高等代数 集合与映射

例5 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x)
都是实数集R到自身的映射，
即，函数可以看成是映射的一个特殊情形．
§6.1 集合 映射
2、映射的乘积
设映射 :M M ', :M ' M '，'
乘积 定义为：
(a)＝τ(σ(a)) aM
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
映射．
高等代数 集合与映射
§6.1 集合·映射
一、集合 二、映射、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合；
用小写字母a、b、c 等表示集合的元素．
当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 aA ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 aA.
:M M (y ) x , 这 里 (x ) y
则τ是一个M´到M的映射, 且对 x M ,若 (x)y,
则 ( x ) ( ( x ) ) ( y ) x I M ( x ) ,即 IM；
y M ,若 y = ( x ) ,有 ( y ) = x
则 ( y ) ( ( y ) ) ( x ) y I M ( y ) ,即 IM
（5）M、M´为任意非空集合，a0 M为固定元素 σ：σ(a)＝a0， aM （既不单射，也不是满射）
（6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f(x)P[x]（是满射，但不是单射）
§6.1 集合 映射
（7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a， aM
（8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, nZ
（双射） （双射）
§6.1 集合 映射
4、可逆映射
定义 设映射:M M ',若有映射 :M ' M ,
使得
I M , I M
则称σ为可逆映射（invertible mapping），τ为σ的
逆映射，记作σ－1．
σ的逆映射是由σ唯一确定的
§6.1 集合 映射
注意
又 h ( f 1 g 1 ) ( g f ) ( f 1 g 1 ) I C 同 理 (f 1g 1 )h I A . h1f1 g1
§6.1 集合 映射
谢谢！
或 :a a. §6.1 集合 映射
注意
1.设映射 :M M ', 集合
(M ){(a)a M }
称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ．
显然，Im M '
2. 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换．
§6.1 集合 映射
例4 M是一个集合，定义I： I(a)＝a ， aM
即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 称 I 为 M 上的恒等映射（identity mapping）或 单位映射．
x 1 I M ( x 1 ) 1( x 1 ) 1 ( ( x 1 ) ) 1 ( ( x 2 ) )
1 ( x 2 ) I M ( x 2 ) x 2
即σ为单射. 所以．σ为1-1对应．
§6.1 集合 映射
例7 设映射 f:A B, g:B C,令hg f，证明： （1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射； 证：若 f 不是单射，则存在 a 1 ,a 2 A ,且 a 1 a 2 , 但 f(a 1)f(a 2), 于是有
§6.1 集合 映射
（3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且
h 1 (gf) 1f 1g 1
证： cC因为 g 是满射，存在 bB ,使 g(b) c. 又因为 f 是满射，存在 aA ，使 f (a)b ∴ h ( a ) g f ( a ) g ( f ( a ) ) g ( b ) c , h是满射．
则称σ是M到M´的一个单射（injection）或称σ 为1-1（one to one）；
（3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射 （bijection）, （或称σ为 1-1对应）.
§6.1 集合 映射
例6 判断下列映射的性质 （1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射） τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法
描述法（description）： 给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
列举法（enumeration）： 把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝
§6.1 集合 映射
例1 M { (x ,y )x 2 y 2 4 ,x ,y R }
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M的每一个元素a，
都有M´中一个确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的映射（mapping），记作:M M '.
称 a´为 a 在映射σ下的象（image），而 a称a´在 映射σ下的原象（inverse image），记作σ(a)＝a´
1. 若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且 （σ－1）－1＝σ．
2. :M M '为可逆映射，aM，若 (a)a',
则有 1aa.
3. σ 为可逆映射的充要条件是 σ 为1-1对应．
§6.1 集合 映射
证：若映射 :MM'为1-1对应，则对 yM'
均存在唯一的 xM，使σ(x)＝y，作对应
（2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, nZ （是满射，但不是单射）
（3）M＝ P nn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， APnn （是满射，但不是单射）
§6.1 集合 映射
（4）M＝P，M´＝P n n , P为数域, E为n级单位矩阵 τ：τ(a)＝aE， aP （是单射，但不是满射）
h ( a 1 ) g f ( a 1 ) g ( f ( a 1 ) ) g ( f ( a 2 ) ) gf(a 2 ) h (a 2 ) 这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．
§6.1 集合 映射
（2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 证： ∵ h 是满射， c C , a A ,使 h ( a ) c ，即 c h ( a ) g f ( a ) g ( f ( a ) ) 又∵ f(a)B，∴ g 是满射．
B A当且仅当 x B x A
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A
§6.1 集合 映射
3、集合间的运算
交：AB {xx A 且 x B }； 并：AB {xx A 或 x B }； 显然有，AB A ;A AB
∴σ为可逆映射．
§6.1 集合 映射
反之，设 :M M 为可逆映射，则
对 y M ,有 y 1 ( y ) ( 1 ( y ) )
即, x 1 (y ) M ,使 y (x ) .
所以σ为满射.
其次，对 x 1 ,x 2 M ,若 (x 1 )(x 2 )，则
例2 N＝{0,1,2,3, }，2Z＝ { 0 , 2 , 4 , 6 , }
例3 M { x x 2 1 0 ,x R } { 1 ,1 }
☆ 空集：不含任何元素的集合，记为 ．
注意 ≠
§6.1 集合 映射
约定： 空集是任意集合 的子集合.
2、集合间的关系
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集（subset），记作 B A ，（读作B包含 于A）.
§6.1 集合 映射
注意
关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果； 集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中 的元素具有：确定性、互异性、无序性.
§6.1 集合 映射
注意
1. 对于任意映射 :M M '，有
IM IM
2. 设映射 : M M ' ,: M ' M ' ' ,: M ' ' M ，' ' '
有 ( ) ( ) .
§6.1 集合 映射
3、映射的性质
设映射 :M M '
（1）若 ImM，' 即对于任意 y M' ，均存在 xM，使 y(x)，则称 σ 是M到M´的一个满射
§6.1 集合 映射
∵若 a 1 ,a 2 A ,且 a 1 a 2，由于 f 是单射，有 f(a1)f(a2). 又因为 g 是单射，有 g (f(a 1 )) g (f(a 2 )) 即, gf(a 1 ) gf(a 2 )
∴ h(a1)h(a2), h 是单射. 因而 h 是双射．
§6.1 集合 映射
（surjection）或称 σ为映上（onto）的；
§6.1 集合 映射
（2）若M中不同元素的象也不同，即
a 1 , a 2 M , 若 a 1 a 2 ,则 ( a 1 ) ( a 2 )
（或 a 1 ,a 2 M ,若 ( a 1 ) ( a 2 ) 则 a ,1 a 2 ），