面向计算机科学的数理逻辑答案

A|=|A’矛盾，同理可证¬A’|=¬A,所以式子得证。 （ⅱ）先证 A∧B|=A’∧B’ v v 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∧ B) =1,(A’ ∧ B) =0’, 可 得 AV=1,BV=1,(A’)V=0 或(B’)V=0 或二者都为零， 这与 A|=|A’， B|=|B’矛盾， 即式子成立，同理可证， A’∧B’ |=A∧B。 （ⅲ）先证 A∨B|=A’∨B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∨ B)V=1,(A’ ∨ B’)V=0, 可 得 (A’)V=0,(B’)V=0,(A)v=1 或(B)v=1 或二者都为 1，这与 A|=|A’， B|=|B’ 矛盾，即式子得证，同理可证 A’∨B’|= A∨B。 （ⅳ）先证 A→B|=A’→B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 （ A → B ） V=1,(A’ → B’)V=0 ， 可 得 v v V V v (A’) =1,(B’) =0, 由 A|=|A’， B|=|B’可得，A =1,B =0,即(A→B) =0,这 与（A→B）V=1 矛盾，即式子得证。同理可证，A’→B’|=A →B (ⅴ)先证 A↔B|=A’ ↔B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A↔B)V=1,(A’↔B’)V=0, 可 得 AV=1,BV=1 或 V (A’)v=1,(B’)v=0 或(A’)v=0,(B’)v=1, 这与 A|=|A’，B|=|B’ A =0,BV=0， 矛盾，所以式子成立。同理可证 A’↔B’|=A↔B。 习题 2.5.3（未布置） (1) 假设存在一组赋值， 使得¬(A∧B) V=1， 而(¬A∨¬B) V=0,可得¬A V =0， ¬B V=0 V V V 即 A =1，B =1，代入¬(A∧B) =0，与假设矛盾，则¬(A∧B)|= ¬A∨¬B。 再假设存在一组赋值，使得(¬A∨¬B) V=1。¬(A∧B) V=0，则(A∧B) V=1， V V V 得 A =0，B =0。代入(¬A∨¬B) =1，矛盾，则¬A∨¬B|=¬(A∧B)。 所以¬(A∧B)|=| ¬A∨¬B。 (2) 假设存在一组赋值，使得¬(A∨B) V =1，(¬A∧¬B) V =0，得到¬A V =0， V V V V V V V ¬B =0，或者¬A =1，¬B =0，或者¬A =0，¬B =1，即 A =1，B =1，或者 A V =0，B V =1，或者 A V =1，B V =0，代入¬(A∨B) V =0，矛 盾，则¬(A∨B) |=¬A∧¬B。 再假设 (¬A∧¬B) V =1，¬(A∨B) V =0，得到 A V=1，BV=1。 ，代入(¬A∧¬B) V =0。矛盾，即¬A∧¬B |= ¬(A∨B)。 因此¬(A∧B)|=| ¬A∨¬B。 2.5.4 (3)构造真假赋值 A V =1，BV=0， C V=0，则((A→C) ∧(B→C)) V=0,(A∧B→C) V =1,命题得证。 (4)构造真假赋值 A V =1，BV=0， C V=0,则(A∨B→C) V =0, ((A→C) ∨(B→C)) V =1 定理 2.6.4 （i）A->B,A|-A->B (∈) A->B,A|-A (∈) A->B,A|-B (-> -) (ii)A,B|-A (∈)
2.2.2 若 A∈Atom(L p)，则 n=0，m=1，m = n+1 成立。 若 B、C∈Form(L p)，B 中出现∧,∨,→, ↔的次数为 n1 次，出现原子公式的次 数为 m1 次，m1= n1+1,C 中出现∧,∨,→, ↔的次数为 n2 次，出现原子公式的次 数为 m2 次，m2 = n2+2,A=B*C，则 m=m1+m2,n=n1+n2+1,故 m = n+1. 2.2.3 若 A∈Atom(L p),则 deg(A) = 0,此时 deg(A)=连接符在 A 中出现的次数 0； 若 A = ¬B，B∈Atom(L p)，则 deg(A) = 1,此时 deg(A) = 连接符在 A 中出现 的次数 1。 若 A= B*C， 则 deg(A) = max(deg(A),deg(B))+1,若 B、 C∈Atom(L p)， 则 deg(A) = 1，此时 deg(A) = 连接符在 A 中出现的次数 1。 若 B、 C !∈Atom(L p),即 B、 C=D1*D2*…*Di, Di∈Atom(L p),则 deg(A)=deg(B)+1 或 deg(C)+1,即<连接符在 A 中出现的次数。 A 由上面三条生成，即 A∈Form(L p)，得 deg(A) ≤ 连接符在 A 中出现的次 数。 2.4.5 若 i = 1,由(Ai→Bi) v=1，得到得 A1=0 或者 B1=1。由条件(2)(3)得到 A1=1， B1=1，结论得证。 由(Ai→Bi) v=1,得 Ai=0 或者 Bi=1；---(1) 由(A1∨……∨An) v=1 得，至少有一个 i，1≤i≤n，使得 Ai v =1。---(2) 由(Bi∧Bi) v=0 得，至少有一个 i，1≤i≤n，使得 Bi v=0。---(3) 若 Bi v=0，1≤i≤n，则 Ai v=0，1≤i≤n，与（2）矛盾； 若 1≤i，j≤n，i！=j与(3)矛盾； 则存在唯一的 i，使得 Biv=1。 若 Aj=1，Bi=1，1≤i，j≤n ，i！=j，则(Aj→Bj) v=0，与(1)矛盾，则存在 唯一的 i，使得 Ai=Bi=1。 结论得证。 2.5.2 (ii) 证明： 先证(A1…An|=A)|= (φ|=( A1→(…(An→A))), 设(A1,…An|=A)v=1，则 A1 v =1， A2 v =1，…An v =1，A v =1；带入右边式子，(An→A)v=1, (An-1→(An→A)) v =1， ( A1→(…(An→A)) v=1，即(φ|=( A1→(…(An→A)))成立。 再证(ф|=(A1→(…(An→A)))|=(A1,…An|=A)。假设(ф|=(A1→(…(An→A))) v=1， 而(A1…An|=A) v=0，即 A1 v =1，A2 v =1，…An v =1，A v =0。则(An→A)v=0，(An-1 →(An→A)) v =0，( A1→(…(An→A)) v=0，产生矛盾，假设不成立。 证明成立。 引理 2.5.3 证明： （ⅰ）先证¬A|=¬A’ 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (¬A)v =1,(¬A’)V=0, 即 得 (A)v=0,(A’)v=1, 与
¬A->B, B, ¬A|-B (∈) A->B, B|-A (¬ -) A->B, |-B ->A (-> +) 2.6.7 (i) ¬A->A, ¬A|-¬A (∈) ¬A->A, ¬A|-¬A->A (∈) ¬A->A, ¬A|-A (-> -) ¬A->A, |-A (¬ -) (ii) A->¬A, A|-A (∈) A->¬A, A|- A->¬A (∈) A->¬A, A|- ¬A (-> -) A->¬A |- ¬A (¬ -) (iii)A->B,A->¬B,A|- A (∈) A->B,A->¬B,A|- A->B (∈) A->B,A->¬B,A|- A->¬B (∈) A->B,A->¬B,A|- B (-> -) A->B,A->¬B,A|- ¬B (-> -) A->B,A->¬B|- ¬ A (¬ -) (iv)A->B, ¬A->B, ¬B|- ¬B (∈) A->B, ¬A->B, ¬B|- ¬B->¬A A->B, ¬A->B, ¬B|- ¬B->A A->B, ¬A->B, ¬B|- ¬A (-> -) A->B, ¬A->B, ¬B|- A (-> -) A->B, ¬A->B, ¬B|- B (¬ -) (vi) ¬(A->B), B|- ¬(A->B) (∈) B|- A->B ¬(A->B), B|- A->B (+) ¬(A->B)|- ¬B (+) 习题 2.6.5 ∑, ¬A|-¬B ∑, ¬A|-B ∑, ¬A, ¬A->¬B|-B (+) ∑, ¬A|(¬A->¬B)->B (-> +) ∑, ¬A|¬ (¬A->¬B) ∑|¬A ->¬ (¬A->¬B) (-> +) ∑|¬A->¬B (-> +) ∑|¬¬(¬A->¬B) (-> +) ∑|¬¬A ∑|A 习题 2.6.6 ∑, ¬A|-¬B
A|-B->A (-> +) (iv)A->(B->C),A->B,A|-A (∈) A->(B->C),A->B,A|- A->(B->C) (∈) A->(B->C),A->B,A|- (B->C) (-> -) A->(B->C),A->B,A|- A->B (∈) A->(B->C),A->B,A|- B (-> -) A->(B->C),A->B,A|- C (-> -) A->(B->C),A->B |- A->C (-> +) 定理 2.6.5 （i）¬¬A, ¬A |-¬¬A (∈) ¬¬A, ¬A |-¬A (∈) ¬¬A |-A (¬ -) (iii)A, ¬A |-A (∈) A, ¬A |-¬A (∈) A, ¬A |-¬¬A (¬ +) (iV)A ¬A, ¬B|-¬A (∈) A ¬A, ¬B|-A (∈) A ¬A |-B (¬ -) (v) A ¬A, ¬B|-¬A (∈) A ¬A, ¬B|-A (∈) A ¬A |-B (¬ -) A|-¬A-> B (-> +) (vi) A,¬A, ¬B|-¬A (∈) A,¬A, ¬B|-A (∈) A,¬A |-B (¬ -) ¬A |- A->B (-> +) 定理 2.6.6 (i)A->B, ¬B,A|-A (∈) A->B, ¬B,A|-A->B (∈) A->B, ¬B,A|-B (-> -) A->B, ¬B,A|-¬B (∈) A->B, ¬B|-¬A (¬ -) A->B, |-¬B ->¬A (-> +) (iii) ¬A->B, ¬B, ¬A|-¬A (∈) ¬A->B, ¬B, ¬A|-¬A->B (∈) ¬A->B, ¬B, ¬A|-B (-> -) ¬A->B, ¬B, ¬A|-¬B (∈) A->B, ¬B|-A (¬ -) A->B, |-¬B ->A (-> +) (iv) ¬A->¬B, B, ¬A|-¬A (∈) ¬A->¬B, B, ¬A|-¬A->¬B (∈) ¬A->B, B, ¬A|-¬B (-> -)
∑, ¬A|-B ∑, ¬A, ¬A->B|-¬B (+) ∑, ¬A|(¬A->B)->B (-> +) ∑, ¬A|¬(¬A->B) ∑|¬A ->¬(¬A->B) (-> +) ∑|¬A->B (-> +) ∑|-A 习题 2.6.7 ∑, ¬A|-¬B ∑, ¬A|-B ∑, ¬A, ¬¬(¬A->¬B)|-B (+) ∑, ¬A|-¬¬(¬A->¬B)->B (-> +) ∑, ¬A|-¬(¬A->¬B) ∑|- ¬A->¬(¬A->¬B) (-> +) ∑|- ¬A->¬B (-> +) ∑|- ¬¬(¬A->¬B) (-> +) ∑|- A 习题 2.6.8 ∑, ¬A|-¬B ∑, ¬A|-B ∑, ¬A, ¬¬(¬A->B)|- ¬B (+) ∑, ¬A|-¬¬(¬A->B)-> ¬B (-> +) ∑, ¬A|-¬(¬A->B) ∑|- ¬A->¬(¬A->B) (-> +) ∑|- ¬A->B (-> +) ∑|- A 定理 3.5.2 (iii) 先证|∀xA(x)|- A(u) 取 u 不在 x 中出现(∀ - ) ∀xA(x)|- ∀yA(y) (∀ + ) -|与上述相同 (iv)先证|A(u)|-A(u) (ref) 取 u 不在 y 中出现 A(u)|- ∃yA(y) (∃ +) ∃xA(x)|- ∃yA(y) (∃ -) -|与上述相同 (v)先证|∀x∀yA(x,y)|-A(u,v) 取不在 x,y 中出现的 u,v ∀x∀yA(x,y)|- ∀y∀xA(x,y) (∃ +) -|与上述相同 (vi)A(u,v)|-A(u,v) 取不在 x,y 中出现的 u,v