第五讲运输问题与指派问题

A1+ A2 + A3 + A4 =20 B 1+ B 2 + B 3 + B 4 =30 C 1+ C 2 + C 3 + C 4 =40 A1，A2 ， A3 ， A4 ，B 1， B 2 ， B 3 ， B 4 ， C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ≥0
四、供需非均衡运输问题的建模与求解
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§ 5.1 运输问题(transportation problem)
一、什么是运输问题 二、运输问题的分类 三、供需均衡运输问题的建模与求解 四、供需非均衡运输问题的建模与求解 五、运输问题的应用
一、什么是运输问题
在经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题， 如煤、钢铁、木材、粮食等等物资。在全国有 若干生产基地，根据已有的交通网，应如何制 定调运方案，将这些物资运到各消费地点，而 总费用最小。
例 ：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥， 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示，试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
解：可用一个网络图来描述
25
70
A
40
60 80
1 20 70
35
B
100
2 15
110
70
80
50
45
C
130
40
3 23 32
4
总供应量=25+35+45=105（台）， 总需求量=20+15+23+32=90（台），
供应量之和大于需求量之和，供需不均衡。需 求节点收到的产品总数等于其总需求量，而各 供应节点发出的产品总数则小于其供应能力。 模型变为：
运量分配表
B1 B2 … Bn
产量
x11 x12 … x1n
a1
x21 x22 … x2n
a2
… ……… …
xm1 xm2 … xmn
am
b1 b2 … bn
用xij表示从Ai 到Bj 的运量，在产销平衡的条件下，要 求得总运费最小的调运方案，可求解以下数学模型：
mn
Min z = ∑ ∑ cij xij
4 20 5
10
1.13 1.15
生产管理人员需要制定出一个每月生产多少发 动机的计划,使制造和存储的总成本达到最小。
例 产品分配计划
求佳产品公司决定使用三个有生产余力 的工厂进行四种新产品的生产制造。就 哪个工厂生产哪种产品做决策,使总成本 达到最小。
公司的产品数据
单位成本
产品 工厂
1 2 3 要求产量
海华设备厂下设三个位于不同地点的分厂 A、B、C，该三个分厂生产同一种设备，设每 月的生产能力分别为20台、30台和40台。海华 设备厂有四个固定用户，该四个用户下月的设 备需求量分别为20台、15台、23台和32台。设 各分厂的生产成本相同，从各分厂至各用户的 单位设备运输成本如表4.2.1所示，
表5.2.1 海华设备厂运输成本表
运输成本（元/台） 分厂 用户1 用户2 用户3 用户4 名称
分厂A 70
40
80
60
分厂B 70 100 110
50
分厂C 80
70 130
40
下月设 20
15
23
32
备需求
量（台）
月生 产能 力 （台）
20
30
40
90
而且各分厂本月末的设备库存量为零。问该厂应 如何安排下月的生产与运输，才能在满足四个用 户需求的前提下，使总运输成本最低。
北方飞机制造公司问题的生产进度安排数据
月 计划 份 安装
量
最大产量
单位生产成本（百 万美元）
正常时间 加班时间 正常时间 加班时间
单位存
储成本 (百万美 元)
1 10 20
10
1.08 1.10 0.015
2 15 30
15
1.11 1.12 0.015
3 25 25
10
1.10 1.11 0.015
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
50
厂2
14 13 19 15 60
厂3
19 20 23 10
50
需求量
50 70 30 10
（万吨）
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
mn
Min z = ∑ ∑ cij xij
i=1 j=1
s.t. m
∑ xij ≤ bj ， j = 1，2，…，n
i=1
n
∑ xij = ai
j=1
xij≥0
i =1，2，…，m
例 5.2.1 海华设备厂非均衡运输问题
若例4.2.1中的三个分厂经技术改造，每月的生产 能力均增加了5台，即分别从20台、30台、40台 增加为25台、35台、45台，其他条件不变为应该 如何安排下月的生产与运输，才能在满足四个用 户的前提下使总运输成本最低。
总运输成本= 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +
70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2
+130 C 3 +40 C 4
约束条件有两部分，第一部分是需求约束，各 用户从各分厂收到的设备总数不得少于它们的 需求量：
A1+ B1 + C1 =20 A2+ B2 + C2=15 A3+ B3 + C3 =23 A4+ B4 + C4 =32
1、当供给大于需求时，即
n
m
∑ bj ≤ ∑ ai
j=1
i=1
销地 产地
A1 A2 …
Am 销量
成本表
B1 B2 … Bn
产量
c11 c12 … c1n
a1
c21 c22 … c2n
a2
… …… … …
cm1 cm2 … cmn am b1 b2 … bn
销地 产地
A1 A2 … Am 销量
运量分配表
第二部分是生产能力约束，各分厂生产和运输的 设备总数不得超过其生产能力：
A1+ A2 + A3 + A4 =20 B 1+ B 2 + B 3 + B 4 =30 C 1+ C 2 + C 3 + C 4 =40 最后，还有非负约束： A1，A2 ， A3 ， A4 ，B 1， B 2 ， B 3 ， B 4 ， C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ≥0
（万吨）
三、供需均衡运输问题的建模与求解
已知有m个生产地点Ai , i=1, 2 , … , m，可供应某 种物资，其供应量分别是ai , i=1, 2 , … , m，
有n个销地Bj , j=1, 2 , … , n，其需要量分别为bj， j=1, 2 , … , n，
从Ai 到 Bj 运输单位物资的运费为cij （单价） ， 可用一个表格来表示出来。
i=1 j=1
s.t. m
∑ xij = bj ， j = 1，2，…，n
i=1
n
∑ xij = ai ， i =1，2，…，m
j=1
xij≥0
在这个数学模型中，包含有m × n个变量，有 （m+n）个约束方程，约束条件中变量的系数 比较特殊，不是1就是0。
例 5.2.1 海华设备厂均衡运输问题
最少购买力 7000 3000 2000 0
最大购买力 7000 9000 6000 8000
目标
1 23 4
$41 $27 $28 $24 40 29 -- 23 37 30 27 21 20 30 30 40
可用能力
75 75 45
例 产品销售计划
单位利润
顾客: 1 2 3 4 工厂
生产能力
1
$55 $42 $46 $53 8,000
2
37 18 32 48 5,000
3
29 59 51 35 7,000
销地 产地
A1 A2 … Am 销量
成本表
B1 B2 … Bn
产量
c11 c12 … c1n
a1
c21 c22 … c2n
a2
… … …… …
cm1 cm2 … cmn
am
b1 b2 … bn
对于产销平衡的运输问题，有下面的关系式：
n
m
∑ bj = ∑ ai
j=1
i=1
销地 产地
A1 A2 … Am 销量
分厂A下月为四个用户生产和运输的设备数量 分别为A1， A2 ， A3 ， A4 （台）；
分厂B下月为四个用户生产和运输的设备数量分 别为B 1， B 2 ， B 3 ， B 4 （台）； 分厂C下月为四个用户生产和运输的设备数量分 别为C 1， C 2 ， C 3 ， C 4 （台）。 目标函数是总运输成本最小化，
a2
…
…
cm1 cm2 … cmn
am
b1 b2 … bn
销地 产地
A1 A2 …
Am 销量
运量分配表
B1 B2 … Bn
产量
x11 x12 … x1n
a1
x21 x22 … x2n
a2
…
…
xm1 xm2 … xmn
am
b1 b2 … bn
用xij表示从Ai 到Bj 的运量，在产销非平衡的条件下，要 求得总运费最小的调运方案，可求解以下数学模型：
50
厂2
14 13 19 15 60
厂3
19 20 23 10
50
需求量
50 70 30 10
（万吨）
1.供应节点：运输的起点，像生产厂商，提供的 产品数量是有限的。
2.需求节点：运输的终点或目的地，像销售地点 或用户所在地，需求量是一个特定的值。
3.假设：产品不能从一个供应节点运输到另一个 供应节点，也不能从一个需求节点运输到另一 个需求节点，只能从供应节点运至需求节点。
解：可用一个网络图来描述
20
70 A
40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
60 80
70
1 20
30
B
100
2 15
110
70
80
50
40
C
130
40
3 23
32 4
总供应量=20+30+40=90（台）， 总需求量=20+15+23+32=90（台）， 供应量之和等于需求量之和，供需均衡。
决策变量是下月各分厂为各用户生产与运输 的设备数量。可设：
A1+ A2 + A3 + A4 ≤ 25 B 1+ B 2 + B 3 + B 4 ≤ 35 C 1+ C 2 + C 3 + C 4 ≤ 45 A1，A2 ， A3 ， A4 ，B 1， B 2 ， B 3 ， B 4 ， C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ≥0
五、运输问题的应用
例 :北方飞机制造公司为全世界的航空公司生产各 种商务飞机。制造过程的最后一步是生产喷气 发动机并把它们安装到已经完成的飞机框架之 中去。按照公司的一些订单合同，不久公司要 交付使用相当多数量的飞机。所以有必要现在 为未来四个月这些飞机喷气发动机的生产制定 计划。
i=1 j=1
s.t. m
∑ xij = bj ， j = 1，2，…，n
i=1
n
∑ xij ≤ ai
j=1
xij≥0
i =1，2，…，m
2、当供给小于需求时，即
n
m
∑ bj ≥ ∑ ai
j=1
i=1
销地 产地
A1 A2 … Am 销量
成本表
B1 B2 … Bn
产量
c11 c12 …c1n
a1
c21 c22… c2n
Min 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2 +130 C 3 +40 C 4
s.t.
A1+ B1 + C1 =20
A2+ B2 + C2=15
A3+ B3 + C3 =23
A4+ B4 + C4 =32
50
厂2
14 13 19 15 80
厂3
19 20 23 10
50
需求量
50 70 30 10
（万吨）
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
50
厂2
14 13 19 15 60
厂3
19 20 23 10
50
需求量
60 70 30 10
B1 B2 … Bn
产量
x11 x12 … x1n
a1
x21 x22 … x2n
a2
… ……… …
xm1 xm2 … xmn
am
b1 b2 … bn
用xij表示从Ai 到Bj 的运量，在产销非平衡的条件下，要 求得总运费最小的调运方案，可求解以下数学模型：
mn
Min z = ∑ ∑ cij xij
4. 运输问题：在满足供应节点的供应量约束和 需求节点的需求量约束的条件下，为了使运输 成本最低，如何安排运输。
二、运输问题的分类
1、供需均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和等于所有需求点 的 需求量之和的运输问题。
2、供需非均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和不等于所有需求点 的需求量之和的运输问题。
线性规划模型为：
Min 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2 +130 C 3 +40 C 4
s.t.
A1+ B1 + C1 =20
A2+ B2 + C2=15
A3+ B3 + C3 =23
A4+ B4 + C4 =32