八年级数学-分式讲义
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。
第16讲 分式方程八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第16讲分式方程目标导航2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.知识精讲知识点01 分式方程的定义分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【知识拓展】（2021秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．B．C．D．【即学即练】（2021秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（）A．B．C．D．知识点02 分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【知识拓展】（2022春•北碚区校级月考）若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（）A．12B．15C．19D．22【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．2B．0C．1D．﹣1知识点03 解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程的解为（）A．B．﹣4或1C．﹣4D．无解【即学即练1】（（2022•江汉区模拟）方程的解为．【即学即练2】（（2021秋•利通区校级期末）若分式值相等，则x的值为．知识点04换元法解分式方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．【知识拓展】（2021春•淮安月考）用换元法解分式方程x2+2x﹣＝8，若设x2+2x＝y，则原方程可化为（）A．20y2+8y﹣1＝0B．y2﹣8y﹣20＝0C．y2+8y﹣20＝0D．8y2﹣20y+1＝0【即学即练】（2021春•宝山区校级月考）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（）A．y2+y＝4B．y2+y＝2C．y2+y＝6D．y2﹣y＝4知识点05分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．【知识拓展】（2021秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6【即学即练】（2021秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（）A．0B．2或3C．2D．3知识点06由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（）A．B．C．D．【即学即练】（2021秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林，已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，若设八（1）班每天植x棵，根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．知识点07分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作．某小区计划对面积为1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的停车位改造？【即学即练1】（2021秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？【即学即练2】（2021秋•绵阳期末）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．能力拓展一．选择题（共3小题）1．（2021•大渡口区自主招生）如果关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，关于y 的不等式组有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数m的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2020•渝北区自主招生）若a为整数，关于x 的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足上述条件的整数a的和为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣63．（2020•武昌区校级自主招生）若关于x 的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（）A．7B．15C．31D．以上选项均不对二．填空题（共4小题）4．（2021•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒米．5．（2019•顺庆区校级自主招生）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝．6．（2020•巴南区自主招生）若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是．7．（2019•达州自主招生）已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝．三．解答题（共5小题）8．（2020•宝山区校级自主招生）解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．9．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？10．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程﹣＝恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．11．（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元．已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元．（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了a%，根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了a%，结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求a的值．12．（2020•谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•樊城区期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021秋•河西区期末）方程的解为（）A．1B．3C．4D．无解3．（2021秋•惠州期末）把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘（）A．x B．x﹣2C．x（x﹣2）D．3x（x﹣2）4．（2021秋•公安县期末）已知关于x 的方程的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＞﹣2且k≠﹣1B．k＞﹣2C．k＞0且k≠1D．k＜﹣25．（2021秋•德江县期末）关于x 的方程有增根，则m的值是（）A．0B．2或3C．2D．3二．填空题（共5小题）6．（2021秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．（1）根据题意，可列分式方程为；（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为米．7．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为．8．（2021秋•宜城市期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为．9．（2021秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是．10．（2021秋•曲阳县期末）A、B两地相距1350km，两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3，求两车的速度，设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，所列方程是．三．解答题（共2小题）11．（2021秋•昌吉市校级期末）解方程：（1）＝；（2）﹣＝1．12．（2022•淮北模拟）解分式方程：+3＝．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣15B．﹣13C．﹣7D．﹣52．（2021秋•钢城区期末）若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围为（）A．m＜2B．m≠3C．﹣3＜m＜﹣2D．m＜2且m≠﹣33．（2021秋•平舆县期末）若关于x的方程＝a无解，则a的值为（）A．1B．﹣1C．0D．±14．（2022•北碚区校级开学）若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．6B．9C．﹣1D．25．（2021秋•晋安区期末）若关于x的分式方程＝无解，则k的值为（）A．1或4或﹣6B．1或﹣4或6C．﹣4或6D．4或﹣6二．填空题（共2小题）6．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是．7．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于．三．解答题（共8小题）8．（2021秋•江源区期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：15.3分式方程甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？聪聪：＝明明：﹣＝20根据以上信息，解答下列问题：（1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示，明明同学所列方程中的y表示；A．甲队每天修路的长度；B．乙队每天修路的长度；C．甲队修路400米所用的时间．（2）你喜欢列的方程，该方程的等量关系为；（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．9．（2021秋•濮阳期末）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜4元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？10．（2021秋•密山市期末）（1）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，求﹣xy的值．（2）虎林市政府倡导开展“共建绿色家园”，八年级甲、乙两个班的同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？（用方程解答）11．（2021秋•青县期末）为响应“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买足球能够配备多少个班级？（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个？12．（2021秋•老河口市期末）某商家预测一种商品能畅销市场，就用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．该商家购进的两批商品的数量分别是多少件？13．（2021秋•渌口区期末）某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．（1）求A、B两种玩具的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变．求A种玩具最多能购进多少个？14．（2021秋•普兰店区期末）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）．现在甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成，求甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？15．（2021秋•民权县期末）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少4元，其用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的2倍少4件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件45元，乙种牛奶的销售价格为每件50元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）等于364元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各多少件？题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2021春•福田区校级期中）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y 的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．13B．15C．20D．22二．填空题（共2小题）2．（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵树为初一、初二平均每人植树的棵树之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵树都有所降低，高一年级平均每人植树的棵树降低50%，高二年级平均每人植树的棵树降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵树不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵树为整数，则四个年级全天一共植树棵．3．（2020秋•滨州月考）若＝+++++，则a的值是．三．解答题（共10小题）4．（2021秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．5．（2021秋•临河区期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．7．（2021春•射洪市月考）已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．8．（2021秋•宜城市期末）有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天．现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天？为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原来每分钟阅读的字数．10．（2021秋•饶平县期末）在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？11．（2021秋•上思县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？12．（2020秋•庆云县校级期末）进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用9天时间完成4800米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“我们加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”通过上面的对话，请你求出该驻军原来每天加固河堤的米数．13．（2021春•南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？。
精品 八年级下数学讲义+练习题--分式
B.
1 或0 3
C. 2或0
D. 或0
1 5
8.甲乙两人相距 k 千米，他们同时乘摩托车出发。若同向而行，则 r 小时后并行；若相向而 行，则 t 小时后相遇，则较快者的速度与较慢者速度之比是（ ） D.
r t r t 二、填空题：
A.
B.
r r t
C.
rk rk
rk rk
八年级下数学讲义
20.已知 a、b、c 为实数，
ab 1 bc 1 ca 1 abc 的值。 ， ， ，求分式 a b 6 b c 8 c a 10 ab bc ca
1 1 1 b a 21.已知 a、b 均为正数，且 ，求 的值。 a b ab a b
2
1 12 1 f( ) ； 2 2 11 2
( ) 1 1 1 1 1 2 表示当 x= 时 y 的值， 即 f( )= ； ……那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+… 5 2 2 1 ( 1 )2 2 3 2
1 )= n 三、综合题：
+f(n)+f(
（结果用含 n 的代数式表示） ．
9.当 x＝__________时，分式 10.若
x2－x－6 的值为零． （1－x） （x－3）
1 1 3 的值为 ，则 2 的值为 6 2 x 3x 5 4x 6x 3 2x 2 11.若分式 2 的值为正整数，则整数 x 的值为 x 1
2
1
八年级下数学讲义
12.如果分式
八年级下数学讲义
讲义 01 分式及分式方程
一、选择题： xa 1.分式 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ 3x 1
八年级上数学分式知识点
八年级上数学分式知识点一、分式的概念分式也叫有理数，是数的一种表现形式，其中分子和分母都是整数，分母不能为0。
分式可以写成a/b的形式，a为分子，b为分母。
二、分式的化简1.因式分解法将分子和分母进行因式分解，然后将公因式约掉。
例如：(6a^2b)/(9ab^2) = (2a)/(3b)2.通分化简法将两个分母的最小公倍数作为分母，分子分别乘以分母的倍数，然后约掉公因式。
例如：(3/4) + (1/6) = (9/12) + (2/12) = (11/12) 3.除法化简法将除法转换成乘法，分子不变，分母倒过来。
例如：(3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = (15/8)三、分式的加减1.通分后合并分子例如：(2/3) + (1/4) = (8/12) + (3/12) = (11/12) (1/2) - (1/3) = (3/6) - (2/6) = (1/6)2.需要先找到一个公因式例如：(1/4x) + (3/5) = (5/20x) + (12/20) = (5+12)/20x = (17/20x) (1/2y) - (2/3x) = (3/6y) - (4/6x) = (3x-4y)/6xy四、分式的乘法将分子相乘，分母相乘，然后约掉公因式。
例如：(3/4) × (2/5) = (6/20) = (3/10)五、分式的除法将除号转为乘号，然后取倒数，分子同分母约掉公因式。
例如：(3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = (15/8)六、分式的绝对值分式的绝对值是分子分母的绝对值之商，如果分子分母符号相同，结果为正，如果符号不同，结果为负。
例如：|-2/3| = 2/3|-2/-3| = 2/3七、分式的倒数将分数的分子和分母交换位置，得到一个新的分数，即原分数的倒数。
例如：倒数是 4/5 的分数为 5/4以上就是八年级上数学分式知识点的详细介绍，希望同学们在学习数学的过程中能够掌握这些知识点，并且通过练习提高自己的数学水平。
第15章 分式的计算与化简求值 人教版八年级上册数学讲义
第15章分式的计算与化简求值 人教版八年级上册数学讲义一、内容复习1、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．2、通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．通分：，．二、知识点一 分式的乘、除法法则【知识梳理】1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为b a ·d c =bdac . 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为b a ÷d c =b a ·c d =bcad . 【提醒】1. 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.【例题精讲】例1、计算2x 3÷的结果是（ ）A ．2x 2B ．2x 4C ．2xD ．4【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2x 3•x=2x 4，故选：B ．【强化练习】1、（1）x m 86·m x 32 （2）3ab 2÷ab 62、化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 分式的乘方法则【知识梳理】分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
八年级上册数学分式讲解
八年级上册数学分式讲解一、分式的概念。
1. 定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子(A)/(B)叫做分式。
例如(x + 1)/(x)，(1)/(x - y)等都是分式。
- 整式和分式统称为有理式。
整式是单项式和多项式的统称，像3x，x^2+2x + 1等是整式，而分式是分母中含有字母的式子。
2. 分式有意义的条件。
- 分式的分母不能为0。
例如对于分式(1)/(x)，当x = 0时，分式无意义；当x≠0时，分式有意义。
- 对于分式(x+1)/(x - 2)，要使其有意义，则x-2≠0，即x≠2。
二、分式的基本性质。
1. 性质内容。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
- 例如：(2)/(3)=(2× 2)/(3× 2)=(4)/(6)，对于分式(x)/(x + 1)，(x)/(x + 1)=(x×2)/((x + 1)× 2)=(2x)/(2x+2)（x≠ - 1）。
2. 约分。
- 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
- 步骤：- 首先找出分子分母的公因式。
例如对于分式frac{6x^2y}{9xy^2}，分子6x^2y = 2×3× x× x× y，分母9xy^2=3×3× x× y× y，公因式为3xy。
- 然后将分子分母同时除以公因式，得到frac{6x^2y}{9xy^2}=(2x)/(3y)。
3. 通分。
- 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
- 步骤：- 先确定最简公分母。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
八年级数学上册分式混合运算(讲义及答案)(人教版)
②
1
③
ab
当 a=1， b=1 时，原式 =1．
④
以上过程有两处错误，第一次出错在第
______步（填写序号） ，原因：
____________________________________________；_
还有第 _______步出错（填写序号） ，原因：
__________________________________________________．_
x 2； 2x
11
x
（2） x1 x1
2x2
； 2
（3） 1
4 a2 4
a； a2
第1页 共7页
（4） a 3a 4 1 1 ；
a3
a2
（5） x 1 3
x2 4x 4 ；
x1
x1
（6） a a
1 1
a a2 2a 1
1． a
2. 化简求值：
第2页 共7页
（1）先化简，再求值：
x2 1 1 x x2 2x 1 x 1
请你写出此题的正确解答过程．
4. 课堂上，王老师出了这样一道题：
已知 x
2 015
5
3 ，求代数式
x2 2x 1 x2 1
1 x 3 的值． x1
小明觉得直接代入计算太复杂了， 同学小刚帮他解决了问题， 并解释说：“结
果与 x 无关”．解答过程如下：
第5页 共7页
x ，其中 x=3． x1
（ 2）先化简，再求值：
b2 a2
a2 ab
a 2 1， b 2 1．
2ab b2 a
a
1 1 ，其中 ab
（ 3）先化简分式 x
人教版八年级数学第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子BA 叫做分式。
二、在分式中，如果________,则分式AB 有意义；如果________,则分式A B无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <； 例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134x x +-的值为负数 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
当x_________时，分式2361x x -+的值为负数。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。
约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。
最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。
（注意约分一定要彻底）五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
人教版同步教参数学八年级-分式：分式的基本概念和性质
分式第 1 节 分式的基本概念和性质【知识梳理】1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是BA的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．通分（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．（2）通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．8．最简公分母（1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．【诊断自测】1、用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为_____的形式。
精品 八年级数学上册 分式同步讲义 分式的加减运算 同步练习题
4.下列算式中正确的是（ A.
b c bc a a 2a
b c bd a d ac
C.
b c bd a d ac
） D. )
D.
b c bc ad a d ac
5.x 克盐溶解在 a 克水中，取这种盐水 m 克，其中含盐（ A.A.
mx 克 a
x2 x 6
(2)
x 1 3( x 1) 2 x4 x2
(3) x y
4 xy 4 xy x y x y x y
(4) a
a a 2 2a 1 ; a 1 a 2 4 a 2
22.若
(4)
n2 4mn m 2 2mn mn mn mn
例 2.计算下列各分式： (1)
3 1 2x 2 x2 2 x x 4
(2)
2x 2 x 1 x 1
(3)
1 1 2 4 2 1 x 1 x 1 x 1 x 4
(4)
x 2 3x 6 x 3x 2
2
x 2 5x 2 x 5x 6
2
例 3.先化简,再求值:
7 1 2 2 2 1 , 其 中 x - . 2 x x x
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八年级数学上册 同步讲义
例 4.已知
x5 A B ，求代数式 A 3 B 4 A 2 B 2 4 AB 3 的值. ( x 1)( x 3) x 1 x 5
a3 2 －a －a－1= a 1 x 2 4x x2பைடு நூலகம்－ 2 = ( x 2)( x 4) x 4
2014年 八年级数学上册同步讲义+同步练习-分式的基本性质
第15章 分式第01课 分式的基本性质知识点 一、分式分式的概念：一般地，形如BA的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。
分式是否有意义的识别方法：分式无意义的条件： ； 分式值为1的条件： ； 分式有意义的条件： ； 分式值为-1的条件： ； 分式为零的条件： ； 二、分式的基本性质：分式的分子与分母都 ，分式的值不变。
（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）的整式不能等于零．（2）要充分理解基本性质中的“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误． （3）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中 ，分式的值不变．（4）因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式，要把它看作一个整体变号时，将多项式的各项都改变符号． 三、约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分式约分的步骤：先 ，再 。
（1）如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂． （2）如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公 因式．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边． 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（既约分式） 分子、分母都是乘积形式时，才能约分． 四、通分：（1）分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定几个分式的公分母。
（3）取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母。
确定公分母时应注意：系数取 ，字母因式取 。
（4）约分是对一个分式而言，是将分式化简；通分是对几个分式而言，是将分式化繁。
根据分式的基本性质，将分式的分子和分母都乘以同一个数，就可以使它们各项的系数化为整数；这 个数显然应取分子、分母中各项系数的最小公倍数．分子或分母的系数是负数时，•一般先把负号提到分式本身的前面，或先去掉负号． 分子和分母中含有可以分解因式的多项式，应先把它们分解因式，•然后再约去公因式．19.当x 取什么值时，下列分式有意义： (1)32-x x (2)141+-x x (3)422+x x (4)1212+-+x x x (5)4-x x (6)21102x x -+20.当x 为什么数时，下列分式的值为零:(1)5412+-x x (2)221--x x (3)13+x x (4)392--x x第01课日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分： 1.分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31≠a 时,分式的值为零 2.下列等式：①()ab a b cc---=-;②x y x y xx-+-=-;③a b a b cc-++=-;④m n m n mm---=-中,成立的是（ ）A.①②B.③④C.①③D.②④ 3.下列各式中，可能取值为零的是（ ）A.2211m m +-B.211m m -+ C.211m m +- D.211m m ++4.已知2111=-b a ，则ba ab -的值是( ) A.21 B.-21C.2D.-2 5.已知0199752=--x x ，则代数式21)2()2(22-+---x x x 的值为（ ）A.1999B.2000C.2001D.-26.对于分式5312-+x x ， （1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0．7.当x=________时，分式)3)(1(62----x x x x 的值为零．8.若53232++x x 的值为61，则36412-+x x 的值为 9.若分式1222-+x x 的值为正整数，则整数x 的值为10.已知1a 3<<-，化简分式12312+-+⋅-a a a a 的结果为11.化简：)2()1()()(343222a aba b b a ⋅⋅-⋅--12.化简：（1）9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--x x x x x 23441822213.已知y=123x x--,x 取哪些值时： （1）y 的值是正数； （2）y 的值是负数； （3）y 的值是零； （4）分式无意义．14.如果x 2-3x+1=0，求221x x +的值。
人教版数学 八年级上 第十五章 《分式》精品讲义
所以 x2 y2 z2 0. yz zx xy
【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必 须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现 了整体的数学思想和转化的数学思想.
所以 (x
xyz y)( y z)(x
z）
2k k 3k 3k 4k 5k
6k 3 60k 3
1 10
.
例6 已知 x a, z c, 且 abc o ,求 a b c 的值.
yz xy
a 1 b1 c 1
解: 由已知得 1 y z , ax
所以 1 1 y z 1 x y z , 即 a 1 x y z ,
同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分
子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性
质化为最简形式.
专题 2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化
简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念 分式的意义、无意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的基本性质 分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式
同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程 分式方程中使最简公分母为 0 的解
八年级下册数学分式知识点
八年级下册数学分式知识点分式是初中数学重要的知识点之一，也是学习高中数学和其他学科的基础。
在八年级下册数学教学中，分式作为一个重要的知识点，将持续出现。
一、分式的概念分式是指一个数可以表示为非整数的两个整数的比值，分子和分母。
分式一般写作a/b，其中a为分子，b为分母。
分子表示分式的被除数，分母表示除数。
例如，7/3是一个分式，其中7是分子，3是分母。
二、分式的化简化简分式是指将分式化为最简整数形式。
最简整数形式是指分子和分母不含公因数（除了1）的分式。
取出分子和分母的公因数，并将其约掉，即可将分式化简为最简整数形式。
例如，将12/20化简为最简整数形式，步骤如下：- 取出公因数，得到12=2×2×3, 20=2×2×5- 约掉公因数2×2，得到12/20 = 3/5三、分式的四则运算分式的四则运算是指分式间的加、减、乘、除运算。
1. 加减运算若要对分式进行加减运算，则需要先将分式化为通分分式，即将分母相同的分式合并到一起。
例如，将2/3和1/4相加，步骤如下：- 将2/3表示为8/12，将1/4表示为3/12- 将8/12和3/12相加，得到11/122. 乘法运算若要对分式进行乘法运算，则将分式的分子、分母分别相乘即可。
例如，将2/3和3/4相乘，步骤如下：- 分子相乘，得到2×3=6- 分母相乘，得到3×4=12- 将6/12化简为最简整数形式，得到1/23. 除法运算若要对分式进行除法运算，则需要将除数的分子和分母调换位置，再将被除数与调换后的除数相乘。
例如，将3/4除以2/5，步骤如下：- 将除数调换位置得到5/2- 将3/4和5/2相乘，得到15/8四、分式的应用分式在实际生活和工作中有广泛的应用，如商业折扣、物品配方、工作效率计算等。
例如，某商场举办打折活动，若某商品原价为60元，打8折后价格为多少？- 打八折后，商品价格为60×0.8=48元- 商品的打折折扣为原价和打折后价格的比值，即8/10或4/5五、分式的重要性学习分式对于初中数学知识和高中数学知识的学习来说，都具有重要的作用。
认识分式教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
当 a≠ 时， 分式有意义 由分子 a+1=0， 得 a=-1 当 a = -1 时， 分式的值为零。
随堂训练
随堂训练
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）5x-7 （4） （7）
（2） （5）
（8）
（3）3x2-1 பைடு நூலகம்6）
随堂训练
2、已知分式
x2 4 x2
（, 1）当x为何值时，分式无意义?
35a 45b ab
问题：1、上述代数式中哪些是整式？
b ax
2、除整式外的其他代数式，它们有什么共同
特征？它们与整式有什么不同？
知识讲授
知识讲授
分式的定义 一般地、用A,B表示两个整式，A÷B可以
表示成A
B
称式子A B
的情势.且除式B中含有字母，那么 为分式.
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
(2) 当x为何值时，分式有意义?
解: (1)当分母等于零时,分式无意义。
即 x+2=0 ∴x = -2 x2 4 无意义。
x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
∴当x ≠ -2时分式
x2 4 有意义。
x2
随堂训练
（3）已知分式 x2 4当x为何值时，分式的值为零? x2
当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
3
解:属于整式的有（2）、（4） 属于分式的有（1）、（3）
判断一个代数式是否是分式的关键是什么？
例题讲授
例2（1）当 a =1，2、-1时，分别求分式
的值； 解：当 a=1时
当 a=2时
当a=-1时
（2）当 a取何值时，分式 有意义？分式的值为零？
八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。
BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。
（对于任BA何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
八年级上册分式
八年级上册分式
摘要：
一、分式的基本概念
1.分式的定义
2.分式的构成
二、分式的性质
1.分式的基本性质
2.分式的运算性质
三、分式的运算
1.分式的加减法
2.分式的乘除法
四、分式的应用
1.实际问题中的应用
2.数学问题中的应用
正文：
在八年级上册的数学课程中，我们学习了分式这一新的数学概念。
分式是一个非常重要的数学工具，它在解决实际问题和数学问题中都发挥着关键的作用。
首先，我们学习了分式的基本概念。
分式是由分子和分母组成的，分子和分母都可以是整式或者代数式。
分式的定义是：如果A 和B 都是整式，并且B 不等于0，那么我们称A/B 为一个分式。
接着，我们学习了分式的性质。
分式的基本性质是指，当分式的分子和分母同时乘以或者除以一个非零整式时，分式的值不变。
而分式的运算性质则是指，分式可以进行加减乘除四种运算，运算的结果仍然是一个分式。
在学习完分式的性质后，我们开始学习如何进行分式的运算。
分式的加减法需要将分式通分，然后按照整式的加减法进行运算。
而分式的乘除法则需要将分式约分，然后按照整式的乘除法进行运算。
最后，我们学习了分式的应用。
在实际问题中，我们常常需要通过设立分式来表示一些量之间的关系。
例如，速度可以表示为路程除以时间，这就可以用一个分式来表示。
在数学问题中，分式也有着广泛的应用，例如在解方程时，我们常常需要使用分式来表示方程的解。
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分式一、从分数到分式：（1）.分式定义：一般地，形如AB的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。
整式和分式称为有理式。
注意：判断代数式是否是分式时不需要化简。
例：下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 练习：1.下列各式:①312-x ;②x x 22;③21x ;④πv.其中分式有 。
2.在代数式m 1,41,xy y x 22,y x +2,32aa +中，分式的个数是 。
（2）分式有意义的条件：分母不等于0.*例：下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．练习：1.当___________________时,分式)2)(1(--x x x有意义.2.当____________________时,分式2)2(--x x x 无意义.3.当m____________时，分式mm 4127-+有意义.4.下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是( )A.121+x B.15.01+x C.231x x - D.12352++x x —5.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +7．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±8.应用题:一项工程，甲队独做需a 天完成，乙队独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需________天完成. (3)分式的值为0：分子等于0，分母不等于0例：1.当x=____________时,分式xxx -2的值为0，2.当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．3.当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负．4．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++练习： 1．分式24xx -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 2.若分式34922+--x x x 的值为零，则x 的值为3.当m =________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为零．4.若分式23x x -的值为负，则x 的取值是( ) ~＜3且x≠0 ＞3 C.x ＜3 ＞－3且x≠05．分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义C ．若13a -≠时，分式的值为零；D ．若13a ≠时，分式的值为零6．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++7.已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．：8.若分式212xx -+的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围．~9.已知34=y x ,求2222532253yxy x y xy x -++-的值. 10．已知13x y 1-=，求5352x xy yx xy y +---的值．二、分式的基本性质：分式的分子或分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例：1.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：[y x y x 32213221-+= b a b a -+2.05.03.0= 2．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。
1.a b 65--= 2.y x 3-= 3.nm -2= 4. x yz ---=3.填空:(1)abb a 3)(32=; (2))(3432b a ab = 4.当a_____________时，aa a a a a 51)1)(1(52++-+=+成立. 5.对有理数x ，下列结论中一定正确的是( )A.分式的分子与分母同乘以|x|，分式的值不变B.分式的分子与分母同乘以x 2，分式的值不变[C.分式的分子与分母同乘以|x+2|，分式的值不变D.分式的分子与分母同乘以x 2+1，分式的值不变 6.对于分式11+a ,总有( ) A.2211-=-a a B.11112-+=-a a a (a≠－1) C.11112--=-a a a D.1111+-=-a a 7.填空:(1))(3432ab ac b a =; (2))()(2b a b a b a -=+-. 分式约分：化简分式(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．—(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．分式约分的基本步骤：1 分子分母能进行因式分解的式子分解因式。
2 找出分子分母的最大公因式。
3 分子分母同时除以最大公因式。
4 最间分式的分子分母不含有公因式或公因数。
例：1.找出下列分式中分子分母的公因式:⑴ac bc 128 ⑵233123ac c b a ⑶ ()2xy y y x + ⑷ ()22y x xy x ++ ⑸()222y x y x -- ~2把下列分式化为最简分式：a a 1282=_____ c ab bc a 23245125=_______ ()()b a b a ++13262=_________ 221326b a b a -+=________ab a b a +-222= 练习1．分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.下列分式中是最简分式是（ ）A .2222n m n m +-B .9322-+m m m C.322)(y x y x +- D. 222)(n m n m -- 3.约分：￥（1）22248ab b a （2）()()a ab a b a --1241822 （3）12122+--x x x4.约分:(1)45322515ba b a - (2)242+-x x；5.不改变分式的值,使分式的分子、分母不含负号.(1)x x 233---= (2)232+--x =6.化简求值："（1）xyx yx 84422--其中41,21==y x 。
（2）96922+--a a a 其中5=a~分式通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
步骤：先求出几个异分母分式的分母的最简公分母，作为它们的公分母，把原来的各分式化成用这个公分母做分母的分式。
找最简公分母的步骤：（1）把分式的分子与分母分解因式； （2）取各分式的分母中系数最小公倍数；（3）各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （4）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；·（5）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
例：1.求分式4322361,41,21xy y x z y x 的最简公分母。
2. 求分式2241x x -与412-x 的最简公分母。
3. 通分： （1）xy y x x y 41,3,22； （2）22225,103,54acb b ac c b a - （3）42,361,)42(222---x x x x x x ， （4）232,1122+--x x xx :练习： 1、通分：y x y y x +-22;)1( 1;1)2(23----x x x x （3）21,42ba ac（4）221,939a a a --- （5）))((1,))((1,))((1b ac a a c c b c b b a ------`2．求下列各组分式的最简公分母：（1）22265,41,32bc c a ab ； （2）c m n m mn 32291,61,21； （3）))((1,1b a a b b a +--； （4）2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x ；（5）11,1,2222-++x x x x x 。
【3．通分：（1）z x y z x y 43,3,2； （2）cb aab c a b 23326,43-； （3）232465,32,81xz z y x y x -。
（4）)2(,)2(++x b x x a y ； （5）yx x y x 221,)(1--； （6）2)2(34,)2(25x x --；)（7）222231,)(1y xy x y x +--； （8）2293,125a aa a a --+。
（9）21,2,23122423-+--+-a a a a a a a ；（10）203,125,1584222----+-+-+x x x x x x x x x ； （11）))((,))((a b c b cb c b b a b a --+--+；（12）))((1,))((1,))((1b c a c a b c b c a b a ------。