2020年天津市津南区数学高二下期末联考试题含解析

2020年天津市津南区数学高二(下)期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．0
D ．无法判断
2．若关于x 的不等式ln(1)e x x ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立，则,a b 可以是（ ） A ．0a =，2b = B ．1a =，2b = C ．3a =，1b =
D ．2a =，1b =
3．已知向量(5,5),(0,3)a b =-=-v v
，则a v 与b v 的夹角为（ ）
A ．
4
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
34
π 4．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．14
5．若函数2,1()(1)1,1x x x f x f x x ⎧->=⎨+-⎩，
，
…则(0)f =（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
6．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[]
0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2018f 的值为( )
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
7．若
展开式二项式系数之和为32，则展开式中含
项的系数为（ ）
A ．40
B ．30
C ．20
D ．15
8．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB =，13AA =，点F 在
1CC 上，且111
3
C F CC =
，则异面直线11B C 与AF 所成角为（ ） A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．120︒
9．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，
(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.）
A ．17
B ．23
C ．34
D ．46
10．已知集合U R =，2{|6}A x Z x =∈<，()2
{|20}B x x
x =-<，则图中阴影部分表示的集合为(
)
A ．{0,1，2}
B ．{}0,2
C ．{}1,2
D ．{}2
11．利用反证法证明“若|2||2|0x y -+-=，则2x y ==”时，假设正确的是（ ） A ．,x y 都不为2 B ．x y ≠且,x y 都不为2 C ．,x y 不都为2
D ．x y ≠且,x y 不都为2
12．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点连线斜率为
2
2
，则m
n
=（ ） A ．
22
B ．
23
C ．1
D ．2
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．双曲线22
213x y b
-=的虚轴长为2，其渐近线夹角为__________.
14．如图，把数列{}n 中的所有项按照从小到大，从左到右的顺序写成如图所示的数表，且第k 行有12k -个数.若第k 行从左边起的第s 个数记为(),k s ，则2019这个数可记为______.
15．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）
16．函数()ln 1f x x =
-的定义域为________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数．
（1）解不等式；
（2）若
，对
，
，使
成立，求实数的取值范围．
18．已知函数()()2
1+ax x f x e
=，（其中a R ∈,e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+. 19．（6分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中, 1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥=== M 为侧面11AA CC 的对角线的交点, D E 、分别为棱,AB BC 的中点.
(1)求证:平面MDE //平面11A BC ； (2)求二面角C ME D --的余弦值.
20．（6分）已知:p 实数m 使得函数()()21
ln 22
f x x m x x =-
--在定义域内为增函数；:q 实数m 使得函数()()2
15g x mx m x =++-在R 上存在两个零点12,x x ，且121x x <<
()1分别求出条件,p q 中的实数m 的取值范围；
()2甲同学认为“p 是q 的充分条件”，乙同学认为“p 是q 的必要条件”，请判断两位同学的说法是否
正确，并说明理由.
21．（6分）2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%，而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.
（1）完成22⨯列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？
（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取1名学生,抽取3次，记被抽取的3名学生中对足球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望. 附:
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
22．（8分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin cos a B A =. (1)求B ；
(2)若ABC △的面积为
2
，b =，a c >，求a ，c . 参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】
由条件结构，输入的x 值小于0，执行y ＝﹣x ，输出y ，等于0，执行y ＝0，输出y ，大于0，执行y ＝1x ，输出y ，由x ＝1＞0，执行y ＝1x 得解． 【详解】
因为输入的x 值为1大于0，所以执行y ＝1x ＝1，输出1． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行． 2．D 【解析】 【分析】
分别取0,1x x ==代入不等式，得到答案. 【详解】
不等式()ln 1e x
x ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立
取0x =得：1b ≥
取1x =得：ln 2e a b +≥+ 排除A,B,C 故答案为D 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键. 3．D 【解析】 【分析】
根据题意，由向量数量积的计算公式可得cos θ的值，据此分析可得答案． 【详解】
设a r 与b r 的夹角为θ，由a r 、b r 的坐标可得|a r |＝，|b r |＝3，a r •b =-r
5×0+5×（﹣3）＝﹣15，
故cos
2θ==-
，()0q p Î， 所以34πθ=. 故选D 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】
根据个位是0和2分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数. 【详解】
当0在个位数上时，有3
36A =个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在
中间排列有2种方式，所以有224⨯=个所以共有10个． 故选：B 【点睛】
本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】
利用函数的解析式，求解函数值即可． 【详解】
函数2,1()(1)1,1x x x f x f x x ⎧->=⎨+-⎩，
，
…
∴2
(0)(1)1(2)22220f f f =-=-=--=，故选B. 【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
先根据函数()f x 的图象关于1x =对称且()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由[]
0,1x ∈时，()21x
f x =-，即可求出结果.
【详解】
根据题意，函数()f x 的图象关于1x =对称，则()()2f x f x -=+，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-，则有()()2f x f x +=-，变形可得()()4f x f x +=，即函数是周期为4的周期函数，则()()()()20182450420f f f f =+⨯==-，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则
()00f =，故()20180f =.
故选C 【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型. 7．D 【解析】 【分析】
先根据二项式系数的性质求得n ＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，
即可求得结果． 【详解】 由
展开式的二项式系数之和为2n
＝32，求得n ＝5，
可得展开式的通项公式为 T r+1••=••，
令＝3，求得 r ＝4，则展开式中含的项的系数是 5，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 8．C 【解析】 【分析】
根据题意将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，由11//BC B C ，然后再过点B 作直线AF 的平行线，从而可得异面直线11B C 与AF 所成角. 【详解】
由条件将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，如图. 由条件11//BC B C ,设点E 为1DD 的中点，连接BE .
则//BE AF ，所以CBE ∠（或其补角）为异面直线11B C 与AF 所成角. 在CBE △中，22BC =，22222222BE CE BD DE ==
+=+=
所以CBE △为等边三角形，所以60CBE ∠=︒ 故选：C
【点睛】
本题考查异面直线所成角，要注意补形法的应用，属于中档题. 9．B 【解析】
分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数. 详解：由题得=300=10μσ，，
所以300-2030020)(280320)0.9545P
P （ξξ≤≤+=≤≤=， 所以10.9545
(320)0.0232
P x ->=
≈， 所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解. 10．B 【解析】 【分析】
图中阴影部分表示的集合为()U A C B ⋂，解出集合A B ，，再进行集合运算即可 【详解】
{}
{}2|621012A x Z x =∈<=--，，，，
()()()2{|20}002B x x x =-<=-∞⋃，，
{})02U C B ⎡=⋃+∞⎣，
图中阴影部分表示的集合为(){}02U A C B ⋂=，
故选B 【点睛】
本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合A 的限制条件． 11．C 【解析】 【分析】
根据反证法的知识，选出假设正确的选项. 【详解】
原命题的结论是“,x y 都为2”，反证时应假设为“,x y 不都为2”． 故选：C 【点睛】
本小题主要考查反证法的知识，属于基础题.
12．A 【解析】
试题分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y
，可得00OM
y k x ==，21211AB y y k x x -==--，由AB 的中
点为M ，可得1201202,2x x x y y y +=+=，由,A B 在椭圆上，可得221122
221
1
mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得()()120120220m x x x n y y y -⋅+-⋅=
，整理得m n
=，故选A ．
考点：椭圆的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．60°． 【解析】 【分析】
计算出b 的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角. 【详解】
由题意知，双曲线22
213x y b
-=的虚轴长为22b =，得1b =，
所以，双曲线的渐近线方程为y x =，两条渐近线的倾斜角分别为30o 、150o ， 因此，两渐近线的夹角为60o ，故答案为60o . 【点睛】
本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题. 14．()11,996 【解析】 【分析】
前k 行用掉1124221k k -+++⋯+=-个自然数，由101121201921-<<-可判断2019所在行，即可确定其位置. 【详解】
因为前k 行用掉1124221k k -+++⋯+=-个自然数， 而101121201921-<<-，
即2019在11行中，又第11行的第1个数为1021024=， 则2019为第11行的第201910241-+个数，即第996个数， 即11k =，996s =， 故答案为：()11,996． 【点睛】
本题主要考查了归纳推理，等比数列求和，属于中档题． 15．
【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有
∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是
.
考点：等可能事件的概率. 16．[,)e +∞ 【解析】
分析：直接解不等式组0
ln 10x x >⎧⎨
-≥⎩
得函数的定义域.
详解：由题得00
,,ln 10x x x e x x e
>>⎧⎧∴∴≥⎨
⎨-≥≥⎩⎩，所以函数的定义域是[,)e +∞.故答案为：[),e +∞ 点睛：（1）本题主要考查函数定义域的求法和对数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)考虑函数的定义域时，要考虑全面，不能遗漏，本题不要漏掉了0.x > 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)
；(2)
.
【解析】 【分析】
（1）对x 分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；
（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数的取值范围．． 【详解】
解：（1）不等式等价于或或
解得或或，所以不等式的解集为．
（2）由知，当时，；
，
当且仅当时取等号，
所以
， 解得
． 故实数的取值范围是
．
【点睛】
本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 18． (1)见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）讨论0a =，0a <和0a >三种情况，分别计算得到答案.
（2）根据题意知()()1212f x f x x x +>+等价于2220a e a a --+>，设
()()2220a g a e a a a -=+->，计算得到030,8
a ⎛⎫
∃∈ ⎪⎝
⎭
使()00h a =，计算得到
()()00g a g a ≥>得到证明.
【详解】
（1）当0a =时，()()2
1f x x =+，
()f x 的单调递增区间是()1,-+∞，单调递减区间是(),1-∞-； 0a ≠时，()()211=
ax
a x x a f x e ⎡⎤
⎛⎫-+-- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦'， ①0a <时，由()0f x '>解得1x >-或21x a <
-；由()0f x '<解得2
11x a
-<<-，()f x 的单调递增区间是2,
1a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,-+∞，单调递减区间是21,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
②0a >时，由()0f x '>解得211x a -<<
-；由()0f x '<解得1x <-或2
1x a
>-，()f x 的单调递增区间是21,
1a ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间是21,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
和(),1-∞-； 综上所述：
0a =时，单调递增区间是()1,-+∞，单调递减区间是(),1-∞-；
0a <时，单调递增区间是2,
1a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,-+∞，单调递减区间是21,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 0a >时，单调递增区间是21,
1a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，单调递减区间是21,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
和(),1-∞-； （2）由已知和（1）得，当0a >时满足题意，此时122
1,1x x a
=
-=-， ()()222221212242
242220a a a e f x f x x x e a a e a a a a
---+>+⇔>-⇔>-⇔-+>，
令()()2220a g a e a a a -=+->，则()2221a g a e a -'=+-. 令()()22210,a h
a e a a -=+->则()2220a h a e -'=+>恒成立，
()2221a h a e a -∴=+-在()0,∞+上单调递增，
(
)2213228232121
1010,20844h h e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-<=->-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q
030,,8a ⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭
使()00h a ∴=，即020212a e a -=-
从而当()00,a a ∈时， ()g a 单调递减，当()0,a a ∈+∞时， ()g a 单调递增，
()()022*********a g a g a e a a a a -∴≥=+-=-+20031y a a =-+在30,8
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
2
200331313108864a a ⎛⎫
∴-+>-⨯+=> ⎪⎝⎭
，()()00g a g a ∴≥>，
即2220a e a a --+>，()()1212f x f x x x ∴+>+ 【点睛】
本题考查了函数的单调性，利用导数证明不等式，将不等式等价于2220a e a a --+>是解题的关键. 19． (1)证明见解析；
(2)
85
.
【解析】 【分析】
（1）利用线线平行证明平面MDE //平面1A BC ， （2）以C 为坐标原点建系求解即可． 【详解】
（1）证明D E 、分别为边,AB BC 的中点，可得DE/ / AC ,
又由直三棱柱可知侧面11A A C C 为矩形，可得11A /?
/?A?C C 故有11A /?/C DE ， 由直三棱柱可知侧面11A A C C 为矩形，可得M 为1A C 的中点，又由E 为BC 的中点，可得1A //B ME . 由DE ，ME ⊂平面MDE ，11A C ，1A B
⊂平面MDE ，得11A C / /平面MDE ，1A B / /平面MDE ，
11A C I 1A B 1=A ，可得平面MDE / /平面11A BC .
（2）1CA CB,?
CC 、为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则()()()()1110,0,01,0,0,0,2,0,0,0,4,,0,2,,1,00,1,022C A B C M D E ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，（）， 111,1,2,,0,2,,0,0222ME CM ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u u v u u u v ，
设平面CME 的一个法向量为()11
,,,22022
m x y z x y z x z =-
+-=+=v
则，取=-1z ，有4,0,(4,0,1)x y m ===-r
同样可求出平面DME 的一个法向量(0,2,1)m =r ，
·85cos ,85175
m n m n m n 〈〉===-u u u v
v v
v v ，
结合图形二面角C ME D --85
. 【点睛】
本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式
·cos ,m n m n m n
〈〉=u u u v v v
v v 求解二面角．
20．（1）7
(,]4
-?，(0,2)（2）甲、乙两同学的判断均不正确，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）p 真时，先求函数的导数，令()0f x '≥恒成立，整理得到22
111172()24
m x x x ≤
-+=-+恒成立，转化为求函数的最小值；q 真时，只需满足()10m g ⋅<即可；（2）根据（1）的结果，判断两个集合是否具有包含关系，根据集合的包含关系判断充分必要条件. 【详解】
解，()()1f x 的定义域为(0,)+∞，1
()(2)1f x m x x
'=
--- 因为()f x 在定义域内为增函数，所以对0x ∀>，恒有()0f x '≥
整理得22111172()24m x x x ≤
-+=-+，恒成立．于是74
m ≤ 因此满足条件p 的实数m 的取值范围是7
(,]4
-?
因为()g x 的存在两个零点且121x x <<，所以(1)0m g ?
即(24)0m m -<，解得02m <<
因此满足条件q 的实数m 的取值范围是(0,2)
()2甲、乙两同学的判断均不正确，
因为p q ⇒
/，所以p 不是q 的充分条件， 因为q p ⇒
/，所以p 不是q 的必要条件． 【点睛】
本题考查了由命题的真假，求参数取值范围的问题，本题的一个易错点是q 真时，有的同学只写出
()10g <，而忽略了m 的正负决定函数图像的开口，第二问考查了当命题是以集合形式给出时，如何判断充分必要条件，:p x A ∈,:q x B ∈，若A B ≠
⊂时，p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，当没有包含关系时，()p q 是()q p 的既不充分也不必要条件，当A B =时，()p q 是()q p 的充要条件.
21．（1）有；（2）9
5
. 【解析】
分析：（1）根据已知数据完成2×
2列联表，计算2K ，判断有99.9%的把握认为“对足球有兴趣与性别有
关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是3
5
，再利用二项分布求X 的分布列和数学期望.
详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，得到()2
290382412161210.82850405436
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,
所以有99.9%的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”. （2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是3
5
，将频率视为概率， 即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是35
， 有题意知3~3,,0,1,2,3,5X B X ⎛⎫= ⎪⎝⎭
()3
032805125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ , ()2
13
2336155125
P X C ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭,
()2
232354255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()3
3332735125
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭, 从而X 的分布列为
()355
E X =⨯=.
点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若 ξ～(,),B n p 则.E np ξ=
22．（1）3
B π
= （2）3
2
a c =⎧⎨
=⎩
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得sin sin cos ?s in sin A B B A C A B =+
)
cos sin cos sin cos B A A B B A =+⇒ sin sin cos tan A B A B B ==
⇒3
B π
=
；（2）由642
ac ac ==三角形面积公式可得
，再由余弦订立的得()2
2
63
252ac a a c ac ac a c c ==⎧⎧=+--⎨⎨
+==⎩⎩
. 试题解析：
（1）由已知sin cos a B A =
结合正弦定理得sin sin cos A B B A C =
所以())sin sin cos sin cos sin cos A B B A A B A B B A =+=+
即sin sin cos A B A B =，亦即tan B =因为()0,B π∈，所以3
B π
=.
（2）由1sin 2ABC S ac B ∆=
，3B π==6ac =，
又()2
222cos b a c ac ac B =+--，得
()2
2
2a c ac ac =+--
所以6
5ac a c =⎧⎨+=⎩
，又a c >，∴32a c =⎧⎨=⎩。