椭圆标准方程的教案

《椭圆的标准方程》教案——张慧
2.2.1椭圆的标准方程教案
一．教学目标：
知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；掌握椭圆的标准方程的概念，明确椭圆的标准方程的形式，能
区分椭圆的焦点在X 轴与Y 轴上的不同；能根据椭圆标准方程求焦距和焦点,初步掌握求椭圆标准方程的方法。

能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力,在进一步培养学生数形结合和化归的数学思想方
法的过程中，提高学生的学习能力。

情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣；培养学生勇于创新的精神,数学审美的能力，以及数与形对立统一的辩证唯物主义思想。

二．教学重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；
教学难点：椭圆的标准方程的推导，辨析椭圆标准方程。

三．教学过程： （一）复习导入
复习提问：1.圆的定义；2.圆的标准方程。

新课导入：提问学生是否记得2003年10月15日这个具有重大意义的日子？ 通过课件演示2003年10月15日，我国自行研制的“神舟”五号载人飞船成功遨游太空21小时后顺利返回地面，实现了中国人的飞天梦． (二)新课讲授
1、由拉线画椭圆的实验，我们得到椭圆的定义．讲解时，必须强调2a ＞
2c ＞0的条件．为此，我们在做拉线画椭圆的实验时，用同一根细绳（长度为2a ），不断改变F 1、F 2的距离（为2c ）重复画椭圆（即2a 不变，2c 变化），带领学生总结如下规律：F 1和F 2的距离越大，画出的椭圆越扁平，F 1和F 2的距离越小，画出的椭圆越接近圆，当F 1和F 2重合时，椭圆变成了圆，当F 1和F 2的距离等于绳长时，椭圆就“退化”为一条线段．这样，不但突出了椭圆定义中2a ＞2c ＞0的条件，还为讲解椭圆的离心率对其扁圆程度的影响打下伏笔．（说明：也可以固定F 1、F 2，改变绳长画椭圆）
2、推导椭圆的标准方程，可按照求曲线方程的步骤进行：（1）设点（先建立坐标系），（2）列式（3）代换（4）化简（5）证明（可省略）．
要注意以下几点：
（1）为使所得方程简单易记，启发学生思考：怎样利用椭圆是对称图形的特点来选取坐标系？
（2）对方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++①化简有一定难度，教学中只要抓住“怎样消去方程中的根号”这一关键问题，介绍两种去根号的方法，步骤写详细一些，学生可以接受．
（3）方程①两次平方，得到方程（a 2-c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2
)②后，指出：为了使方程简单易记，且
具有对称美，可设b 2
=a 2
-c 2
，从而得到标准方程，122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）．
思考：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？
问题1:椭圆的定义 图形
标准方程 焦点坐标
a,b,c 的关系 焦点位置的判断
问题2如图2-5，当动点M 到达B 点时，()()a MF MF BF BF BF =+=+=
212122
121
．在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，所以|OB |2＝a 2－c 2．
(4)由方程
a y c x y c x 2)()(2222=+-+++① 经两次平方并化简得到方程
)()(22222222c a a y a x c a -=+- ② 可能不是同解变形，必须证明“以方程②的解为坐标的点必在椭圆上”．由于证明过程学生接受起来比较困难，所以教材中省略了．如有学生问起可以加以说明．（此证明在“引伸与提高”中给出）．
（5）当椭圆方程化为标准形式后，x 2与y 2
项的哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上． （三）例题讲解
【例1】求椭圆13
52
2=+y x 的焦点与焦距。

(分析后显示过程) 对全班同学,以四人为一组分成小组,围绕椭圆定义和椭圆的标准方程，商量后出一道练习题。

【例2】已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点的距离之和是10，写出这个椭圆的标准方程。

[变式]将例1中条件“焦点在x 轴”去掉，结论又是如何？（提问）(分析后显示过程) 方程 14
92
2=+y x 19
42
2=+y x 焦点位置
a b c
焦点坐标 到两焦点的距离和
（五）小结： 二个方程， 二个方法， 三个意识。

（六）作业：“神舟”五号载人飞船运行期间，首先按近地点200公里、远地点350公里的椭圆轨道飞行，变轨后在地球上空343公里的圆形轨道上飞行，共绕地球飞行14圈，试写出椭圆轨道的标准方程． （七）板书设计
§8.12椭圆的标准方程： 一、定义：
│PF 1│+│PF 2│=常数（大于│F 1F 2│）＝2a 焦点F 1、F 2 焦距│F 1F 2│＝2c 二、标准方程：
焦点在X 轴：12222=+b y a x )0(>>b a ；焦点在Y 轴：122
22=+b x a y )0(>>b a
【关系】2
22c b a +=。