2018-2019版高中数学(人教A版)选修4-5同步学案：第一讲 专题检测试卷(一)Word版含答案

专题检测试卷(一)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A ．ab ＞ac
B ．c (b －a )＞0
C ．cb 2＜ab 2
D ．ac (a －c )＜0
答案 C
解析 因为b 可能为0，当b 2＝0时，cb 2＝ab 2.
2．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 C
解析 由|x －a |＜b ，得a －b ＜x ＜a ＋b ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝1.
3．“|x |≤2”是“|x ＋1|＜1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 |x ＋1|＜1⇒－1＜x ＋1＜1⇒－2＜x ＜0，故选B.
4．若不等式|ax ＋2|≤6的解集为[－1,2]，则实数a 等于( )
A ．8
B ．2
C ．－4
D ．－8
答案 C
解析 ∵|ax ＋2|≤6，∴－6≤ax ＋2≤6，∴－8≤ax ≤4. ①当a ＞0，－8a ≤x ≤4a ，∴⎩⎨⎧ －8a ＝－1，4a ＝2
无解．
②当a ＜0时，4a ≤x ≤－8a ，
∴⎩⎨⎧ 4a ＝－1，－8a ＝2，∴a ＝－4.
5．已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )
A ．一定大于0
B ．一定小于0
C ．等于0
D ．正负都有可能 答案 B
6．已知x ＞1，y ＞1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )
A ．4
B ．2
C ．1D.14
答案 A
解析 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0.
∴4＝lg x ＋lg y ≥2lg x lg y .
∴lg x lg y ≤4，当且仅当x ＝y 时取等号．
7．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．[－4,1]
答案 A
解析 由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3对任意x ∈R 恒成立，又|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故|m ＋1|＞3，所以m ＋1＜－3或m ＋1＞3，所以m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
8．设0＜x ＜1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 2
1－x
≥m 恒成立，则m 的最大值是( ) A ．(a －b )2
B ．(a ＋b )2
C ．a 2b 2
D ．a 2
答案 B
解析 由a 2x ＋b 2
1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]
＝a 2＋b 2
＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x ≥a 2＋b 2＋2 a 2(1－x )x ×b 2x 1－x
＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当a 2(1－x )x ＝b 2x 1－x
时等号成立， 所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．
答案 ⎝⎛⎭⎫12，32
解析 由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，
又f (x )是偶函数，
所以由f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)知，2|a －1|＜2，
即|a －1|＜12，解得12＜a ＜32
. 10．已知关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪
⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎦
⎤0，14 解析 因为关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，所以Δ＝1－4⎝⎛⎭
⎫|a －14|＋|a |≥0， 即⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14
， 解得0≤a ≤14
. 11．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为__________． 答案 [－3,5]
解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，
∴要使不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|对x ∈R 恒成立，只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5.
12．若2a ＞b ＞0，则a ＋
4(2a －b )·b
的最小值是________． 答案 3
解析 a ＋4(2a －b )·b ＝a ＋2⎝⎛⎭⎫a －b 2·b
＝⎝⎛⎭⎫a －b 2＋b 2＋2⎝⎛⎭⎫a －b 2·b ≥33⎝⎛⎭⎫a －b 2·b 2·2⎝⎛⎭⎫a －b 2·b ＝3.当且仅当a －b 2＝b 2＝2⎝⎛⎭
⎫a －b 2·b ，即a ＝2，b ＝2时，取等号．
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)
13．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值范围．
解 ∵x ＞0，y ＞0，
∴x ＋2y ≥22xy ＝22·xy ， ∴30≥22·xy ＋xy ，令xy ＝t ＞0，
∴t 2＋22t －30≤0，
∴0＜t ≤32，∴0＜xy ≤18，
即xy 的取值范围是(0,18]．
14．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.
(1)若f (x )的最小值为4，求实数a 的值；
(2)当－1≤x ≤0时，不等式f (x )≤|x －3|恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)∵f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|≥|(x ＋a )－(x －2)|＝|a ＋2|，
∴|a ＋2|＝4，即a ＋2＝±4，
∴a ＝2或a ＝－6.
(2)原命题等价于当－1≤x ≤0时，|x ＋a |＋2－x ≤3－x 恒成立，
即当－1≤x ≤0时，|x ＋a |≤1恒成立，
即当－1≤x ≤0时，－1－x ≤a ≤1－x 恒成立，
即当－1≤x ≤0时，(－1－x )max ≤a ≤(1－x )min ， ∴0≤a ≤1.即实数a 的取值范围为[0,1]．
15．若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b
＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？说明理由．
解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2
ab ，
得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立，
故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．
所以a 3＋b 3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26·ab ≥43，
由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.
16．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；
当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，
从而1<x ≤－1＋17
2.
所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.
(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于
当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.
又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，
所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.
所以a 的取值范围为[－1,1]．
17．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .
(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1＞0(a ∈R )；。