时，求不等式()2
f x x x >+的解集；
（2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
对集合B 内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案. 【详解】
集合B 中，解不等式1lg x ≤，得010x <≤， 所以集合{}
=010B x x <≤ 而集合{|110}A x x =-< 所以A
B ={|010}x x <<，
故选C 项. 【点睛】
本题考查对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题. 2．A 【解析】 【分析】
对条件中的式子进行计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案. 【详解】
由(1)4z i -=，得4
221z i i
=
=+- 所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限. 故选A 项. 【点睛】
本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题. 3．B 【解析】 【分析】
对||ka b +平方，然后将单位向量a 和b 的模长和夹角带入，得到关于k 的函数，然后得到
其最小值，从而得到答案. 【详解】
(
)
222
2||=2ka b k a a b b ++⋅+
因为a 和b 是单位向量，且夹角为120︒ 所以()
2
22
2
||
=2ka b k a ka b b ++⋅+
2
2
22cos ,a a b b a k k b =++
21k k =-+
2
1324k ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭34≥，
所以||ka b +3
2
≥
，
所以||ka b +【点睛】
本题考查向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题, 4．A 【解析】
∵tan 2
π
ααπ=<<
∴23
πα=
∴1sin 2
αα=
=-
∴sin cos αα-= 故选A 5．D 【解析】 【分析】
分别将,,a b c 与特殊值0,1进行比较，然后判断出其大小关系，得到答案. 【详解】
因为()6log 501a =∈，，()0.3
1+b π
=∈∞，，()1
ln ,02
c =∈-∞
所以c a b <<， 故选D 项. 【点睛】
本题考查比较指数值和对数值的大小，属于简单题. 6．C 【解析】 【分析】
根据程序框图的要求，得到每次循环对应的,s n 的值，再根据判断语句，结束循环，输出s 的值，得到答案. 【详解】
根据程序框图的循环语句可知
第一次循环，4,0,0k n s ===，此时n k ≤，1n =，1
12
s =⨯； 第二次循环，14,1,12k n s ===⨯，此时n k ≤，2n =，11
+1223s =⨯⨯；
第三次循环，114,2,+1223k n s ===⨯⨯，此时n k ≤，3n =，111++122334s =⨯⨯⨯； 第四次循环，1114,3,++122334
k n s ===⨯⨯⨯，此时n k ≤，4n =，1111+++12233445
s =⨯⨯⨯⨯；
第五次循环，11114,3,+++12233445
k n s ===⨯⨯⨯⨯，此时n k ≤，5n =，11111++++1223344556
s =⨯⨯⨯⨯⨯；
第六次循环，4,5k n ==，不满足n k ≤，循环停止， 输出11111++++1223344556s =
⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111223344556
=-+-+-+-+-
5=6
故选C 项. 【点睛】
本题考查根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题. 7．C 【解析】 【分析】
由题意，根据函数的解析式，求解函数()f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为2
1(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】
由题意，函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 是定义域上的单调递增函数，
又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x 定义域上的奇函数， 又由不等式2
(1)(33)0f x f x -++>可转化为 2
(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+ 即2
1(33)x x ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<， 即不等式的解集为(1,4)-，故选C. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】
利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可. 【详解】
阴影部分的面积()(
)
4
40
cos sin sin cos 1S x x dx x x π
π
=
-=+=⎰，正方形面积为2
4
π，所
)
2
4
1
4
π=
.
【点睛】
本题主要考查与面积有关的几何概型. 9．C 【解析】 【分析】
先求出()f x 的导数，结合解析式的特点来判断. 【详解】
()sin g x cosx x =+，所以选项A 正确；由极值点定义可知选项B 正确；把()f x 的图像向
右平移2
π
个单位，得到()sin()sin cos 22y cos x x x x ππ=-+-=-与()g x 不相等；故选
C. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响. 10．B 【解析】 【分析】
先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和. 【详解】
根据题意杨辉三角前9行共有12345678945++++++++= 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9， 所以前47项的和47S =0128222219+++⋅⋅⋅+++
92119521=-++=
故选B 项. 【点睛】
本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】
首先对平面图形进行转换，将三棱锥补齐成长方体，进一步求出长方体外接球体的半径，最后求出所求球的表面积． 【详解】
如图所示，边长为4的等边三角形ABC ，
D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABC 折成直二面角B AD C --.
则AD =2BD CD ==,
将三棱锥D ABC -可补成一个长方体， 则经过A ，B ，C ，D 球为长方体的外接球， 设球的半径为r
故：()2
2222r AD BD CD =++
124420=++=
所以r =
所以其表面积2420S r ππ==. 故选C 项. 【点睛】
本题考查通过补齐图形求三棱锥的外接球半径及表面积，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】
求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，由勾股定理得关于c,a 的方程，即可求出双曲线的离心率. 【详解】
由题意，F 1(−c,0),F 2(c,0) ，一条渐近线方程为y =b
a x , 则F 2到渐近线的距离为√
b 2+a 2=b ，
设F 2关于渐近线的对称点为M,F 2M 与渐近线交于A ， ∴|MF 2|=2b,A 为F 2M 的中点，
又O 是F 1F 2的中点，∴OA//F 1M,∴∠F 1MF 2为直角, ∴ΔMF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2， ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a,∴e =2，故选C. 【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出e ;②构造a,c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 13．11(,0)(0,)55
- 【解析】 【分析】
直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，将圆的圆心和半径表示出来，然后利用公式，得到关于a 的不等式，解出答案. 【详解】
圆222
:C x y a +=（其中a R ∈）,圆心为()0,0，半径为a ，且0a ≠
因为直线:3410l x y +-=与圆222
:C x y a +=无公共点 则圆心()0,0直线l 的距离大于半径，
a >，1
5a <且0a ≠
解得a 的范围为11(,0)(0,)55
-. 【点睛】
本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于简单题. 14．1∶3 【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出． 【详解】
由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．
3144133V ππ=⨯=，
221
2343
V ππ=⨯⨯=，
12:1:3V V =.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，求球和圆锥的体积，属于简单题. 15．
238
【解析】 【分析】
根据等差数列中等差中项的性质，将所求的17
4417a a a b b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77
S T ，从而得到答案. 【详解】
因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列
所以7
47
4141422a a b b a a b b ==++ ()
()177177
7272a a S b b T +==+
37223
718
⨯+=
=+
【点睛】
本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
16．
43
【解析】 【分析】
先由函数()f x 得到定点A 坐标，再把A 代入直线，得到,m n 的关系，再由基本不等式得到答案. 【详解】
函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1--， 所以()2,1A --,
将()2,1A --代入到直线40mx ny ++=中，得到24m n +=， 即()216m n ++=
所以
121m n ++()11
11622m n m n ⎛⎫+⨯⨯ ⎪+⎝=++⎭⎡⎤⎣
⎦
()4112261m n
m n +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦
()14222263
≥
+⨯+= 当且仅当1
,32m n ==时，等号成立.
所以答案为：4
3
【点睛】
本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.
17．（Ⅰ）1[,1]2-；（Ⅱ）32
+ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）对()f x 进行化简，得到正弦型函数，然后根据x 的范围，求出26
x π
+的范围，得
到()f x 的值域. （Ⅱ）由1
()2
f A =
得到A 的值，根据2223a b =和正弦定理得到B 的值，
再由()sin sin C A B =+求出sin C ，根据1c =和正弦定理，得到b ，由面积公式求
出ABC ∆的面积. 【详解】
解：（Ⅰ）2()sin(2)2cos 16
f x x x π
=-
+- sin 2cos
cos 2sin
cos 26
6
x x x π
π
=-+
12cos 2sin(2)26
x x x π
=
+=+， ∵[0,]2
x π
∈，∴726
6
6
x π
π
π≤+
≤
， ∴1sin(2)126
x π
-
≤+≤． ∴函数2()sin(2)2cos 16f x x x π
=-
+-的值域为1
[,1]2
- （Ⅱ）∵0A π<<，∴1326
6
6
A π
π
π
<+
<
， 又∵1()2f A =
，∴1sin(2)62
A π+=， ∴5266A ππ
+=，即3
A π=．
由2223a b ==A B =，∴sin B ． ∵203B π
<<
∴4
B π=
∴sin sin()
C A B =+，∵sin sin c b C B
==，∴2b =
∴1sin 2ABC S bc A ∆==
． 【点睛】
本题考查三角函数的化简，求正弦型函数的值域，正弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.
18．(1) 105m μμ=， 6m σμ= (2) 机器异常，需要进一步调试 【解析】 【分析】
（1）由均值与方差的定义公式计算；
（2）由正态分布求得概率(33)P Z μσμσ-<<+后知零件内径在(87,123)外的概率只有，而86在(87,123)外，因此机器异常． 【详解】 （1）μ=
979798102105107108109113114
10
+++++++++ 105m μ=，
2σ=
()()()()2
2
2
2
222222
887302348910
-+-+-+-++++++ 36=，
所以6m σμ=.
（2）结论：需要进一步调试.
理由如下：如果机器正常工作，则Z 服从正态分布(
)2
105,6
N ，
(33)P Z μσμσ-<<+ ()871230.9974P Z =<<=，
零件内径在()87,123之外的概率只有0.0026，
而()8687,123∉，根据3σ原则，知机器异常，需要进一步调试. 【点睛】
本题考查均值与方差公式，考查正态分布，解题时由相应公式计算即可．属于基础题． 19．（1）详见解析；（2）5
7
. 【解析】 【分析】
（1）分别计算∠BCA 和∠CAE 得出两角相等，得出AE ∥BC ，故而AE ∥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小． 【详解】
（1）证明：
3,1,90AB BC ABC ==∠=
2,60AC BAC ∴=∠=
在ACD ∆中，
22222,4,AD AC CD AC AD CD ===∴+=
ACD ∴∆是直角三角形
又E 为CD
的中点，1,tan 2AD AE CD CE ACD AC
∴=
=∠==60,ACD ACE ∴∠=∴∆是等边三角形， 60,//CAE BCA BC AE ∴∠==∠∴
又AE ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC
//AE ∴平面PBC
（2）
由（1）可知90BAE ∠=，以点A 为原点，以,,AB AE AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(
))
0,0,2,,P B
)()
,,C
D
()0,2,0,E
(
)(
)3,0,2,3,1,2,PB PC ∴=
-=
- ()
()3,3,2,0,2,2PD PE =--=-
设()111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则0,0,n PB n
PC ⎧⋅=
⎨⋅=⎩即1111120,20,
z y z ⎧-=⎪
+-=
设11x =，则1130,,1,0,22y z n ⎛⎫
==
= ⎪ ⎪⎝⎭
设()222,,m x y z =为平面PBC 的法向量，则0,0,m PE m
PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22222220,
20,
y z y z -=⎧⎪
+-=
设21y =，则2231,,1,13z x n ⎛⎫==
= ⎪
⎪⎝⎭
353
cos ,77
n m
n m n m
+
⋅∴===⋅⋅ ∴二面角B PC D --的余弦值为
57
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行。

20．（Ⅰ）2
212x y +=；（Ⅱ）312
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题意列出,a b 的方程组，解出,a b ，得到椭圆方程；（Ⅱ）按斜率不存在和存在分别表示出直线l ，直线与椭圆联立，得到1212,x x x x +，将MA MB ⋅坐标表示出来，代入
1212,x x x x +，得到关于斜率k 的不等式，从而求出其最大值，得到λ的范围.
【详解】
解：
（Ⅰ）由已知得：221
2223
a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪+=⎩
解得a =
1b =，
所以，椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y
()()()()112212123,3,33MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，
当直线l 垂直于x 轴时，121x x ==，12y y =-，且2
112
y =
此时()14,MA y =，()24,MB y =，∴312
MA MB ⋅=
， 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线:(1)l y k x =-，
由22
(1)
22y k x x y =-⎧⎨
+=⎩
得2222)202142(-=+-+x k x k k
∴2
122412k x x k +=+，2122
2212k x x k -=+，
∴()()()2
1212123911MA MB x x x x k
x x ⋅=++++--
()()()22
2
2
12122
317
13921
k k x x k x x k k +=++-+++=+ 211731312212
k ⎛⎫=
-< ⎪+⎝⎭ 要使不等式()MA MB λλ⋅≤∈R 恒成立， 只需()
max
312MA MB λ≥⋅=
，即λ的最小值为31
2
【点睛】
本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，椭圆中的范围问题，属于中档题.
21．（Ⅰ），当0a 时，()g x 的单减区间为(,)-∞+∞；当0a >时，()g x 的单减区间为
(,-∞和)+∞，单增区间为(．（Ⅱ）3143a ⎛⎫
∈+ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（Ⅰ）对()g x 求导，得到()g x '，然后分0a ≥和0a <，分别要求()g x '的正负，从而得到()g x 的单调区间；（Ⅱ）分0a ≤和0a >进行讨论，当0a ≤时，可知证明()y F x =至多
有两个零点，不合题意，当0a >时，先得出()g x 关于0,⎛ ⎝⎭
对称，所以()F x 要有3
个零点，则()g x 必须在(0,1)上取到2个零点，得到关于a 的不等式组，解出a 的范围，得到答案. 【详解】
解：（Ⅰ）31()3g x x ax =-
+R ， 2()g x x a '=-+．
①当0a 时，()0g x '，所以()g x 的单减区间为(,)-∞+∞；
②当0a >时，令()0g x '>
，得(x ∈，
令()0g x '<
，得(,(,)x a ∈-∞+∞，
综上得，当0a 时，()g x 的单减区间为(,)-∞+∞；
当0a
>时，()g x 的单减区间为
(,-∞
和)
+∞，单增区间为(． （Ⅱ）()max{(),()}(0)F x f x g x x =>，
()ln f x x =的唯一一个零点是1x =，∴2()(0)g x x a x '=-+>，
由（1）可得：（ⅰ）当0a 时，()g x 的单减区间为(,)-∞+∞，
此时()y F x =
至多有两个零点，不符合题意 （ⅱ）当0a >时，令()()4G x g x =+
， 则31()3
G x x ax =-+的图象关于点(0,0)对称， 即
()g x 的图象关于0,⎛
⎝⎭中心对称， 注意到ln x 在(1,)+∞上恒正，
()F x 要有3个零点，则()g x 必须在(0,1)上取到
2个零点，
如图，
∴极大值0g >
，且(1)0g <
则有310(1)0,30103
4a g g a ⎧-+<⎪<⎧⎪⎪⇒⎨⎨>⎪
⎩⎪-+>⎪⎩，
3143
a ⇒<<+，
综上，31,
443a ⎛⎫∈+ ⎪⎝
⎭． 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间，极大值和零点问题，属于难题.
22．（I ）1:10C x y m +-+=，222:(2)(2)8C x y +--=；（II ）3m =-或13m =.
【解析】
【分析】
（I ）消去参数后可得1C 的普通方程，利用cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得2C 的直角方程. （II ）利用PQ 的最小值得到圆心到直线的距离，从而可求出m .
【详解】
（I ）曲线1:10C x y m +-+=；曲线2C 的极坐标方程为
4(sin cos )4πρθθθ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，即24sin 4cos ρρθρθ=+， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222:(2)(2)8C x y +--=
（II ）因为曲线2C 的半径r =P ，Q 分别在曲线1C ，2C 上运动，P ，Q 两点
间距离的最小值为2C 的圆心到直线1C 的距离，
=3m =-或13m =. 【点睛】
极坐标方程与直角方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，必要时须在给定方程中构造cos ,sin ρθρθ．在极坐标系中，当动点在不同的几何对象上运动变化时，我们可把它们转化到直角方程，在平面直角坐标系中讨论它们的位置关系．
23．（1）1x x ⎧⎪-⎨⎪⎩或（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】
【分析】
（1）将3a =-代入()f x ，对x 分类讨论去绝对值再求解集。

（2）不等式()0f x ≥的解集为实数集R 等价于2
221a x x ≥---恒成立。

【详解】
（1）当3a =-时，()2
2213f x x x =+--， 当0x ≤时，由()2
f x x x >+得220x x -->，得1x <-，或2x >， 所以1x <-. 当102
x <≤时 ,由 ()2f x x x >+得 2320x x -->,
解得x <x > 所以x φ∈ 当12
x >时，由()2f x x x >+得240x x +->，
解得12x -<，或12
x ->.
所以x >
综上 当3α=-时，()2f x x x >+的解集为1x x 或⎧⎪-⎨⎪⎩. （2）()0f x ≥的解集为实数集2
221R a x x ⇔≥---， 当12x ≥时，22221221x x x x ---=--+ 2
1312222x ⎛⎫=-++≤- ⎪⎝
⎭， 当12x <时，22221221x x x x ---=-+- 21112222x ⎛⎫=---<- ⎪⎝⎭，
2
226
x x
∴---的最大值为
1
2 -.
∴实数a的取值范围为
1
,
2
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
解含有两个以上绝对值的不等式经常用零点分段法去绝对值，解不等式可转化为函数的恒成立问题。