《1.6三角函数模型的简单应用》教学设计

1.6三角函数模型的简单应用（1）
一、教材分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。

本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活，又服务于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题和数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。

本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：1、根据图象建立解析式；2、根据解析式作出图象；3、将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；4、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。

在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用。

通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力，培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

二、学情分析
本节课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用可，学生在这之前已经系统地学习了三角函数的定义、图象和性质，对三角函数有一定的知识基础，同时学生也熟练掌握了使用计算器，可以给角求值，也可以在给出已知三角函数值时求对应的角度，为本课的顺利开展作好了一定的铺垫作用。

学生在必修1已经学习过“函数模型的应用实例”，学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数等描述现实世界变化规律的函数模型，已经体会到解决实际问题中建立函数模型的过程，这为本节课的学习奠定了又一基础。

依据学生的认知规律和水平，本课时教学中将教材中的例1与例2调整了顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图到由图认数，既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从
图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法，复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决课本例1打下一个良好的基础和准备工作。

三、教学目标
1、知识与技能
初步掌握三角函数模型应用的基本步骤：
(1)根据图象建立解析式，培养学生观察、分析图象，获取数据的能力；
(2)根据解析式用描点法或几何变换法作出图象，提高学生的作图能力；
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2、过程与方法
师生共同探讨，通过设计一系列阶梯型问题，由浅入深，由易到难，由熟悉问题到陌生问题，引起学生学习的兴趣与探究的热情，并达到突出重点，突破难点的目的。

在此过程中体会和感受数学建模思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。

3、情感、态度与价值观
增强学生“数形结合”的数学思想，提高由“形”到“数”解决问题的能力，培养学生在实际问题中应用数学的意识和能力，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活、其他学科的联系，从而使学生热爱数学学习。

四、教学重难点
1、教学重点：
用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，引导学生学习从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型；
2、教学难点：
将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题.
五、教法分析
在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”，所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。

本节课的课题是三角函数模型的简单应用，所以应让学生多参与，让学生自主探究分析问题，然后老师启发、引导，让学生自己总结、提炼、升华为分析解决问题的能力。

多媒体辅助教学，直观反映生活中的三角函数模型的例子。

六、学法分析
在课堂教学中，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设融洽的课堂气氛，通过问题的设置，引导学生自主学习、合作探究学习，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径，指导学生自学、讨论、展示、质疑，运用多种方法引导学生完成学习任务。

七、教学过程
（一）创设情境
自然界中的四季更替、温度变化、月圆月缺、潮涨潮落，物理中的简谐振动、单摆运动、声音的传播，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况等，都体现了一个共同特征——周期性，我们所学的三角函数是刻画周期变化的典型函数模型。

这节课我们就来探究三角函数模型的简单应用（板书课题：1.6三角函数模型的简单应用）。

（二） 由图象探究三角函数的解析式
例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数错误！未找到引用源。

()0,0,A ωϕπ>>< ．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式。

【设计意图】研究温度随时间呈周期性的变化的问题，利用函数的模型（函数的图象）解决问题（求一天的最大温差），并根据图象运用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定其解析式。

【分析】请认真阅读以上背景材料完成如下三个问题。

问题1：这一天6～14时的最大温差是多少？你的解决方法是什么？
问题2：你如何确定函数式中,,,A b ωϕ的值?
问题3：你能写出这段曲线对应的函数解析式吗？
【教学活动】师生对话，共同讨论，学生动手。

然后完全由学生自己解决，在黑板上写出过程，教师给予总结、点评。

【教学反思】一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此
应当特别注意自变量的变化范围；
思考：上面求ϕ时，代入点()6,10；若代入点()10,20呢？（解出4πϕ=-或者34
ϕπ=，引导
学生思考，找到问题所在，同时指出代点求ϕ时，一般选择最值点。

）
【学生小结】求函数()sin y A x b ωϕ=++解析式的基本步骤；
（三）由解析式作出图象并研究其性质
例1、画出函数()sin f x x =错误！未找到引用源。

的图象并观察其周期．
【设计意图】渗透数形结合思想，通过画函数的图象来研究性质，由已知函数模型来研究函数，培养学生应用已知函数解决问题方法。

问题1：你能利用图象变换的知识画出()sin f x x =的图象吗？
问题2:请你观察图象得出函数()sin f x x =的周期。

你能证明一下你的结论吗？
【设计意图】学以致用，引导学生利用函数图像的直观性，通过观察图象获得对函数性质的认识。

鼓励学生相信自己的判断，有猜想，有证明，知识结构更完整。

引申：解方程1sin 2
x =
； 变式：解不等式1sin 2x ≥； 【设计意图】利用代数方法求解一个周期内的解，进而利用周期性推广到定义域；同时引导学生利用函数方程思想，获取函数的性质，同时为后面例3的解决做知识上的储备。

【课后延伸】（1）你能观察函数的图象认识函数()sin f x x =的其它性质吗？比如单调性、奇偶性、对称性、最值；
(2)画出函数3sin 1y x =+的图象并观察其周期；
(3)函数sin y x =是周期函数吗？若是，请指出它的周期；若不是，请说明理由；
【设计意图】强化数形结合思想，练习利用函数图象的变换作图，通过观察函数的图象直观的获取函数的性质；对某些特殊的函数要使学生会利用函数的图象来判断周期。

(四) 实际问题与三角函数模型的拟合
例3、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）选用一个函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进出港口？
【设计意图】研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的表，要得到函数模型很困难，引导学生画出散点图，选择恰当的函数模型；需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析。

教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释。

问题1：请你观察表格中的数据，回答水深的变化具有什么规律？
问题2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对应的散点
图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？
问题3：请你确定解析式中的参数值得到函数解析式。

【设计意图】引导从所给数据中发现周期变化规律，画出散点图，根据散点图的特点选择函数模型，利用有关数据求函数的解析式；
【教学活动】提出问题，学生观察数据，发现规律；引导学生根据散点图的特点选择函数模型，注意与“五点法”之间的联系，求函数的解析式，学生独立完成。

请认真阅读以上背景材料和第（2）问完成如下两个问题。

问题4：你知道该货船需要的安全水深是多少吗？请在图中画出安全分界线。

问题5：你能在图中标出货船安全进出港口的时间段吗？
问题6：你能根据以上认识求出该船应何时进出港口吗？（参考数据：sin0.20140.2
）
问题7：你所求出的进港时间是否符合实际情况？如果不符合，应该如何修改？
【设计意图】利用函数模型解决实际问题，使学生懂得从函数模型中得出的答案，还需要检
验它是否与实际意义相符。

【教学活动】学生小组讨论，找一位同学展示自己的成果。

在学生讨论过程中，及时对学生的表现进行点评，引导学生利用函数的性质进行求解。

注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港。

引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性做出解释。

课后延伸：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【设计意图】指引学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题的意义转化为数学解释，让学生根据问题的实际意义，对所求结果进行检验。

（五）课堂小结
1、今天你学到了什么？你体会到了哪些数学思想方法？
2、你能谈谈将实际问题转化为函数模型的基本步骤吗？
【设计意图】开放式的小结，鼓励学生归纳总结本节课的收获，培养学生的总结归纳能力。

（六）作业
1、完成学案上的“课后延伸”；
2、搜集、整理现实生活中周期变化的情境模型。

【设计意图】通过解决可用三角函数模型的自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期变化规律的重要模型。

（七）板书设计。