【易错题】高中必修一数学上期末第一次模拟试题(含答案)

【易错题】高中必修一数学上期末第一次模拟试题(含答案)
一、选择题
1．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩
，
关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数
解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞
B ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(1,+)∞
2．已知0.1
1.1x =， 1.1
0.9y =，2
3
4
log 3
z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>
C ．y z x >>
D ．x z y >>
3．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．21
1
y x =
+ C ．2x y =-
D ．()lg 1(0)y x x =+>
4．设函数()()21
2
log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )
A ．()()1,00,1-⋃
B ．()(),11,-∞-⋃+∞
C ．()()1,01,-⋃+∞
D ．()(),10,1-∞-⋃
5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数
6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．-3
D ．3
6．函数ln x y x
=
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数21
y x x =-+的定义域是( ) A ．（-1，2]
B ．[-1,2]
C ．（-1 ，2）
D ．[-1,2)
8．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当
[]1,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)
恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A ．[]3,5
B ．()3,5
C ．[]4,6
D ．()4,6
9．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
10．
曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124
B ．5
(
,)12
+∞ C ．13(,)
34
D ．53
(,
)(,)124
-∞⋃+∞ 11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()1
52
x -三个值中的最小值，则()f x （ ）
A ．无最大值，无最小值
B ．有最大值2，最小值1
C ．有最大值1，无最小值
D ．有最大值2，无最小值
二、填空题
13．已知1,0
()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．
14．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 15．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．
16．已知()()22,0
2,
0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程
104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记
121
==+++∑n
i
n i x
x x x L ，则1
n
i i x ==∑__________．
17．设定义在[]22-,
上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________． 18．已知常数a R ∈，函数()21
x a
f x x +=
+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.
19．对于复数a b
c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有
xy S ∈”，则当221{1a b c b
===，
，时，b c d ++等于___________
20．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________.
三、解答题
21．已知函数1
()21
x f x a =-
+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；
（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值. 22．设()()12
log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.
（1）求a 的值；
（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12x
f x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
恒成立，求实数m 的取值范围 .
23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
. （1）当[]
2,4x ∈时，求该函数的值域；
（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t . 24．已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. （1）求该函数的定义域；
（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 25．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x
分别满足
()8f x =+1
()124
g x x =
+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）
（Ⅰ）求(8)F 的值.
（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.
26．已知函数2
1
()f x x x =
-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；
（2）若关于x 的不等式(
)
2
20f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解
【详解】
解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩
，
，可作函数图象如下所示：
依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数
()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令
12341
10122
x x x x <-<<<
<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以34
1x x =，则
34
1
x x =
，()41,2x ∈ 所以123444
1
2x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =
+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
1234441120,2x x x x x x ⎛⎫
∴+++=-+
+∈ ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】
解：0.10x 1.1 1.11=>=Q ， 1.1
00y 0.90.91<=<=，2
23
3
4
z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】
本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】
对于A ：2
y x =的值域为[
)0,+∞；
对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21
011
x ∴<
≤+，
21
1
y x ∴=
+的值域为(]0,1； 对于C ：2x y =-的值域为(),0-∞；
对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，
()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；
故选：D ． 【点睛】
此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
因为函数()()21
2log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或
()()122
log log a a a <⎧⎪
⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，
故选C. 5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则
(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即
6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．
【详解】
Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，
∴()()f x f x -=-，
又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，
(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-
Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有
唯一解，
令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：
由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =
∴(2019)(1)3f f =-=-，
故答案选C ． 【点睛】
本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．
6．C
解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x
=性质，即可得到正确答案.
详解：函数ln x y x
=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xx
x
--=
=-
=-Q （）（）
， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x x
y y x
x x
==
=' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．
点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
由题意得：20
10
x x -≥⎧⎨
+>⎩
解得：﹣1＜x≤2，
故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
8．D
解析：D 【解析】
由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()1
12x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，且()f x 是R 上的周期为2的函数，
作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程
()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，
所以()()1log 311log 511a a
a >⎧⎪
+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.
故选D.
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
解析：A 【解析】
因为00.31,1e <，所以0.3
log 0c e =<，由于
0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．
10．A
解析：A 【解析】
试题分析：241(22)y x x =-+-≤≤对应的图形为以()
0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点
()2,4，直线与半圆相切时斜率5
12
k =，过点()2,1-时斜率3
4k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124
考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法
11．B
解析：B 【解析】
因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2
(22)2a a -+-=7.
选B.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】
画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()11
52y x y x =+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D
【点睛】
本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．
二、填空题
13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：
解析：3
{|}2
x x ≤
【解析】
当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 3
22
x -≤≤
；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并
解集为32x x ⎧⎫≤
⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫
≤⎨⎬⎩⎭
. 14．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1
【解析】 【分析】
令()
0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】
由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，
y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两
个交点. 故答案为：()
0,1.
【点睛】
本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
15．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+
【解析】 【分析】
首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】
因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，
所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.
(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，
所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.
16．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-
【解析】 【分析】
根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】
a 是方程lg 4x x +=的解,
b 是方程104x x +=的解,
则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10x
y =图像交点的横坐标
因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10x
y =图像关于y x =对称
所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10x
y =图像的两个交点也关于y x =对称
所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得2
2x y =⎧⎨=⎩
根据中点坐标公式可得4a b +=
所以函数()242,0
2,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩
当0x ≤时,()2
42f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=
解得2,1x x =-=-
当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121n
i i x ==-+-+=-∑
故答案为:1- 【点睛】
本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.
17．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上
解析：11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】
解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，
()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数
()f x 在区间[]0,2上单调递减，
(1)()f m f m -<，
0|||1|2m m ∴<-剟，
得112m -<
…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
． 【点睛】
本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在
求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,
来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．
18．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的
解析：【解析】 【分析】
将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】
当x a =-时，()0f x =， 当x a ?
时，
()222
1
1
1[()]1
()2x a x a
f x a x x a a x a a
x a
++=
==+++-+++-+， x a >-
时，21()22a x a a a x a
+++-≥+
当且仅当x a =时，等号成立，
0()2a
f x ∴<≤=
同理x a <-
时，()02
a
f x ∴≤<，
()22
a a
f x ∴≤≤
， 即()f x
的最小值和最大值分别为,
2
2
a a
，
2=
，解得a =. 故答案为
:
【点睛】
本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.
19．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：
解析：-1 【解析】
由题意可得：2
1,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .
20．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥
【解析】 【分析】
根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【详解】
因为点(4,2)在幂函数()()f x x R α
α=∈的图象上，所以24α=，解得12
α=
， 所以幂函数的解析式为12
y x =， 则2
x y =，所以原函数的反函数为1
2()(0)f x x x -=≥．
故答案为：1
2()(0)f x x x -=≥
【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题
21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16
. 【解析】 【分析】 【详解】
(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <,
则1
21211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)
x x x x -++. 12x x <Q ,∴12
1222
0,(12)(12)0x
x x x -++.
∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <. 所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. (2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数, ∴(0)0f =,即01
021
a -=+. 解得12
a =
. (3)由(2)知，11()221
x f x =
-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,
∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f . ∵111(1)236
f =
-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16
. 22．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
(1)依题意代数求值即可;
(2)设()()12
1log 1022x
g x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因
此,求出()g x 的最小值即可得出结论. 【详解】 (1)()32f =-Q ,
()12
log 1032a ∴-=-,
即2
11032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,解得2a =;
(2)设()()12
1log 1022x
g x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭,
题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,
()g x Q 在[]3,4上为增函数,
()3
1min
2
117(3)log (106)28g x g ⎛⎫
∴==--=- ⎪⎝⎭,
17
8
m ∴<-
, m ∴的取值范围为17,8⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.
23．（1）1,08⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦（2）(
)2442log 3log 1,21,8
t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪
⎩
【解析】 【分析】
(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】
(1)令4log m x =,则[]
2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,
则()()2
2131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 故当3
4m =
时,()f x 有最小值为18-,当12
m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1
,08
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
;
(2)由(1)可知()2
231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤
∴∈⎢⎥⎣⎦
,
当413log 24t <<,
即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,
当43
log 4t ≥
,
即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,在43
,log 4
t ⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上单调递增,
()()min 3148g t h m h ⎛⎫
===- ⎪⎝⎭
,
综上所述:(
)2442log 3log 1,21
,8
t t t g t t ⎧-+<<⎪
=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】
本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 24．（1）(1,3)- （2）12x x m +> 【解析】 【分析】
（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得
12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.
【详解】
（1）依题意可知30
1310x x x ->⎧⇒-<<⎨
+>⎩
，故该函数的定义域为(1,3)-； （2）22
22()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，
故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=， ∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>． 【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题. 25．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】
（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.
（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】
（Ⅰ）由题意知11
()8(20)122544
F a a a =+-+=-+，
所以1
(8)825394
F =-
⨯+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨
-⎩
…
剟….
故1
()25(218)4
F a a a =-+剟.
令t =
t ∈
，22
11()25(5744
G t t t =-++=--+，
显然在上()G t 单调递增，
所以当t =18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.
所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】
本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.
26．（1）证明见解析（2）m 1≥ 【解析】 【分析】
（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.
（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()2
21212m x x x >--=-++，得到答案. 【详解】
（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，
()()()()22
21121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22
110x x >
∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()
()2
201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，
()2
21212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.
【点睛】
本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.。