注重基础_大力创新_落实高考核心功能——2021年全国新高考数学Ⅰ卷试题评析

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注重基础大力创新落实高考核心功能
２０２１年全国新高考数学Ⅰ卷试题评析
◉福建省泉州第五中学㊀黄种生
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１引言
２０２１年全国新高考数学Ⅰ卷(下文简称 全国新
Ⅰ卷 )具有鲜明特点,具体表现在:试卷立足基础,突
出主干,布局合理,基本题型多,考查的基本知识和基
本思想方法多;试题的创新力度大,题目灵活多变,突
出数学本质,突现数学能力,使数学核心素养的考查
落实到位;试卷坚持落实 立德树人 的根本任务,坚
持服务大学选拨优秀学生,坚持发挥高考对中学数学
教学和教学改革的引导作用,很好地落实高考核心功
能．
２试卷评析
２．１注重基础,突出主干
全国新Ⅰ卷考虑到数学文理不分科的特点,注重
基础,布局合理,注重对 四基 和 四能 的考查,基本
题型多,考查的基本知识和基本思想方法多,运算量
减少,阅读量减少,题目简明精练,突出考查主干知
识,重点考查思维方法和数学能力．
试卷的第１至第６题,第９,１０,１３,１４题为基础
题．第７题运算量大一些,但考查的是切线问题,是基
本知识．第８题考查的是事件相互称独立的定义,是基
本概念．第１１题考查的是圆的切线问题,用到的是直
线与圆的基本思想与方法．第１２题把平面向量和立体
几何结合起来,是易错题,但用到的都是立几中常规
思想方法．第１５题是创新题,但只要把绝对值去掉,就
是常规题了．第１６题是探究题,难度较大,但用到的归
纳法和错位相减法,是常规方法．解答题中注重基础的
命题思路更加明显,第１７题第１步求数列b n{}的通
项公式,第２步求a n{}的前２０项和,注意,不是求前n
项的和,而是求前２０项的和,这就降低了难度,突出
基础性．第１８题是概率统计题,求分布列和期望值,难
度小,原来的文理科学生都能做．第１９题是解三角形
题,是创新题,考查对象是正弦定理和余弦定理,是基
础知识．第２０题是立体几何题,考线线垂直和三棱锥
的体积,不用空间向量法,是原来的文理科学生都能
做的基础题．第２１题是解析几何题,第１步求双曲线
的方程,第２步求两条直线斜率之和,运算量大,是难
题,但解题思路很常规,直接用弦长公式就可以解决．
第２２题是导数压轴题,第１步求已知函数的单调性,
难度不大,第２步是证明题,综合性强,难度很大,但
用到思想方法是极值点偏移法和切线放缩法,是这几
年导数压轴题中常用常考的方法,具有基础性．
从解答题的顺序看,数列题排在第一,概率与统
计题排在第二,三角函数和解三角形题排在第三,立
体几何题排在第四,可以看出试题基础性．从压轴题
看,无论是单选题㊁多选题㊁填空题㊁还是解答题,无论
其综合性和灵活性如何,考查的都是中学数学的基本
知识㊁基本思想和基本方法,整份试卷中找不出一道
超出教材和考试大纲的题目．整份试卷自然大气㊁质朴
厚重,把 注重基础㊁突出主干 的命题思想落到实处,
非常符合新高考文理不分科的改革要求．
２．２创新点多,题目灵活
全国新Ⅰ卷命题立意非常明显,就是不能让靠刷
题的㊁搞题海战术的学生占有优势或获得高分,就是
要把数学核心素养的考查落到实处．试题的创新点多,
题目灵活多变,突出数学本质,突现数学能力．从试题
材料的提供形式,考查内容的选择,考查的角度与方
向,考查的深度与难度,考题的顺序等都有许多创新,
使得许多题目,看起来是常规题,是旧题,但做起来是
新题,是创新题．由于创新点多,试卷与以往已有很大
的不同,方向已悄悄地发生变化．
例１㊀(第７题)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x
的两条切线,则(㊀㊀)．
A．e b＜a㊀㊀㊀㊀㊀㊀B．e a＜b
C．０＜a＜e b D．０＜b＜e a
解法一:在曲线y＝e x上任取一点P t,e t(),由
y＝e x得yᶄ＝e x,可得曲线y＝e x在点P处的切线方
程为:y＝e t x＋(１－t)e t．
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３
命题
考试考卷评析㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月
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因为切线过点(a ,b ),可得b ＝(a ＋１－t )e t
．依题意得,该方程有两个不同的实数根．
令f (t )＝(a ＋１－t )e t ,则f ᶄ(t )＝(a －t )e t
．
当t ＜a 时,f
ᶄ(t )＞０,此时函数f (t )单调递增;当t ＞a 时,f
ᶄ(t )＜０,此时函数f (t )单调递减,所以,f (t )m a x ＝
f (a )＝e a ,当t ＜a ＋１时,f (t )＞０,当t ＞a ＋１时,f (
t )＜０,作出函数f (t )的图象后可得,０＜b ＜e a
．故选:D
．
图１
解法二:画出函数y ＝e x
的图象,如图１所示,根据直观想象,可判定点(a ,b )在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条
切线．由此可知０＜b ＜e a
．
故选:D ．
分析:本题考查的是切线的
存在性问题,是常规问题,但选项问的是这一点的横坐标和纵
坐标的关系问题,这在练习中很少见,这就是考查角度与方向的创新．解法一需要经过设切点㊁求切线方程㊁获得点的坐标满足的方程㊁构造函数㊁研究函数图象㊁结合图形得出结论等过程,综合性强,难度较大．如果用解法二,根据对图象的理解和认识,直接得出结论,方法简单有效,这是对数学中 直观想象 核心素养的有效考查,也是一种创新．
例２㊀(第８题)有６个相同的球,分别标有数字
１,２,３,４,５,６,
从中有放回的随机取两次,每次取１个球,甲表示事件 第一次取出的球的数字是１ ,乙表示事件 第二次取出的球的数字是２ ,丙表示事件 两次取出的球的数字之和是８ ,丁表示事件 两次取出的球的数字之和是７ ,则(㊀㊀)．
A ．
甲与丙相互独立㊀㊀㊀㊀B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立分析:这是对事件相互独立定义的考查,只须判断P (A )P (B )＝P (A B )是否成立即可．平时的试卷,这种题一般作为基础题,而全国新Ⅰ卷把它作为单选题的压轴题,这是一种创新．考虑到高中生对 相互独立事件 与 互斥事件 两个概念经常混淆,这种创新合情合理．同时,这也是一种导向,表明了新高考对数学核心概念的重视,对基础的重视,对数学核心素养考查的重视．
例３㊀(第１２题)在正三棱柱A B C ＧA １B １C １中,
A B ＝A A １＝１,点P 满足B P ң＝λB C ң＋μB B １ң,其中λɪ[０,１],μɪ[
０,１],则(㊀㊀)．A ．当λ＝１时,әA B １P 的周长为定值
B ．当μ＝１时,三棱锥P －A １B
C 的体积为定值
C ．
当λ＝１
２
时,有且仅有一个点P ,使得A １P ʅB P
D ．
当μ＝１
２
时,有且仅有一个点P ,使得A １B ʅ平面A B １P
分析:本题是立体几何的常规题,点P 在平面
B C C １B １上运动,
题目对点P 的位置用向量的形式描述,使得考查内容丰富了很多,这是一种创新,是试题材料提供形式的创新,也是考查内容选择的创新．题目难度不大,但考查内容多,需一一识别,解题方法多,需要选择,能很好地考查学生的数学能力和数学核心素养,同时C 选项易错,能够很好地考查学生数学思维的严密性,加大题目的区分度,把这种题目作为多选题的压轴题是一种创新．
另外,第１６题是一道双空题,
这是试题结构的创新,第一空格难度小,既能保证学生的基本得分,又能帮助学生探究解题思路．第二空格难度大,综合性强,区分度好,对学生的数学运算能力和综合能力的考查
非常到位,作为填空题的压轴题很合适．第１７题第２步求数列a n {}的前２０项和,而不是前n 项的和,这是考虑到高考文理不分科的一种很好的创新．第１９题第
２步,
细心做题的老师会发现:这是解三角形中常见的爪形问题,但用向量法B D ң＝
１３B A ң＋２３
B C ң
解决不了．用几何法,过点A 作B C 的平行线交B D 的延长线于
点E ,得到әA D E 与әC D B 相似,
同样解决不了问题,只有用c o s øA D B ＝－c o s øC D B 才能解决问题．原因是,题目的条件和结论已经和常见的爪形问题不一样了,题目已经进行了创新．第２０题立体几何题不考向量法,考查的难点是二面角的概念,只要作出二面角E ＧB C ＧD 的平面角,难点就突破了,这是对试题难点设置的创新,同时,把概念作为考查的难点,是一种创新,也是一种引导．第２１题第２步,解题方法是常规方法,用的公式是弦长公式,但直线A B 过的是动点T １２,t æèç
öø÷,直线A B 的方程为y －t ＝k １x －
１２æè
çöø÷,即y ＝k １
x ＋t －１
２
k １,
代入双曲线方程后得,１６x ２－k １x ＋t －１２k １
æè
çöø÷２
－１６＝０,方程中含有三项和的平方,运算量大,使许多学生望而却步,增加了题目的难度和区分度,能很好地考查 数学运算 核心素养,这是对基础题的创新．第２２题第２步,考查的是极值点偏移法和切线放缩法,都是常用的数学思想方法,但放一起后,题目的难度一下子增加很多,但不是那种
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３２０２２年４
月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
考卷评析
命题
考试
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难得大家都不会做的无效题,它很适合数学的尖子生
做,对尖子生有很好的区分度,这是一种创新．在考题
顺序上,把概率与统计放在第二题,把解三角形放在
第３题,也是一种创新．
２．３落实高考的核心考查功能
２．３．１落实 立德树人 根本任务,把数学核心素养
考出来
㊀㊀全国新Ⅰ卷继续关注中华民族传统文化,使学生
感受数学文化魅力,增强文化自信．如第１６题,以某校
学生在研究民间剪纸艺术时碰到的问题为背景进行
考查,容易激发学生对民间艺术的兴趣,对中华传统
文化的热爱,激发学生对数学的学习兴趣和探究欲望．
试卷继续引导学生关注生产与生活,关注政治时事,
如第２０题,以某学校组织 一带一路 知识竞赛的生
活实际为背景,能让学生关注生活中的数学,关注伟
大祖国的发展变化,落实 立德树人 的根本任务．
核心素养是指 适应终身发展和社会发展需要的
必备品格和关键能力 ．数学科有六大核心素养,分别
是:数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁数学运算㊁直观想
象㊁数据分析．这六大核心素养相互独立,又相互联系,
是一个有机整体,是学生从数学科学习中应获得的
适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能
力 ,既然是学生终身要用的必备品格和关键能力,它
就必须是基础性的㊁关键性的㊁可持续发展的．从这种
意义看,考查数学基础知识和思想方法,考查数学本
质,考查关键能力,就是考查数学核心素养．数学全国
Ⅰ卷立足基础,突出主干知识,试题以常规题为主,重
点突出,简明简练,没有偏题怪题;试题进行大力创
新,题目灵活多变,很少有模式题㊁套路题;没有那种
难到大家都不会做的题目;没有那种靠记中间结论才
能快速做出来的题目;没有那种要花很长时间才能做
出来的题目,学生有充足的时间思考和做题,能把数
学的本质考出来,把数学的核心素养考出来．如第７题
的解法二和第２２题的切线放缩法,就能很好地考查
直观想象 核心素养;第１６题,能很好地考查 逻辑
推理 和 数学运算 核心素养．笔者个人认为,这份卷
子,把数学核心素养考出来,使数学核心素养的考查
真正落地．
２．３．２区分度很好,利于大学选拨优秀学生
试卷重视基础,考主干知识,考关键能力,考核心
素养,题目创新点多,灵活性强,基础题㊁中等题㊁难题
的难度设计安排合理,整份卷的难度设计安排很好,
使得试题的区分度好,没有无效题,给不同水平的学
生提供充分展示才华的空间,利于大学选拨优秀学
生,体现高考的考试功能．试卷第５,６,１０,１３,１４,１７,
１８,２０对中等和中等偏下的学生有很好的区分度;第
８,１１,１５,１９题对中等和中等偏上的学生有很好的区
分度;第７,１２,１６,２１,２２对优秀生有很好的区分度,
特别是第１６,２１,２２题对尖子生有很好的区分度,给
尖子生很大的展示空间．这份试卷很适合文理不分科
的情况,能很好地体现高考的选拨功能．
２．３．３导向明确,很好地发挥高考对教学的引导
作用
㊀㊀试卷注重基础,注重对 四基 和 四能 的考查,
有利于中学数学教学回归课堂,用好教材,避免超纲
学,超量学;有利于更多的高中生对学好数学充满信
心,不怕数学,喜欢数学,能让教师花更多的时间去关
注和帮助数学学习的后进生．试卷关注中华民族传统
文化,关注生产与生活实际,能引导学生热爱中华文
化,增强文化自信,引导热爱数学,了解数学与生产生
活的联系,关注数学应用．试卷把对事件相互独立定义
的考查放在单选题压轴题的位置上,在解答题中把二
面角的概念作为难点考查,会改变中学数学教师重解
题㊁轻概念的教法,让更多的教师重视概念教学,注意
展示数学知识的发生发展过程．试题创新性强,灵活多
样,使得靠刷题和单纯的技巧训练难以得到高分,将
引导中学数学教学走出题海战术,回避机械重复训练
的教学模式．试卷突出数学本质,突现数学能力,使数
学核心素养的考查落实到位,能引导中学数学教师在
教数学知识时,重视数学思想方法的教学,鼓励学生
发现问题㊁提出问题㊁分析问题㊁解决问题,发展学生
的数学能力,关注学生的情感㊁体会和价值观,培养学
生适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键
能力,发展学生的数学核心素养．笔者看到,全国新Ⅰ
卷正发挥着高考对中学数学教学和教育教学改革的
引导作用,促使更多的中学教师改变教学观念和教学
行为,自觉参与到教育教学改革中．
３结语
通过对２０２１年全国新高考数学Ⅰ卷试题的评
析,期望能够对２０２２年参加新高考的高三复习具有
一定的指导与借鉴作用．Z
０
４
命题
考试考卷评析㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月
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