广东梅县华侨中学高三第三次月考试题数学(理科).doc

梅县华侨中学201X 届高三第三次月考试题数学(理科)
命题:张永新 审题:张永新 2009.11.
一、选择题：(每小题5分, 共40分)
1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则（ ） A ．M ∩N = { 4，6 }
B ．M ∪N = U
C ．(C u N )∪M = U
D ．(C u M )∩N = N
2. 曲线13
-=x y 在1=x 处的切线方程为（ ）
A. 22-=x y
B. 33-=x y
C.1=y
D.1=x
3. 已知2log 3a =，0.7
8b -=，16sin
5
c π
=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） .A a b c >> .B a c b >> .C b a c >> .D c b a
>>
4. 设曲线1
1x y x +=
-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ．12
C ．1
2
- D ．2-
5. 曲线313y x x =
+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．2
9
B ．
19 C ．13
D ．
23
6. 设命题23
:|23|1,:
12
x p x q x --<≤-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.已知函数()21log 3x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则
()1f x 的值为 （ ）
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
8.若函数2
()23f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、13a <
B 、13a ≤
C 、 13a >
D 、13
a ≥
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一) 必做题 (9～13题)
9.若log 2(a +2)=2，则3a = ． 10. 若
a
xdx =1⎰
，则实数a 的值是_________.
11．函数11--+=x x y 的最大值是 _.
12. 函数3
2
()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .
13. 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3
:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . (二) 选做题 (14～15题，任选一题) 14．(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 15. (几何证明选讲选做题)
如图,已知圆O 的半径为2，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线
圆心O 到AC 3AB =，则切线AD 的长为__ _.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

16. （本小题满分12分）（1）已知5
1
sin =
α，求ααtan ,cos 的值． (2) 已知角α的终边过点P （－1,2）,求sin α,cos α的值.
17.（本小题满分12分）
已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+= (1)求()()9,27f f 的值 (2)解不等式()()82f x f x +-<
18. （本小题满分14分）已知函数()),0(2
R a x x
a
x x f ∈≠+
= （1）判断函数()x f 的奇偶性；
（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

19. （本小题满分14分）设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点
(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．
（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．
20. （本小题满分14分）已知3x =是函数()()2
ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

21. （本小题满分14分）已知函数22
21
()()1
ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．
梅县华侨中学201X 届高三第三次月考试题数学(理科)
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.B 2.B 3.A 4. D 6.A 7.A 8.C
二、填空题： 9．【答案】9．
【解析】∵42=+a ，∴2=a ，∴93=a
． 10．【答案】2． 【解析】∵12
0212
2==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰
a a x xdx a
，又∵0>a ，∴2=a ．
11．2 12.
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，
由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

亦可填写闭区间或半开半闭区间。

13. 2
31022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15） 14. cos 3ρθ= 15. 15. 16．（本小题满分12分） （1）562cos ±
=α；12
6
tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号) (2) sin α=
552,cos α=－5
5 17.解：（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+=
（2）
()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦
而函数f(x)是定义在()0,+∞上为增函数
080
89(8)9x x x x x >⎧⎪
∴->⇒<<⎨⎪-<⎩
即原不等式的解集为(8,9)
18. 解：（1）当0=a 时，()2
x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶
函数.
（2）设212≥>x x ，()()2
2
212
121x a x x a x x f x f --+
=- ()[]a x x x x x x x x -+-=
21212
12
1， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。

另解（导数法）：()2
2'x a
x x f -
=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022
≥-
x
a x ，则[)+∞∈≤,1623
x a 恒成立， 故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。

19. 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基
础知识，以及推理能力和运算能力． （Ⅰ）∵()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=-
即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =
∵2'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-
又直线670x y --=的斜率为1
6
因此，'(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0c =． （Ⅱ）3()212f x x x =-．
2
'()
612()(2)f x x =-=，列表如下：
所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞
∵(1)10f -=，f =-(3)18f =
∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-20. Ⅰ）因为()'2101a
f x x x =+-+ 所以()'361004
a
f =+-=
因此16a =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()(
)()216l n 110,1,f
x x x x x =++-∈-+∞
()()2'
2431x x f
x x
-+=
+
当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >
当()1,3x ∈时，()'
0f x <
所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞
()f x 的单调减区间是()1,3
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'
0f
x =
所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()2
1616101616ln 291f f =-⨯>-=
()(
)2
13211213
f
e
f --<-+=-< 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一
个交点，当且仅当()()31f b f <<
因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。

21. （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =
+，4
(2)5
f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6
(2)25
f '=-
． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46
(2)525
y x -=--， 即62320x y +-=．
（Ⅱ）解：222222
2(1)2(21)2()(1)()(1)(1)
a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11
x a
=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 在区间1a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，
∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，内为增函数．
函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
， 函数()f x 在21
x a
=
处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121
x a x a
==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化
情况如下表：
所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21
x a
=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
．。