2014高考数学(人教版,文科)二轮专题知能专练：数学思想专练

数学思想专练
（在练数学思想的同时,自检一轮复习成果,为二轮复习查找薄
弱环节．)
1．（2013·郑州质检)若集合A＝｛0，1，2,x｝，B＝｛1,x2}，A ∪B＝A,则满足条件的实数x有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（)
A。

错误!错误!B．4错误!
C.错误!错误!D．4错误!或错误!错误!
3．(2013·南昌模拟)双曲线错误!－错误!＝－1(a〉0，b>0）与抛物线y＝错误!x2有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为错误!，则双曲线的离心率等于（）
A．2 B。

错误!
C.错误!D。

错误!
4．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知m,n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D。

α与β相交，且交线平行于l
5．（2013·新课标全国卷Ⅱ）若存在正数x使2x(x－a)<1成立,则a的取值范围是（)
A．（－∞，＋∞) B．(－2,＋∞）
C．(0，＋∞) D．（－1，＋∞)
6．（2013·南昌模拟)点P是底边长为2错误!，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PM·PN的取值范围是（）
A．［0,2］B．[0,3］
C．［0，4] D．［－2，2]
7．设集合A＝{－1，1,3｝，B＝｛a＋2,a2＋4}，A∩B＝{3},则实数a的值为________．
8．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．9．(2013·郑州质检）过点M(2，－2p）作抛物线x2＝2py(p>0）的两条切线,切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则
p的值是________．
10．设y＝(log2x）2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在［－2,2]上变化时，y恒取正值,求x的取值范围．
11．（2013·湖北高考)已知S n是等比数列｛a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列,且a2＋a3＋a4＝－18。

(1)求数列{a n｝的通项公式；
(2）是否存在正整数n，使得S n≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
12．(2013·郑州模拟)已知函数f（x）＝ax＋ln x，其中a为常数，e为自然对数的底数．
(1）当a＝－1时，求f（x）的最大值；
(2）当a＝－1时，试推断方程|f(x）|＝错误!＋错误!是否有实数解，并说明理由．
答案
数学思想专练
1．选B ∵A＝｛0，1，2,x},B＝{1，x2｝，A∪B＝A,
∴B⊆A,∴x2＝0或x2＝2或x2＝x,解得x＝0或错误!或－错误!或1.
经检验当x＝错误!或－错误!时满足题意，故选B。

2．选D 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．3．选B 双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为（0,2）,由题意知点错误!在双曲线上,∴错误!得a2＝3，
故e＝错误!＝错误!,选B。

4．选D 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交,但未必垂直，且交线垂直于直线m，n,又直线l满足l⊥m,l⊥n，则交线平行于l,故选D.
5.选D 法一:不等式2x(x－a）〈1可变形为x－a〈错误!x。

在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝错误!x的图像．由题意，在(0,＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知,有－a<1，所以a〉－1,选D项．
法二:不等式2x(x－a）<1可变形为a〉x－错误!x.记g（x）＝x－错误! x(x>0），易知当x增大时，y＝x与y＝－错误!x的函数值都增大，故g(x)为增函数，又g（0）＝－1，所以g（x）∈(－1，＋∞）．由题意可知a〉－1.
6．选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O,则PM·PN＝(PO＋OM）·(PO＋ON)＝PO2＋PO·(OM＋ON)＋OM·ON＝｜PO|2－1，且1≤｜OP|≤错误!,∴PM·PN∈［0,4]．
7．解析：∵A∩B＝｛3}，故a＋2＝3或a2＋4＝3.
若a＋2＝3，则a＝1，检验知，满足题意．
若a2＋4＝3，则a2＝－1，不合题意,故a＝1.
答案:1
8．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y －2＝0的距离，所以|OM|min＝错误!＝错误!.
答案：错误!
9．解析：设点A(x1，y1)，B（x2，y2），依题意得,y′＝错误!，切线MA的方程是y－y1＝错误!(x－x1），即y＝错误!x－错误!.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝错误!×2－错误!，即x错误!－4x1－4p2＝0；同理有x2，2－4x2－4p2＝0,因此x1,x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根,则x1＋x2＝4,x1x2＝－4p2。

由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即错误!＝错误!＝12，错误!＝12，解得p＝1或p＝2。

答案：1或2
10．解：设y＝f（t）＝（log2x－1）t＋(log2x)2－2log2x＋1，
则f（t）是一次函数，当t∈[－2，2]时，
f（t)>0恒成立,则有错误!
即错误!
解得log2x<－1或log2x〉3.
∴0<x〈错误!或x>8,
∴x的取值范围是错误!∪(8,＋∞）．
11．解：（1）设数列｛a n｝的公比为q,则a1≠0，q≠0.由题意得
错误!即错误!
解得错误!
故数列{a n}的通项公式为a n＝3×(－2）n－1。

(2）由(1）有S n＝错误!＝1－（－2)n。

若存在n，使得S n≥2 013，则1－（－2）n≥2 013,即（－2）n≤－2 012.
当n为偶数时，（－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2）n＝－2n≤－2 012，
即2n≥2 012,则n≥11。

综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n｜n＝2k＋1，k∈N，k≥5｝．
12．解：(1）当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′（x)＝－1＋错误!＝错误!。

当0<x<1时，f′（x)>0；
当x〉1时,f′(x)〈0.
∴f（x)在区间（0，1)上是增函数，在区间（1，＋∞）上是减函数．
f(x）max＝f(1）＝－1。

（2)由(1）知当a＝－1时，
f(x）max＝f（1）＝－1，∴|f(x)｜≥1。

令g（x）＝错误!＋错误!，则g′（x)＝错误!，
令g′（x)＝0，得x＝e，
当0〈x<e时，g′（x）>0,g（x)在区间（0，e）上单调递增；
当x〉e时，g′（x)〈0，g（x）在区间（e，＋∞）上单调递减．∴g（x）max＝g(e）＝错误!＋错误!〈1,
∴g(x)〈1。

∴｜f(x)｜>g（x)恒成立,
即|f（x)|〉错误!＋错误!恒成立．
∴方程｜f(x）｜＝错误!＋错误!没有实数解．。