2021届高考数学专题十八离心率精准培优专练理

培优点十八 离心率
1．离心率的值
例1：设1F ，2F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段
1PF 的中点在y 轴上，假设1230PF F ∠=︒，那么椭圆的离心率为〔 〕 A ．
3
3
B ．
36 C ．13
D ．
16
【答案】A
【解析】此题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得
2PF y ∥轴，
从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，那么直角三角形12PF F △中，
1212::2:1:3PF PF F F =，
且122a PF PF =+，122c F F =，所以121223
23
F F c c e a a PF PF ∴====+，应选A ．
2．离心率的取值范围
例2：F 是双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂
直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，假设ABE △是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围为〔 〕
A ．()1,+∞
B ．()1,2
C ．(1,12+
D ．()
2,12+
【答案】B
【解析】从图中可观察到假设ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只
需π0,4AEF ⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，
得：2b AF a =，
FE a c =+，
所以()()222tan 1112AF
b c a c a
AEF e FE a a c a a c a
--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，应选B ．
一、单项选择题
1．假设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，那么该双曲线C 的离
心率为〔 〕 A
B
C
D
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21b
a
-=-，
即1
2
b a =
，e ∴==，应选D ． 2．倾斜角为π
4的直线经过椭圆()222210x y a b a b
+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且
2AF FB =，那么该椭圆的离心率为〔 〕
A
B
C
D
【答案】A
【解析】
设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+
⎨=⎪⎪⎪⎩
，代入椭圆方程并化简得
22224
1102
2a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，
所以12t t +=4
1222
2b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理，
对点增分集训
化简得2
2
2
8c a b =+，即2229c a =，c
a
=A ．
3．?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股〞，讲述了“勾股定理〞及一些应用，
还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾〞“股〞“弦〞．设
1F 、2F 分别是双曲线
()22
2
210,0x y a b a b
-=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，假设1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾〞“股〞，且124PF PF ab ⋅=，那么双曲线的离心率为〔 〕
A B C ．2 D 【答案】D
【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()
2
212
4PF PF a -=，
即2
2
2121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以2
2
2
212124PF PF F F c +==，
又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率c
e a
=
=D ． 4．双曲线()22
12210,0:x y C a b a b
-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点一
样，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，那么双曲线1C 的离心率为〔 〕
A B C 1 D ．2
【答案】C
【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2
p
c =， 那么,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，即(),2A c c ，(),2B c c -，
又：'2AF AF a -=，'AF ，
据此有：22c a -=，即)
1c a =，
那么双曲线的离心率：1
c e a =
=．此题选择C 选项．
5．点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上，假设点M 为椭圆C 的右顶点，
且PO PM ⊥〔O 为坐标原点〕，那么椭圆C 的离心率e 的取值范围是〔 〕
A
．⎛ ⎝⎭
B ．()0,1
C
．2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D
．2⎛ ⎝⎭
【答案】C
【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭，半径为2a ，
所以圆的方程
为：2
22
24a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，
与椭圆方程联立得：22
2210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，
由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2
a
与a 之间，
所以22221a a a b a <<⎛⎫
- ⎪⎝⎭，结合222
a b c =+，解得221122a c <<，
1e <<．应选C ． 6．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，假设椭圆上存在点P ，使得
120APB ∠=︒，那么该椭圆的离心率的最小值为〔 〕
A
B
C
D ．34
【答案】C
【解析】设M 为椭圆短轴一端点，那么由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，
所以tan60a b ≥︒=
，
a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，22
3
e ≥
，e ≥
，应选C ． 7．双曲线22
221x y a b
-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，
那么此双曲线的离心率e 的最大值为〔 〕 A ．43
B ．53
C ．2
D ．73
【答案】B
【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，22
3
PF a =，
在12PF F △中，由余弦定理，得22
2
212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，
要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =
，即e 的最大值为5
3
，应选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故5
3a c ≥，即e 的
最大值为5
3
，应选B ．
8．椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，
假设121
2
OP F F =，且212PF PF a =，那么该椭圆的离心率为〔 〕
A ．34
B
C ．12
D
【答案】D
【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，
又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，
OP b =，且121
2
OP F F c =
=
，即有c b =
，即为a =
，c e a ==
．应选D ． 9．假设直线2y x =与双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>有公共点，那么双曲线的离心率的取值范
围为〔 〕 A
．( B
．(
C
．)
+∞
D
．
)
+∞
【答案】D
【解析】双曲线()222210x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b
y x a =±，
由双曲线与直线2y x =有交点，那么有2b a >，即有2
1+145c b e a a ⎛⎫
==>+= ⎪⎝⎭，
那么双曲线的离心率的取值范围为
(
)
5,+∞，应选D ．
10．我们把焦点一样且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线〞．1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，假设为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，那么双曲线的离心率2e =〔 〕 A 2B ．2 C 3D ．3
【答案】C
【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2
2
22243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，
由离心率公式可得
2212
13
4e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得23e =C ． 11．又到了大家最喜〔tao 〕爱〔yan 〕的圆锥曲线了．直线:210l kx y k --+=与椭圆
()22122:10x y C a b a b
+=>>交于A 、B 两点，
与圆()()22
2:211C x y -+-=交于C 、D 两点．假设存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，那么椭圆1C 的离心率的取值范围是〔 〕 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．22⎛ ⎝⎦
D ．22⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【答案】C
【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，
AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，
设()11,A x y ，()22,B x y ，22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()
1212121222
x x x x y y y y a b +-+-=-，
化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--
⋅==+-，2
22b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，2220,2b e a ⎛⎤
=∈ ⎥ ⎝⎦
，应选C ． 12．点P 为双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，
点I 是12PF F △的内心〔三角形内切圆的圆心〕，假设恒有12121
3
IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，那么
双曲线的离心率取值范围是〔 〕 A ．(]1,2 B ．()1,2
C ．(]0,3
D ．(]1,3
【答案】D 【解析】
设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =
⋅△，2212PF S PF r =⋅△，121
22PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()123
32
c PF PF a ≤-=， 故3c
e a
=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，应选D ．
二、填空题
13．抛物线()2
20y px p =>与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>有一样的焦点F ，点A 是两曲
线的一个交点，假设直线AF 的斜率为3，那么双曲线的离心率为______． 【答案】
72
3
+ 【解析】如下图，设双曲线的另外一个焦点为1F ，
由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以123BF c =，4BF c =， 所以2
221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，
所以127AF c =，由双曲线的定义可知2274a c c =-72
+． 14．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，假设M 是该双曲线右支上
一点， 满足
12
3MF MF =，那么离心率e 的取值范围是__________．
【答案】(]1,2
【解析】设M 点的横坐标为x ，∵12
3MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第
二定义，
可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，2ex a ∴=，
x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．
15．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B
的两点，且2AF x ⊥轴，假设P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，那么该椭圆的离心率为_______．
【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，那么2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，
过B 作BC x ⊥轴于C ，那么易知121AF F BFC △～△，
由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =，
所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得22
2225199c b a a +=，即222259c b a +=，
又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．
． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，假
设该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，那么该椭圆的离心率的取值范围是____________． 【答案】111,,1322⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12
e >， 又因为1e <，所以
1
12
e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，
即222a c c ->且2c a c >-，解得：11
32
e <<，
综上112
e <<或11
32e <<．
三、解答题
17．双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
〔1〕求双曲线C 的渐进线方程．
〔2〕当1a =时，直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．
【答案】〔1
〕y =；〔2〕1m =±． 【解析】〔1
〕由题意，得c
e a
=
223c a ∴=， ∴2
2
2
2
2b c a a =-=，即2
22b a
=，
∴所求双曲线C
的渐进线方程b
y x a
=±=．
〔2〕由〔1〕得当1a =时，双曲线C 的方程为2
2
12
y x -=．
设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由2
212
0y x x y m -
⎧=++=⎪⎨⎪⎩
，得22220x mx m ---=〔判别式0Δ>〕， ∴12
02
x x x m +=
=，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2
225m m +=，∴1m =±．
18．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为()1,0F -
，离心率e =．
〔1〕求椭圆C 的标准方程；
〔2〕直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．
①假设直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；
②假设OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．
【答案】〔1〕2
212
x y +=；〔2〕①见解析，②322OAB S ≤<△ 【解析】〔1〕由题设知，2c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=． 〔2〕①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，那么()0,P k ．
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2
212
x y +=得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，2122
2212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知 111x x λ=-+，22
1x x μ=-+， 2222121222121222
444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知2OAB S =△ 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k
=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，
所以21
2212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+
212OAB S OA OB =⨯=△， 令211t k =+>，那么
OAB S ==△ 因为()10,1t
∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤
⎪⎝⎭，故32OAB S
≤<△，综上32OAB S ≤<△。