第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版) 高一数学讲义(新人教2019)必修二

第4讲平面向量万能建系法5种常见题型
【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法
边长为a 的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形
直角梯形
平行四边形等腰梯形圆
【题型目录】
【题型目录】题型一：建坐标系求向量值
题型二：三角形建坐标系求向量最值问题
题型三：四边形建坐标系求向量最值问题
题型四：多边形建坐标系求向量最值问题
题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题
【典型例题】
题型一：建坐标系求向量值
【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅= （）
A ．-15
B ．-13
C ．13
D ．14
则()120A -，
，(00)B ，，(08)C ，，(60)F -，，又3CE =，8CB =，12AB =，则2210CF CB BF =+=，
即310CE FC =
，即710
FE FC =，则()77601010BE BF FE BF FC +==+=-+ ，()(776,81010EA EF FA CF FA =+=+=--+- 【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（
）A ．6-B ．6-C ．
6+D ．6+【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.
【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，
由正三角形CDE 及正方形ABCD ()()2,2,1,23C E +，
所以()()
2,21,23AC AE →→⋅=⋅+=故选：D
【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（）
A 0
OE OG ++=
B ．OA OD ⋅=-
C ．4
AG EH +=
D ．AO 在OH 方向上的投影向量为2
OH - 【答案】C
【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.
【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
在正八边形ABCDEFGH 中，
由AOB BOC COD DOE ∠=∠=∠=∠360458
GOH HOA =∠=∠== 过A 作AM HD OM AM
⊥⇒=因为2OA =，所以OM AM ==所以(2,2),(0,2),(2,A B E ---【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、
芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=
（）．
A ．90平方尺
B ．92平方尺
C ．94平方尺
D ．98平方尺【答案】C 【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺），
5AD = （尺），()2
2251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），
则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴= ，()10,12DE =- ，
5014494AC DE ∴⋅=-+= （平方尺）
．故选：C.
【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．
【答案】(1).(2).1
-
【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()
()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，
因此，PD =
= ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB =uuu r ，2AD = ，3DM MC = ，BP PC = ，则AM AP ⋅= （
）
A ．6
B ．10
C ．14
D ．38【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM uuu r uuur
的坐标，从而得出向量的数量积.
【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A ,()2,4,D ()2,0C 由BP PC = ，则()1,0P ,由3DM MC = ，则()2,1M 所以()1,4AP =-uuu r ,()
2,3AM =-uuur 所以()()124314
AM AP ⋅=⨯+-⨯-=uuur uuu r 故选：C。