初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第五章 平行四边形2 平行四边形的判定-章节测试习题(3)

章节测试题
1.【题文】已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，
DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】见解答.
【分析】首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出
AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
【解答】结论：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵DF∥BE，
∴∠AFD=∠CEB，
又∵AF=CE DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB．
2.【题文】已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB．
求证：四边形ABDC是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为△DCB是由△ABC旋转180°所得，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．
【解答】证明：∵△DCB是由△ABC旋转180°所得
∴点A、D，B、C关于点O中心对称，
∴OB=OC，OA=OD，（6分）
∴四边形ABCD是平行四边形．
（注：还可以利用旋转变换得到AB=CD，AC=BD相等；或证明△ABC≌△DCB证ABCD是平行四边形．）
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
3.【题文】已知：如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点．
求证：AF=CE．
【答案】见解答.
【分析】方法一：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明AE=FC，AE∥FC即可；
方法二：利用“边角边”证明△ABF≌△CDE．
【解答】证明：
方法1：∵四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=CF，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF．
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE；
方法2：∵四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，
∴BF=DE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴AF=CE．
【点评】本题考查了平行四边形的判断方法，平行四边形可以从边、角、对角线三方面进行判定，在选择判断方法时，要根据题目现有的条件，选择合理的判断方法．
4.【题文】如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）∠1=∠2
【答案】见解答.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠BAE=∠DCF，再根据BE∥DF得到
∠BEF=∠DFE，所以它们的邻补角相等，三角形全等；
（2）由三角形全等得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．
【解答】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE．
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
（2）由△ABE≌△CDF得，BE=DF
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形
∴∠1=∠2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．
5.【题文】如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决．
【解答】证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，
∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴ME= DE，NF= BF，
∴ME=NF
又∵由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，
∴ME∥NF，
∴四边形MFNE为平行四边形．
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
6.【题文】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE，OA=OC，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
7.【题文】如图，在▱ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上且AE=CF．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
【答案】见解答.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可证AB∥CD，AB=CD，又由已知可证BE=DF，即证四边形BEDF是平行四边形，故DE=BF．
（2）根据三角形全等的判定定理，可证△ADE≌△CBF，△ADB≌△CBD，
△DBE≌△BDF．
【解答】
（1）证明：∵四边形ABCD是▱ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF．
（2）解：图中的全等三角形有3对：
△ADE≌△CBF，△ADB≌△CBD，△DBE≌△BDF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．
8.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知可证AE=CF，∠BAE=∠DCF，AB=CD，故根据SAS可证△ABE≌△DCF．
（2）由（1）可证BE=DF，由已知可证DE=BF，故可证四边形BFDE是平行四边形．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=CF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴BE=DF，
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定．
平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，常用五种方法：
①定义；
②一组对边平行且相等；
③对角线互相平分；
④两组对边分别相等；
⑤两组对角分别相等．应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
9.【题文】已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF 与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】利用平行四边形的判定定理及定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，ME∥NF，
∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴MF∥NE，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及定义，属于简单题．
10.【题文】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，BC=6，AB=3，求四边形ABCD 的周长．
【答案】见解答.
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可求出四边形ABCD 的周长．
【解答】解：解法一：∵AB∥CD
∴∠B+∠C=180°，
又∵∠B=∠D，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC即得ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC=AD=6，
∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18；
解法二：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠B=∠D，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴AB=CD=3，BC=AD=6，
∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18；
解法三：连接BD，
∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴AD∥BC即ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC=AD=6（5分）
∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
11.【题文】在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】由题意先证∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．
∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF=BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
12.【题文】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解答.
【分析】（1）平行四边形两组对边分别相等，对角相等，所以可根据边角边进行证明全等．
（2）在（1）的基础上，可利用一组对边平行且相等去证明．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC=DA，∠B=∠D，AB=CD，
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF．
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）得，FC=AE，FC∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及判定，难易程度适中平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
13.【答题】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为______.
【答案】24
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案.
【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE= = =5.
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形.
四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24.
故答案为：24.
14.【答题】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0）、B（﹣1，2）、C（2，3），如果四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是（______，______）.
【答案】7 1
【分析】由题意点D在第一象限，以AC为对角线，由此即可解决问题.
【解答】解：∵A（4，0）、B（﹣1，2）、C（2，3），四边形ABCD是平行四边形，
∴点D在第一象限，以AC为对角线，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴D（7，1）；
故答案为：（7，1）.
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形.
15.【答题】如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积=______．
【答案】6
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴BC 2 =AB 2 +AC 2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S ▱AEFD=AD•（DF•sin30°）=3×（4×）=6．
答四边形AEFD的面积是6．
【点评】本题综合考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．综合性比较强，难度较大．
16.【答题】如图，在△ABC中，∠A=∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，
AC=4cm，则四边形DECF的周长是______cm．
【答案】8
【分析】求出BC，求出BF=DF，CE=AE，代入得出四边形DECF的周长等于BC+AC，代入求出即可
【解答】解：∵∠A=∠B，
∴BC=AC=4cm，
∵DF∥AC，
∴∠A=∠BDF，
∵∠A=∠B，
∴∠B=∠BDF，
∴DF=BF，
同理AE=DE，
∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE=CF+BF+AE+CE=BC+AC=4cm+4cm=8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出BF=DF，
DE=AE．
17.【答题】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B=50°，则∠D=______°．
【答案】50
【分析】首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形两组对角相等可得∠B=∠D=50°．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=50°，
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形的判定定理与性质定理．
18.【答题】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E．若AD=5cm，BC=12cm，则CD的长是______cm．
【答案】7
【分析】由在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四边形ABED是平行四边形，即可求得CE的长，又由∠B=70°，∠C=40°，易判定△CDE是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=5cm，
∴CE=BC-BE=12-5=7（cm），
∵∠DEC=∠B=70°，∠C=40°，
∴∠CDE=180°-∠DEC-∠C=70°，
∴CD=CE=7cm．
故答案为：7．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质．注意证得四边形ABED是平行四边形，△CDE是等腰三角形是关键．
19.【答题】如图在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于O，若
AC=6，则AO的长度等于______．
【答案】3
【分析】根据在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=6，
∴AO= AC= ×6=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
20.【答题】如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有______个平行四边形．
【答案】4
【分析】根据▱ABCD及E，F分别为AB，DC的中点，可推出对边平行且相等的平行四边形有3个，加上▱ABCD，共有4个．
【解答】解：∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
【点评】本题利用了平行四边形的性质和判定及中点的性质．。