【成才之路】2021年高中数学 1.1命题练习 北师大版选修1-1

【成才之路】2021 -2021学年高中数学 1.1命题练习北师大版选修
1 -1
一、选择题
1．以下语句中命题的个数为( )
①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；
④5的平方是20.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析]①④是命题 ,②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．
2．给定以下命题：①假设k>0 ,那么方程x2＋2x－k＝0有实数根；②假设a>b>0 ,c>d>0 ,那么ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④假设xy＝0 ,那么x、y中至|少有一个为0.其中是真命题的是( )
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
[答案] B
[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0 ,所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确 ,所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等 ,不是矩形 ,所以③是假命题；④由等式性质知命题正确 ,所以④是真命题 ,应选B.
3．(2021·山东文 ,5)设m∈R ,命题 "假设m＞0 ,那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题是( )
A．假设方程x2＋x－m＝0有实根 ,那么m＞0
B．假设方程x2＋x－m＝0有实根 ,那么m≤0
C．假设方程x2＋x－m＝0没有实根 ,那么m＞0
D．假设方程x2＋x－m＝0没有实根 ,那么m≤0
[答案] D
[解析]一个命题的逆否命题 ,要将原命题的条件、结论都加以否认 ,并且加以互换位置 ,应选D.
4． "假设x、y∈R且x2＋y2＝0 ,那么x、y全为0”的否命题是( )
A．假设x、y∈R且x2＋y2≠0 ,那么x、y全不为0
B．假设x、y∈R且x2＋y2≠0 ,那么x、y不全为0
C．假设x、y∈R且x ,y全为0 ,那么x2＋y2＝0
D．假设x、y∈R且xy≠0 ,那么x2＋y2≠0
[答案] B
[解析] "全为0”的否认是 "不全为0” ,应选B.
5．命题 "如果a、b都是奇数 ,那么ab必为奇数〞的逆否命题是( )
A．如果ab是奇数 ,那么a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数 ,那么a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数 ,那么ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数 ,那么ab不是奇数
[答案] B
[解析]命题 "如果a、b都是奇数 ,那么ab必为奇数〞的逆否命题是 "如果ab不是奇数 ,那么a、b不都是奇数〞．
6．在平面直角坐标系中 ,给出命题p： "如果两直线平行 ,那么它们的斜率相等〞 ,那么( )
A．p的逆命题是真命题
B．p的否命题是真命题
C．p的逆否命题是真命题
D．p的四种命题都不是真命题
[答案] D
[解析]在平面直角坐标系中 ,两直线平行 ,它们的斜率可能不存在 ,所以命题p是假命题；两直线斜率相等 ,它们可能重合 ,因此命题p的逆命题也是假命题；而原命题与逆否命题同真假 ,逆命题与否命题同真假 ,所以p的四种命题都是假命题．
二、填空题
7．下面是关于四棱柱的四个命题：
①如果有两个侧面垂直于底面 ,那么该四棱柱为直四棱柱；
②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 ,那么该四棱柱为直四棱柱；
③如果四个侧面两两全等 ,那么该四棱柱为直四棱柱；
④如果四棱柱的四条对角线两两相等 ,那么该四棱柱为直四棱柱．
其中 ,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
[答案]②④
[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行 ,可知命题成立 ,④中由题意 ,可知对角面均为长方形 ,即可证命题成立．①、③错误 ,反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．
8．设a、b、c是空间的三条直线 ,下面给出四个命题：
①假设a⊥b ,b⊥c ,那么a∥c；
②假设a、b是异面直线 ,b、c是异面直线 ,那么a、c也是异面直线；
③假设a和b相交 ,b和c相交 ,那么a和c也相交；
④假设a和b共面 ,b和c共面 ,那么a和c也共面．
其中真命题的个数是________．
[答案]0
[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行 ,∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面 ,也可以异面 ,∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交 ,也可以平行或异面 ,∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时 ,两平面内分别可以作出直线a与c ,即直线a与c 不一定共面 ,∴命题④不正确．
综上所述 ,真命题的个数为0.
9．给出以下命题：
(1)平行四边形的对角线互相平分；
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(3)假设一个四边形不是平行四边形 ,那么这个四边形的对角线不能互相平分；
(4)假设一个四边形的对角线不能互相平分 ,那么这个四边形不是平行四边形．
①假设(1)为原命题 ,那么(2)为(1)的________命题 ,(3)为(1)的________命题 ,(4)为(1)的________命题．
②假设(4)为原命题 ,那么(1)为(4)的________命题 ,(2)为(4)的________命题 ,(3)为(4)的________命题．
[答案]①逆否逆否②逆否否逆
三、解答题
10．把以下命题写成 "假设p ,那么q〞的形式 ,并判断其真假．
(1)对顶角相等；
(2)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(3)弦的垂直平分线经过圆心 ,并平分弦所对的弧．
[答案] "假设p那么q〞形式略 ,全为真
[解析](1)假设两个角是对顶角 ,那么这两个角相等．是真命题．
(2)假设一个数能被6整除 ,那么它既能被3整除也能被2整除．是真命题．
(3)假设一条直线是弦的垂直平分线 ,那么这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．是真命题.
一、选择题
1．a、b、c∈R ,命题 "假设a＋b＋c＝3 ,那么a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．假设a＋b＋c≠3 ,那么a2＋b2＋c2<3
B．假设a＋b＋c＝3 ,那么a2＋b2＋c2<3
C．假设a＋b＋c≠3 ,那么a2＋b2＋c2≥3
D．假设a2＋b2＋c2≥3 ,那么a＋b＋c＝3
[答案] A
[解析]确定原命题的条件和结论后 ,同时进行否认 ,即可写出否命题．原命题的条件是：a＋b＋c＝3 ,结论是：a2＋b2＋c2≥3 ,所以否命题是：假设a＋b＋c≠3 ,那么a2＋b2＋c2<3.
2．设a是的平面向量且aa的分解 ,有如下四个命题：
①给定向量b ,总存在向量c ,使a＝b＋c；
②给定向量b和c ,总存在实数λ和μ ,使a＝λb＋μc；
③给定向量b和正数μ ,总存在单位向量c ,使a＝λb＋μc.
④给定正数λ和μ ,总存在单位向量b和单位向量c ,使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b、c和a在同一平面内 ,且两两不共线 ,那么真命题的个数是( ) A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析]对于① ,由向量的三角形加法法那么可知其正确；由平面向量根本定理知②正确；对③ ,可设e与b是不共线单位向量 ,那么存在实数λ,y使a＝λb＋y e,假设y>0 ,那么取μ＝y ,c＝e ,假设y<0 ,那么取μ＝－y ,c＝－e ,故③正确；④显然错误 ,给定正数λ和μ ,不一定满足 "以|a| ,|λb| ,|μc|为三边长可以构成一个三角形〞 ,这里单位向量b和c就不存在．可举反例：λ＝μ＝1 ,b与c垂直 ,此时必须a的模为2才成立．
3．假设命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,那么s是t的( ) A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
[答案] C
[解析]特例：△ABC中 ,角A、B、C的对边分别为a、b、c.
p：假设∠A＝∠B ,那么a＝b ,
r：假设∠A≠∠B ,那么a≠b ,
s：假设a≠b ,那么∠A≠∠B ,
t：假设a＝b ,那么∠A＝∠B.故s是t的否命题．
4．命题p： "假设a>b>0 ,那么log1
2a<log1
2
b＋1” ,那么命题p及它的逆命题、否命
题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4 [答案] C
[解析]对于命题p ,当a>b>0时 ,有log1
2a<log1
2
b ,那么必有log1
2
a<log1
2
b＋1 ,
因此原命题正确 ,逆否命题也正确；但当log1
2a<log
1
2
b＋1时 ,得log1
2
a<log1
2
b
2
,即a>
b
2
>0 ,
此时不一定有a>b>0 ,因此逆命题不正确 ,那么命
题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题 ,应选C.
二、填空题
5．原命题：在空间中 ,假设四点不共面 ,那么这四个点中任何三点都不共线 ,其逆命题为________命题(填真、假)．
[答案]假
[解析]逆命题为：在空间中 ,假设四个点中任何三点不共线 ,那么这四点不共面 ,假命题．如：正方形ABCD的四个顶点 ,任意三点不共线 ,但这四点共面．6．命题 "假设实数a满足a≤2 ,那么a2<4”的否命题是________命题．(填 "真〞或 "假〞)
[答案]真
[解析]原命题的否命题为：假设实数a满足a>2 ,那么a2≥4 ,这是一个真命题．
三、解答题
7．写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题 ,并分别判断其真假．
(1)如果两圆外切 ,那么两圆心距等于两圆半径之和；
(2)平面内 ,两条平行直线不相交．
[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和 ,那么两圆外切 ,真；
否命题：如果两圆不外切 ,那么两圆心距不等于两圆半径之和 ,真；
逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和 ,那么两圆不外切 ,真．
(2)原命题：在同一平面内 ,假设两条直线是平行直线 ,那么它们不相交 ,真；
逆命题：在同一平面内 ,假设两条直线不相交 ,那么它们平行 ,假；
否命题：在同一平面内 ,假设两条直线不是平行直线 ,那么它们相交 ,假；
逆否命题：在同一平面内 ,假设两条直线相交 ,那么它们不平行 ,真．
8．证明： "假设a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0 ,那么a＋b≠1”为真命题．
[证明] 原命题等价为：假设a＋b＝1 ,那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0 ,a2＋2ab＋b2
＋a＋b－2＝(a＋b)2＋(a＋b)－2＝(a＋b＋2)(a＋b－1) ,∵a＋b＝1 ,
∴(a＋b＋2)(a＋b－1)＝0 ,∴a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0.
∴命题 "假设a＋b＝1 ,那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”为真命题 ,即证明原命题为真命题．。