学案1：4.2.2 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用

4.2.2 第1课时 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用
【新知初探】
1．等差数列前n 项和公式是用
推导的． 2．等差数列的前n 项和公式 思考：等差数列{a n }前n 项和公式推导中，运用了哪条性质？
3．等差数列前n 项和S n 的最值
(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． (2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． 特别地，若a 1>0，d >0，则 是{S n }的最 值；若a 1<0，d <0，则 是{S n }的最大值． 思考：我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d
2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？
【初试身手】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．
( )
(2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式． ( ) (3)等差数列{a n }的前n 项和S n 都可以写成二次函数S n ＝An 2＋Bn ． ( )
2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝( ) A ．230 B ．420 C ．450 D ．540
3．等差数列－1，－3，－5，…的前n 项和是－100，那么n 的取值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
4．(一题两空)在等差数列{a n }中，a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，则d ＝________，项数n ＝________. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1
2
，S 4＝20，则S 6＝________.
【合作探究】
【例1】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知a 2＋a 4＝48
5，求S 5.
[规律方法]
求数列的基本量的基本方法
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，(1)“知三求一”：a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n 项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.(2)“知三求二”：五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般列方程组求解. [跟进训练]
1．(1)已知数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，若a 2＋a 4＝4，a 5＝8，则S 10＝( ) A ．125 B ．115 C ．105 D ．95
(2)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 9＝27，a 10＝8，则S 14＝( ) A ．154 B ．153 C ．77 D ．78
类型二等差数列前n项和公式的实际应用
【例2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[规律方法]
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.
(2)深入分析题意，确定是求通项公式a n，或是求前n项和S n，还是求项数n.
[跟进训练]
2．(1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布()
A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺
(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为()
A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤
[探究问题]
1．S n＝An2＋Bn的函数特征怎样？
2．已知一个数列{a n}的前n项和为S n＝n2－5n，试画出S n关于n的函数图象．你能说明数列{a n}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
【例3】数列{a n}的前n项和S n＝33n－n2，
(1)求{a n}的通项公式；
(2)则{a n}的前多少项和最大？
[母题探究]
1．(变条件)将例题中的条件“S n＝33n－n2”变为“在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和S n的最大值．
2．(变结论)本例中条件不变，令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n .
[规律方法]
1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤0，
a n ＋1≥0
来寻找．
(2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
【课堂小结】
1．等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形 (1)S n ＝n ·a 1＋a n
2；
(2)S n ＝d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ； (3)S n n ＝d
2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2⎝⎛⎭
⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列. 2．(1)若d ＞0，则在等差数列{a n }中有a n －a n －1＝d ＞0，即a n ＞a n －1(n ≥2)，所以数列单调递增．
当a 1≥0时，有S n ＞S n －1(n ≥2)，即S 1＜S 2＜S 3＜…＜S n －1＜S n ＜…，所以S n 的最小值为S 1； 当a 1＜0时，则一定存在某一自然数k ，使a 1＜a 2＜a 3＜…＜a k ≤0＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ＜…(或a 1＜a 2＜a 3＜…＜a k ＜0≤a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ＜…)，则S n 的最小值为S k .
(2)若d ＜0，则在等差数列{a n }中有a n －a n －1＝d ＜0，即a n ＜a n －1(n ≥2)，所以数列单调递减． 当a 1＞0时，则一定存在某一自然数k ，使a 1＞a 2＞a 3…＞a k ≥0＞a k ＋1＞a k ＋2＞…＞a n ＞…(或a 1＞a 2＞a 3＞…＞a k ＞0≥a k ＋1＞a k ＋2＞…＞a n ＞…)，则S n 的最大值为S k ；当a 1≤0时，有S n ＞S n ＋1，即S 1＞S 2＞S 3＞…＞S n ＞S n ＋1＞…，所以S n 的最大值为S 1. 3．数列{|a n |}的前n 项和的四种类型及其求解策略
(1)等差数列{a n }的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解． (2)等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段处理．
(3)等差数列{a n }中，a 1＜0，d ＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理．
(4)等差数列{a n }的各项均为负数，则{|a n |}的前n 项和为{a n }前n 项和的相反数． 4．常用的数列求和公式 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；
2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； 1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2； 12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)
6
.
【学以致用】
1．等差数列{a n }前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B ．5
3
C ．2
D ．3
2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝100，则a 4＋a 7＝( ) A ．12 B ．20 C ．40
D ．100
3．若数列{a n }的通项公式a n ＝43－3n ，则S n 取得最大值时，n ＝( ) A ．13 B ．14 C ．15
D ．14或15
4．已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1
2，S n ＝－15，则n ＝________.
5．在等差数列{a n }中，
(1)a 1＝56，a n ＝－3
2，S n ＝－5，求n 和d ；
(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ；
(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .
【参考答案】
【新知初探】
1．倒序相加法 2．n (a 1＋a n )2
na 1＋n (n －1)
2
d
思考：
[提示] 运用性质“等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .”从而a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1. 3．(1)小 (2)大
S 1
小
S 1
思考：
[提示] 由二次函数的性质可以得出：当a 1<0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．
【初试身手】
1．[提示] (1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.
又因为a 1＝S 1＝3，所以a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当公差为零时，S n 为一次函数． [答案] (1)√ (2)× (3)×
2．B [S 20＝20a 1＋20×19
2d ＝20×2＋20×19＝420.]
3．C [根据公式S n ＝na 1＋
n (n －1)2d 得－100＝－n ＋n (n －1)
2
×(－2)，解得n ＝10.] 4．17
13 27 [由等差数列的通项公式和前n 项和公式得 ⎩
⎪⎨⎪⎧ 54＝20＋(n －1)d ，999＝n (20＋54)
2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝27，d ＝1713.] 5．48 [设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32×d ＝20，即4×12＋4×3
2d ＝20，
解得d ＝3，所以S 6＝6×12＋6×5
2
×3＝3＋45＝48.]
【合作探究】
【例1】
[解] (1)法一：∵a 6＝10，S 5＝5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－5，d ＝3.
∴a 8＝a 6＋2d ＝16. 法二：∵S 6＝S 5＋a 6＝15， ∴15＝6(a 1＋a 6)2，即3(a 1＋10)＝15.
∴a 1＝－5，d ＝a 6－a 1
5＝3.
∴a 8＝a 6＋2d ＝16.
(2)法一：∵a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝485，∴a 1＋2d ＝24
5.
∴S 5＝5a 1＋10d ＝5(a 1＋2d )＝5×24
5＝24.
法二：∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝48
5，
∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝52×485＝24.
[跟进训练]
1．(1)D (2)C [(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝4，a 5＝a 1＋4d ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－4，d ＝3，
S 10＝10×(－4)＋10×9
2×3＝95.
(2)根据题意，等差数列{a n }中，若S 9＝27，即S 9＝9×(a 1＋a 9)
2＝9a 5＝27，解得a 5＝3，
又a 10＝8，∴S 14＝14×(a 1＋a 14)2＝14×(a 5＋a 10)
2＝77.故选C.]
【例2】
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－1
3
.
25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝⎛⎭⎫－1
3＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． [跟进训练]
2．(1)B (2)B [(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }， 其中a 1＝5，a 30＝1，∴S 30＝
30×(5＋1)
2
＝90，即共织布90(尺)． (2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{a n }．设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋4
2×3＝9(斤)．]
类型三 等差数列前n 项和S n 的函数特征
[探究问题]
1．[提示] (1)当A ＝0，B ＝0时(此时a 1＝0，d ＝0)，S n ＝0，此时S n 是关于n 的常数函数； (2)当A ＝0，B ≠0时⎝⎛⎭⎫此时a 1≠d
2，d ＝0，S n ＝Bn ，此时S n 是关于n 的一次函数(正比例函数)； (3)当A ≠0，B ＝0时⎝⎛⎭⎫此时a 1＝d
2，d ≠0，S n ＝An 2，此时S n 是关于n 的二次函数； (4)当A ≠0，B ≠0时⎝⎛⎭⎫此时a 1≠d
2，d ≠0，S n ＝An 2＋Bn ，此时S n 是关于n 的二次函数． 2．[提示]
S n ＝n 2－5n ＝
⎝⎛⎭⎫n －522
－254
，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．
【例3】
[解] (1)法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1，满足a n ＝34－2n . 故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .
法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，
所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，
解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .
(2)法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n }的前17项大于或等于零．
又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．
法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332
， 距离332
最近的整数为16，17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0， 故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]
1．[解] 法一：∵S 9＝S 17，a 1＝25，
∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2
d ，解得d ＝－2. ∴S n ＝25n ＋n (n －1)2
×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
法二：同法一，求出公差d ＝－2.
∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.
∵a 1＝25>0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧ n ≤1312，n ≥1212，
又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
法三：∵S 9＝S 17，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.
由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.
∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0.
∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
法四：设S n ＝An 2＋Bn ，∵S 9＝S 17，
∴二次函数对称轴为x ＝9＋172
＝13，且开口方向向下， ∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.
2．[解] 由数列{a n }的通项公式a n ＝34－2n 知，当n ≤17时，a n ≥0； 当n ≥18时，a n <0.
所以当n ≤17时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.
当n ≥18时，
T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )
＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n
＝n 2－33n ＋544.
故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
33n －n 2(n ≤17)，n 2－33n ＋544(n ≥18). 【学以致用】
1．C [设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3×22d ＝6，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝0，d ＝2.] 2．B [法一：由等差数列的前n 项和的公式得：S 10＝10a 1＋10×92
d ＝100，即2a 1＋9d ＝20，从而a 4＋a 7＝a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋9d ＝20.
法二：S 10＝10(a 1＋a 10)2
＝100，∴a 1＋a 10＝20，a 4＋a 7＝a 1＋a 10＝20.故选B.] 3．B [由数列{a n }的通项公式a n ＝43－3n ，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a 1＝40，
∴S n ＝n (40＋43－3n )2＝－32n 2＋832
n . 考虑函数y ＝－32x 2＋832x ，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x ＝836. 又n 为正整数，与836
最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.] 4．12 [S n ＝n ·32＋n (n －1)2
×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，即n ＝12.]
5．[解] (1)由题意，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322
＝－5，解得n ＝15. ∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16
. (2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2
＝172，解得a 8＝39， ∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，
na 1＋n
(n －1)2×2＝35
， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝7，
a 1＝－1.。