山东省枣庄市舜耕中学2015年高考数学模拟试卷(文科)(4月份) 含解析

2015年山东省枣庄市舜耕中学高考数学模拟试卷(文科）（4月
份)
一．选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数,则（a+bi)2=（）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．集合A=｛x｜0≤x≤2｝，B=｛x|x2﹣x＞0｝,则A∩B=（）
A．R B．（﹣∞，0）∪(1,2）C．∅D．（1，2]
3．已知,，且,则=（）
A．（2，﹣4）B．(﹣2,4）C．（2，﹣4）或(﹣2，4）D．(4，﹣8）
4．若条件p：|x|≤2，条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
5．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2,则该几何体体积为（）
A．B．C．D．
6．已知点M（x,y）的坐标满足,N点的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点,
则的最小值是（）
A．12 B．5 C．﹣6 D．﹣21
7．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0)的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为(）
A．B．1 C．2 D．4
8．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的平均重量为（）
A．13 B．12 C．11 D．10
9．已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C:x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2,则k的值为（）
A．3 B． C．2D．2
10．已知f（x）=，不等式f(x+a）＞f（2a﹣x）在［a，a+1］上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2) B．（﹣∞，0) C．(0，2）D．（﹣2,0)
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．函数的定义域为．
12．某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数:
①f（x）=cosx；
②f(x）=
③f(x）=lgx;
④f（x）=,
则可以输出的函数的序号是．
13．已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为．14．已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为．
15．给定方程:（）x+sinx﹣1=0，下列命题中:
①该方程没有小于0的实数解;
②该方程有无数个实数解;
③该方程在（﹣∞,0）内有且只有一个实数解；
④若x0是该方程的实数解,则x0＞﹣1．
则正确命题是．
三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．
甲80 110 120 140 150
乙100 120 x 100 160
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120g/km．
(1)求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；
（2)从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？
17．已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．
（1）求f（x)的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,f（A)=﹣1,a=，且向量=(3，sinB）与=（2,sinC）共线,求边长b和c的值．
18．如图，ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2)若AF∥DE，DE=3AF,点M在线段BD上，且BM=BD，求证：AM∥平面BEF．
19．已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a n．S n满足(t﹣1)S n=t（a n﹣2）（t为常数，t≠0且t≠1）．（1）求数列｛a n}的通项公式；
（2）设b n=（﹣a n）•log3（1﹣S n），当t=时，求数列｛b n}的前n项和T n．
20．已知函数f（x）=e x，g（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
（1)若f（x)的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值；
（2）若a=c=1，b=0，试比较f（x）与g(x）的大小,并说明理由．
21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A,B,设直线MA与MB 的斜率分别为k1,k2；
①若直线l过椭圆的左顶点，求k1，k2的值；
②试猜测k1，k2的关系，并给出你的证明．
2015年山东省枣庄市舜耕中学高考数学模拟试卷（文科）
（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知a,b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．
【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1,
∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．集合A=｛x|0≤x≤2｝，B={x｜x2﹣x＞0｝,则A∩B=（)
A．R B．(﹣∞，0)∪(1，2）C．∅D．（1，2]
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解:B={x｜x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0｝,
则A∩B={x|1＜x≤2},
故选:D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础．
3．已知，，且,则=（)
A．（2，﹣4) B．（﹣2,4) C．（2,﹣4）或（﹣2,4) D．（4,﹣8）
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求出．
【解答】解：设=（x，y）,
由题意可得,
解得或，
∴=(2,﹣4）或（﹣2，4）．
故选:C．
【点评】本题考查向量模的求法,向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等．
4．若条件p：|x｜≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（) A．a≥2 B．a≤2 C．a≥﹣2 D．a≤﹣2
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】先解绝对值不等式求出条件p，然后根据充分不必要条件的概念即可求得a的取值范围．
【解答】解:p：﹣2≤x≤2，q：x≤a；
p是q的充分不必要条件；
∴a≥2．
故选A．
【点评】考查解绝对值不等式，充分不必要条件的概念，并且可借助数轴求解．
5．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（)
A．B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据求解组合体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知组合体是下部是半径为1的球体,上部是底面直径为2，母线长为2的圆锥,
该几何体体积为两个几何体的体积的和，即：
=．
故选：D．
【点评】本题考查三视图求解组合体的体积，判断组合体的形状是解题的关键．
6．已知点M（x,y）的坐标满足，N点的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原
点,则的最小值是（）
A．12 B．5 C．﹣6 D．﹣21
【考点】简单线性规划．
【分析】由=x﹣3y,设z=x﹣3y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合线性规划即可得到结论．
【解答】解：设z==x﹣3y,由z=x﹣3y得y=x﹣，
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分）：
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=x﹣的截距最大,
此时z最小，
由，解得，即A（3,8），
此时代入目标函数z=x﹣3y，
得z=3﹣3×8=﹣21．
∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣21．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及向量的数量积公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
7．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左．向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）
A．B．1 C．2 D．4
【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式,再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．【解答】解：把函数y=2sin（ωx﹣）(ω＞0）的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为：
y=2sin[ω(x+）﹣］=2sin（ωx+π），
向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为：y=2sin［ω（x﹣）﹣]=2sin （ωx﹣π）．
∵所得的两个图象对称轴重合，
∴ωx+π=ωx﹣π①，或ωx+π=ωx﹣π+kπ,k∈Z ②．
解①得ω=0，不合题意；
解②得ω=2k，k∈Z．
∴ω的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的平移,三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题．
8．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为(）
A．13 B．12 C．11 D．10
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】根据频率和为1,求出小组15～20的频率,再求样本数据的平均值即可．
【解答】解：根据频率分布直方图，得；
小组15～20的频率是
(1﹣0。

06+0.1）×5=0。

2,
∴样本数据的平均值是
7.5×0。

3+12.5×0。

5+17.5×0。

2=12．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均值的应用问题，是基础题目．
9．已知P(x,y）是直线kx+y+4=0(k＞0）上一动点,PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A 是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（）
A．3 B． C．2D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】利用PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，可得圆心到直线的距离PC最小，最小值为,由点到直线的距离公式可得k的值．
【解答】解:圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1）,半径是r=1，
∵PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，
∴圆心到直线的距离PC最小,最小值为，
∴由点到直线的距离公式可得=，
∵k＞0，∴k=2
故选：D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识,是中档题．
10．已知f（x）=,不等式f（x+a）＞f(2a﹣x)在[a，a+1］上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2) B．（﹣∞,0）C．（0,2）D．（﹣2,0）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1］上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．
【解答】解:二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；
∴该函数在（﹣∞,0］上单调递减；
∴x2﹣4x+3≥3；
同样可知函数﹣x2﹣2x+3在(0，+∞)上单调递减；
∴﹣x2﹣2x+3＜3；
∴f（x）在R上单调递减;
∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；
即2x＜a；
∴2x＜a在［a，a+1]上恒成立;
∴2(a+1)＜a；
∴a＜﹣2；
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故选：A．
【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．)
11．函数的定义域为{x｜x＞2且x≠3｝．
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得
【解答】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得,x＞2且x≠3
故答案为：｛x｜x＞2且x≠3｝
【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常考的基础型．
12．某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：
①f（x）=cosx；
②f（x）=
③f（x）=lgx；
④f（x）=，
则可以输出的函数的序号是④．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是输出满足条件（a）f（x)+f（﹣x）=0，即函数f（x)为奇函数；（b）f（x）存在零点,即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：
该程序的作用是输出满足条件：
（a）f(x）+f（﹣x)=0，即函数f（x）为奇函数;
（b）f（x）存在零点,即函数图象与x轴有交点．
由于f（x）=cosx不是奇函数，故不满足条件（a），
由于f（x)=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件（b），
由于f（x）=lgx为非奇非偶函数,故不满足条件（a），
∵f（x)=，
∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x）
即f（x）=是奇函数，
又∵f(0）==0,
∴函数f（x)=的图象与x轴有交点，
故f（x）=符合输出的条件，
故答案为:④．
【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键．
13．已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0,则实数a的值为1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由题意求导y′=acosx﹣sinx，从而可得acos0﹣sin0=1;从而解得．
【解答】解：y′=acosx﹣sinx，
∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，
而x﹣y+1=0的斜率为1;
故acos0﹣sin0=1；
解得,a=1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了导数的求法及其几何意义的应用,属于基础题．
14．已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的焦点为K,点A在抛物线上，且｜AK|=|AF｜，则△AFK的面积为32．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线﹣=1得右焦点为(4,0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得
到抛物线的方程和其准线方程,可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则｜AM｜=｜AF｜．可得|AK|=｜AM｜．可得｜KF｜=｜AF|．进而得到面积．
【解答】解:由双曲线﹣=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点,∴=4，
解得p=8．
∴抛物线的方程为y2=16x．
其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．
过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则｜AM|=｜AF|．
∴|AK｜=|AM｜．
∴∠MAK=45°．
∴｜KF|=｜AF|．
∴△AFK的面积为｜KF|2=32．
故答案为：32．
【点评】熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．
15．给定方程：（)x+sinx﹣1=0,下列命题中:
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在(﹣∞,0）内有且只有一个实数解；
④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．
则正确命题是②③④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用;三角函数的图像与性质．
【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质,可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性,可得方程有无数个正数解,故②正确；根据y=（)x﹣1的单调性与正弦函数的有界性,
分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解,当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．
【解答】解：对于①，若α是方程(）x+sinx﹣1=0的一个解，
则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，
此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；
对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，
当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1
且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1,
因此函数y=(）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0,+∞）上有无穷多个交点
因此方程()x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；
对于③，当x＜0时，
由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点
当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，
因此该方程在(﹣∞，0)内有且只有一个实数解,得③正确；
对于④，由上面的分析知，
当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函数y=（)x﹣1与y=﹣sinx的图象在(﹣∞，﹣1］上不可能有交点
因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．
故答案为:②③④
【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．
三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km)．
甲 80 110 120 140 150 乙
100
120
x
100 160
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
=120g/km ．
（1)求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性； （2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？ 【考点】概率的应用．
【专题】计算题；应用题；概率与统计． 【分析】（1）由平均数
=
=120求x,再求方差比较可得稳定性；
（2）符合古典概型，利用古典概型的概率公式求解． 【解答】解:（1）由=
=120得，
x=120；
=
=120； S 2甲= ［（80﹣120）2+（110﹣120）2+（120﹣120）2+(140﹣120）2+（150﹣120）2］=600; S 2乙= ［（100﹣120）2+（120﹣120）2+（120﹣120)2+(100﹣120）2+（160﹣120）2]=480； 因为S 2甲＞S 2乙；
故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好； （2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有=10种情况， 至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的情况有×
+1=7种， 故至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是
．
【点评】本题考查了数据的分析与应用，同时考查了古典概型在实际问题中的应用，属于中档题．
17．已知f （x ）=•，其中=（2cosx ，﹣ sin2x)，=（cosx ，1），x ∈R ．
（1）求f （x ）的单调递减区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b,c,f （A ）=﹣1，a=，且向量=（3,sinB ）
与=（2，sinC ）共线，求边长b 和c 的值．
【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理;余弦定理．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）利用向量的数量积公式得到f(x）的解析式，然后化简求单调区间；
（2)利用向量共线，得到b，c的方程解之．
【解答】解：（1）由题意知
．3分
∵y=cosx在a2上单调递减，∴令,得
∴f（x）的单调递减区间,6分
(2）∵，∴,又，∴，即,8分
∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分
因为向量与共线，所以2sinB=3sinC,由正弦定理得
2b=3c．
∴b=3,c=2.12 分．
【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用．
18．如图，ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD．
(1)求证：AC⊥平面BDE;
（2）若AF∥DE，DE=3AF，点M在线段BD上,且BM=BD,求证：AM∥平面BEF．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明DE⊥AC，通过直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面BDE．
(2）延长EF、DA交于点G，通过AF∥DE，DE=3AF,推出，证明AM∥GB利用直线与平面平行的判定定理证明AM∥平面BEF．
【解答】证明:(1)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD,又BD∩DE=D，
从而AC⊥平面BDE．…
（2）延长EF、DA交于点G，
因为AF∥DE，DE=3AF,
所以，…
因为，所以，
所以，所以AM∥GB，…
又AM⊄平面BEF，GB⊂平面BEF,
所以AM∥平面BEF．…
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
19．已知数列｛a n}的前n项和为S n，a n．S n满足（t﹣1)S n=t（a n﹣2）（t为常数，t≠0且t≠1）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（﹣a n）•log3（1﹣S n）,当t=时，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】(1）利用（t﹣1）S n=t（a n﹣2），及S n+1﹣S n=a n+1，推出a n+1=ta n,然后求出数列的通项公式．
(2)利用时，化简出，然后利用错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：(1）由(t﹣1）S n=t（a n﹣2）,及（t﹣1)S n+1=t(a n+1﹣2），作差得a n+1=ta n，
即数列｛a n｝成等比数列，，
当n=1时，（t﹣1）S1=t(a1﹣2），解得a1=2t，故．
(2）当时，，,,
，
，
作差得，
所以．
【点评】本题考查数列求和的方法，错位相减法的应用，等比数列的判断是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
20．已知函数f（x）=e x，g（x)=ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值;
（2）若a=c=1，b=0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）分别求出f(x)，g(x）的导数，求出切点和切线的斜率，得到方程，解得即可得到b，c；
(2）对x讨论，①x=0时，易得f（x)=g（x），②x＜0时，f（x)＜g（x），③x＞0时，令h（x)=f（x)﹣g（x）=e x﹣x2﹣1，运用导数，求出单调区间和极值，即可判断大小．【解答】解：（1)由已知f（0）=1,f’（x）=e x,f’（0）=1，
g（0）=c，g'(x）=2ax+b，g’（0）=b，
依题意可得，解得；
（2）a=c=1，b=0时，g（x）=x2+1，f（x）=e x,
①x=0时，f（0）=1,g(0）=1，即f(x）=g（x)；
②x＜0时，f（x）＜1，g（x）＞1，即f(x）＜g（x）；
③x＞0时,令h（x）=f（x)﹣g(x）=e x﹣x2﹣1,则h’(x)=e x﹣2x．
设k(x)=h'（x）=e x﹣2x，则k’（x）=e x﹣2，
当x＜ln2时，k'（x）＜0,k(x）在区间（﹣∞，ln2）单调递减；
当x＞ln2时，k'（x)＞0，k（x）在区间（ln2,+∞)单调递增．
所以当x=ln2时,k（x)取得极小值，且极小值为k(ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0
即k（x）=h’(x）=e x﹣2x＞0恒成立,故h（x）在R上单调递增,
又h（0）=0，因此，当x＞0时，h（x)＞h（0）=0,即f（x）＞g（x）．
综上，当x＜0时，f(x)＜g（x)；
当x=0时,f（x)=g（x）；
当x＞0时，f（x）＞g（x）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
21．已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的离心率为,右焦点到直线y=x的距离为．（Ⅰ）求椭圆E的方程;
（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B,设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2;
①若直线l过椭圆的左顶点,求k1,k2的值；
②试猜测k1,k2的关系，并给出你的证明．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）设椭圆的右焦点（c，0)，由右焦点到直线y=x的距离为，可得，解得c．又由椭圆的离心率为，可得=，a2=b2+c2，解出即可．
（II）①若直线l过椭圆的左顶点,则直线的方程是，联立方程组，解得，再利用斜率计算公式即可得出；
②设在y轴上的截距为b，直线l的方程为y=x+b．与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣
4=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
【解答】解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0）,
由右焦点到直线y=x的距离为，∴，解得
又由椭圆的离心率为，
∴=，解得a2=8，b2=2，
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ) ①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是，
联立方程组，解得,
故．
②设在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y=x+b．
由得x2+2bx+2b2﹣4=0．
设A（x1，y1)，B（x2，y2)，
则x1+x2═﹣2b，x1x2=2b2﹣4．
又,，
故k1+k2=+=．
又，，
所以上式分子=+=x1x2+（b﹣2）（x1+x2)﹣4（b﹣1)=2b2﹣4+(b﹣2)（﹣2b）﹣4（b﹣1）=0，
故k1+k2=0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于难题．。