2017学年高考数学年(理) 列举(特值)法(讲)专题练习(十)

x
x
2
．
3．【解析】要使y mx2 6mx m 8 在 R 上恒成立，即mx2 6mx m 8 0 在 R 上
恒成立。
1 m 0 时，8 0 m 0 成立
8/9
2
m

0
时，
m

0 36m2

4
m

8

32m
m
1

0
，0

因为0 a 1 ，所以loga
20
，又 x0 2
0
，所以 x1
0
与”0 是函数 g(x)源自的唯一零点”矛盾．4/9
若
x0

0 ，同理可得，在
x0 2
和
loga
2 之间存在
g(x)的非
0
的零点，矛盾．因此， x0

0．于是

ln a ln b
1，
故 ln a ln b 0 ，所以ab 1 ．
2．
3．
4 ．【解析】
2/9
（1） f '(x) 2ax 1 2ax2 1(x 0). xx
当a 0时，f '(x) <0， f (x) 在（0，+）内单调递减．
当a 0时，由 f '(x) =0，有 x 1 ． 2a
当 x （0, 1 ) 时， f '(x) <0， f (x) 单调递减； 2a
b4 1 6
t2 t 2
15t 2
．1若5对
n N*
都有
bn

b4
成立，即
n2

t 2
n

t 2
1
5t 2
15
恒成立，亦即
n2 16 n 4 t 0 (n N*) ①恒成立．当 n 4 时不等式①恒成立；当 n 5 时，不等式①等价于 2
t [2(n 4)]max 18 ；当 n 3 时，不等式①等价于t [2(n 4)]max 14 ，所以实数 t 的取值范围
当 x （ 1 ，+) 时， f '(x) >0， f (x) 单调递增． 2a
（2）令s(x) =ex1 x ，则s '(x) =ex1 1 ．
当 x 1 时， s '(x) >0，所以ex1 x
，从而g ( x)
1
=
x

1 e x 1
>0．
5．
3/9
若 x0
0 ，则 x0
g( 0),a 0
g(x)min

0
，
又
g
(x
)m
i
n

g
(
a 2
),
2 a
2,a 2
a 1．
1 a,a 0
0即
g ( x)min


a2 4
a
1, 2

a

0
2,a 2
易求得
9/9
设 f x x2 25 x3 5x2 , g x ax ．
甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，
设 f x x2 25 x3 5x2 , g x ax
其解法相当于解下面的问题:
对于 x1 1,12, x2 1,12 ,若 f x1 g x2 恒成立,求a 的取值范围．
2a
（2） a [1 , ) ． 2
5．（1）①0；②4；
（2）1
二、练模拟
1~2．DA 3． [18,14]
4．（1）
M

c 5

3 c
c 1； c 1
（2） k 的最大值 1 2
5．（1） y x 1；
（2）证明见解析；
（3） a 1
6．（1） a 3；
（2）[2 3, 2 3]
三、练原创 1． a 10
2．（1） 4 a 0； （2） a 6 或 a 2 3． 0 m 1
4．1 a 2 5． a 1
1/9
2017 年高考数学（理科）专题练习 函数、不等式中恒成立问题 解析
一、练高考
1．【解析】由 ax ay (0 a 1) 及指数函数的性质得， x y, 所以， x3 y3 ，选 D ．
是 [18, 14] ．
4
．
5．【解析】
（1） f x 1 ， f 1 1 又由 f 1 0 ，
x
得切线l : y f 1 f 1 x 1 ，即 y x 1
6/9
6．【解析】
7/9
三、练原创 1．【解析】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映．
2017 年高考数学（理科）专题练习
函数、不等式中恒成立问题
答案
一、练高考 1~2．DD 3．（1）详见解析；
（2） [1,1]
4．（1）当 x (0, 1 ）时， f ' (x) 0 ， f (x) 单调递减；当 x ( 1 ，+）时， f（' x）>0 ， f (x) 单调递增；
2a
二、练模拟
1
．
所以
f
(x0 )

f
(0)

1 2
即 a2
(1 a)2

1 2
，解得 a

1 2
故答案选
D．
2
．
3．【解析】
5/9
由 题 意 ， 得 an t 2 ( n 1，) 所 以 2bn (n 1 )t [
n2 ( ，
1即)
b] n

n2

t 2
n

t 2
1
，
所
以
图象并不容易作出．
由乙的解题思路,本题化为 f x a 在x 1,12 上恒成立,等价于x 1,12 时,
x

f
x
x
min

a
成立．
由 f x x 25 x x 5 在 x 51,12 时,有最小值10 ,于是,a 10 ．

x0 2
0 ，于是 g( x0 ) 2
g(0) 0，又 g(loga
2) aloga 2
bloga 2
2 aloga 2
2 0 ，且函
数
g(x)
在以
x0 2
和
loga
2 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在
x0 2
和
loga
2之间存在
g(x)的零点，记
为 x1 ．
m

1
由1 ， 2 可知，0 m 1
4
．
5．【解析】 f (x) 是增函数 f (1 ax x2 ) f (2 a) 对于任意．．恒成立
1 ax x2 2 a 对于任意 x [0,1] 恒成立
x2 ax 1 a 0 对于任意 x [0,1] 恒成立，令 g(x) x2 ax 1 a ， x [0,1] ，所以原问题
所以，甲的解题思路与题目 x 1,12 , f x g x 恒成立,求 a 的取值范围的要求不一致．因而, 甲的解
题思路不能解决本题．
按照丙的解题思路需作出函数 f x x2 25 x3 5x2 的图象和 g x ax 的图象,然而,函数 f x 的