《相似三角形的应用复习课》案例与反思

《相似三角形的应用复习课》案例与反思
一、背景分析
《平面几何中的动态问题》这节课是复习了相似三角形的应用后的一节延伸课，
《相似三角形的应用复习课教学案例与反思》王玲玲。

“相似”，可以说是让学生又爱又恨的。

爱，是因为它很重要——“不得不爱”；恨，是因为它的难度，特别是与其他知识（如与函数类）结合的综合题，更甚者出现动点问题等等，看着是——“像雾像雨又像风”。

复习课本身的弹性非常大，有“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的空间。

而在这节复习课中，教师就很好地利用了复习课的广阔空间让学生对这又爱又恨的“相似”能有更深一层的了解。

下面就这节课的设计谈谈自己的一些体会。

二、教学片断
1.温故知新：
问题一、如图：AE⊥AB 于点A，BF⊥AB于点 B，G为 AB上一点，问⊿ AEG 与⊿BFG相似吗？
生：不能，因为在这两个三角形中，只有∠A=∠B=Rt∠一个条件，条件不够。

师：那么需要增加什么条件，⊿AEG与⊿BFG才会相似？
生：增加∠E=∠F。

生：增加AE:BF=AG:BG或AE:BG=AG:BF。

生：增加EG⊥GF
引导学生要判定两个三角形相似，在已知一对角对应相等的条件下，要增加另一对应角相等或夹等角的两边对应成比例。

（这是相似三角形中非常常见的一个图形，而且整节课也是围绕着这个图形而展开，所以在此处体现了从“一般到特殊”的数学思想，让学生更深切地体会到了“EG⊥GF”这个条件的重要及作用所在）
师：若EG⊥GH交BF于点H，那么⊿AEG与⊿BGH一定相似吗？
生：⊿AEG与⊿BGH一定相似。

师：（运动点G）当点G的位置变化时，⊿AEG 与⊿BGH还相似吗？
生：只要满足EG⊥GH，⊿AEG与⊿BGH还相似，跟点G的位置没关系。

师：那么请大家写出⊿AEG与⊿BGH相似的理由。

（“由静到动”——体现了教师从基础到拔高的一个过程，更是在教学中渗透由静到动，再从由动到静入手去解决的数学方法。

为后面的综合题打下基础。

）
2.知识运用
问题2、如图：正方形ABCD中，AB=4，E为边AD上的一个动点，EF⊥BE交边CD于点F。

（将原来的基础图形放置于正方形中。

有了前面的铺垫，学生看此题时便有了“主心骨”，而不再是“像雾像雨又像风”。

）
师：当点E在边AD上运动时（运动点E），
请观察图中那些线段的长度在变化？
生：有AE、DE、DF、CF、BE、EF、BF的长度在变化。

师：也就是说这些线段都会随点E的变化而变化，是吗？
生：是的。

（打出第Ⅰ小题）
Ⅰ、设AE=X，DF=Y，求Y关于X的函数关系式（写出自变量X的取值范围）
生：由问题1知道本题的⊿AEB∽⊿DFE，可得AB:DE=AE:DF（板书，求出解析式）
师：（运动点E）当点E在边AD上运动，判断DF是否有最大值？
（打出第Ⅱ小题）。

Ⅱ、①判断DF是否有最大值，若有请求出最大值，否则说明理由。

②此时BF达到最大还是最小？求出这个最值。

（学生观察图形、讨论）
生：观察图形可知，当点E运动到边AD的中点时，DF的长度最大，BF达到最小。

师：那怎么才能求出这些最值呢？
生：利用第一小题得到的二次函数，再用顶点公式求。

师：请大家动手写出过程，求出这两个值。

（学生在练习本上求出DF的最大值和BF的最小值）
问题3、如图：矩形OABC的边OA、OC在坐标系上，
B（4，3），D为AB边上的一个动点，过点D的反比例
交边BC于点E，连接OD、DE。

师：（运动点D）观察图形，当点D在AB边上运动时，E点作怎么样的变化？
生：E点随着D点的变化而变化。

师：请大家讨论，E点和D点之间存在怎样的关系，⊿AOD和⊿DBE还相似吗？
（学生观察图形、讨论）
有说⊿AOD和⊿DBE相似的，也有说不相似的。

最后有学生得出结论。

生：⊿AOD和⊿DBE不相似，因为OD和DE不一定垂直了。

（此处的设计又从特殊的垂直回到了一般，而相似需要垂直的这种基本图形也在无声无息中已深深地酪在了学生的脑海中了）
师：那么，这两个点之间存在什么关系呢？
生：它们始终在同一个反比例函数图像上。

Ⅰ、当D为边AB的中点时，求点E的坐标。

生：当D为边AB的中点时，可得D（2，3），所以可求出反比例函数，又因为点E的横坐标为4，可求出E（4，1.5）。

师：好，怎么才能求下面这个关系式呢？（展示出第Ⅱ小题）
Ⅱ、设AD的长为t，求四边形OCED的面积S关于t的函数关系式。

学生在解答本小题时，遇到了困难，思维受阻，讨论后学生提出了问题。

生：要求S关于t的函数关系式，应该用矩形的面积减去⊿AOD和⊿DBE的面积，但⊿DBE 的面积很难用t表示出来。

该怎么办？
大部分的学生茫然。

继续讨论……
师：（教师提示）⊿DBE的面积要用t表示出来，则需要表示出哪些量？
继续讨论，最后，有学生分析后回答。

生：当AD的长为t，可得D（t，3），所以可求出反比例函数，又因为点E的横坐标为4，可求出E（4，），所以可得BE为（4－）。

说到这里，学生们恍然大悟。

解答、板演……
Ⅲ、当DE恰好是⊿OAD的外接圆的切线时，求四边形OCDE的面积，
（启动几何画板，运动点D）
学生观察图形，讨论……
（教师此处的设计可谓是整节课的高潮，当所有的人觉得问题3的设计似乎跟本节课的基础相似图形不太有关系、有些偏离轨道时一时锋回路转出现了第Ⅲ小题，使得整堂课看似“形散”而实质“神不散”。

成了关键的点睛之笔）
生：因为∠DAO为直角，所以OD为⊿AOD外接圆的直径，当DE是⊿OAD的外接圆的切线时，可得OD⊥DE，所以有⊿AOD和⊿DBE相似，求出这时t的值，再代入第Ⅱ小题函数关系式就可以求了。

学生解答、板演……
最后老师进行课堂总结。

三、反思:
现代心理学认为：主体参与性是促进学生学习的原始性机制。

只有让学生成为课堂教学活动的主体，才能使学生在教学活动中分享应有的权利，承担相应的义务。

教学是一种动态的过程。

只有把学生多种感官调动起来，协同操作，才能得到良好的学习效果。

所以转变学生的学习方式是这次课程改革的一项重要内容，而学生的学习方式转变，必然引起教师教的方式转变。

我在参与新课程实验中发现，有的教师对新课程的“教”感到茫然不知所措，甚至对教师必要的讲解产生怀疑。

由原来的“灌”一下子到了整体的“放”，这也让更多的学生一时盲然。

《数学课程标准》中对师生角色的定位是“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”，由此我们应该认识到在新课程中不仅需要教师引导，而且对教师引导提出了更高的要求。

1、促使学生从“重结果”到“重过程”
本节课教师主要从以下几个方面对学生进行引导：
“动眼”，利用多媒体和几何画板，让图形动起来，唤起学生看的兴趣，进而训练学生全面、细致观察的能力；
“动口”，教师注意创造学生发言的机会，遇到问题先交流，合作探讨，再回答问题，使学生会说，从而培养学生语言表达能力；
“动脑”，遇到问题教师不是直接给出结论，而是让学生先思考，再分析问题，再让学生来提出问题和回答问题，让学生形成良好的思维品质，培养思维能力；
“动手”，学生分析问题后，在动手解答问题，在解题的步骤和格式上培养学生良好的解题习惯。

“动耳”，教师通过总结学生的回答，并加以引导，归类，让学生掌握分析问题的思路和解题的思想方法。

如在问题2中的设计很明确，让学生在动点问题中体会函数的最值。

而且前面的引导非常不错，让学生通过几何画板演示动态的过程让学生体会在这个过程中哪些量会变，然后出示第Ⅰ小题让学生顺理成章地用函数来解决这些变量之间的关系，做到了让学生主动参与探究过程的效果。

但在问题2中第Ⅱ题的引导上，教师做得明显很不足。

而且有了第Ⅰ小题的铺垫，很有可能会有学生直接求y的最大值。

这就很容易走入我们教学误区“重结果大于重过程”。

所以在此处建议教师媒体演示E点运动，问学生：“E点从左往右运动时，线段DF的长度是怎么变化的？”学生会从动态图中看到DF先是越来越长，接着又越来越短。

从而顺理成章地得出DF有最大值。

这样不仅避免了上面的误区，由学生得出DF有最小值或最大值更有利于学生自主地去探索这个最值。

而在第Ⅱ小题处，在学生回答出“当点E运动到边AD的中点时，DF的长度最大，BF达到最小。

”时，教师不应问怎么求最值，而应先问：“为什么是点E运动到边AD的中点时呢？”其实这个学生回答得非常好，但有很多学生会不理解为何会是中点，包括这个学生他本人可能也不是真正地明白为何是中点，而只是从图中看出，主观上觉得是中点。

所以教师在此处的追问就显得尤为重要。

此时再引导学生其实就是当x
取何值时y有最大值。

所以适时的引导和追问，能使学生的思维过程暴露出来，从而实现从“重结果”到“重过程”。

2、促使学生从“思维受阻”到“思维畅通”
如果说引导学生“说过程”是重点，那么引导学生“想过程”则是关键。

在遇到难题时学生会“冷”会无所适从，而有些教师此时就会拼命讲解，用自己的讲解代替了学生的思考。

从而教师越来越热，学生越来越冷。

形成了“冷”“热”两重天。

教师的引导，既体现在一堂课的整体设计上，也体现在一个个小环节的局部处理上。

从这个意义上说，教师的课堂引导是非常重要的。

它决定着一堂课的流向，它也决定学生课堂上活动的深浅。

所以，一个优秀的教师，必将是一个善于引导的高手，他能带领学生在“预设”的程序上自然生成；他能在“无痕的指导”中，引领学生畅游数学的海洋欣赏其无限的风光。

如在问题3的第Ⅱ小题教师在此处虽然问题也问得有用，也有适当的引导，但问题问得有些突兀。

问题的切口可以问得再小一点。

如用一连串的追问来引导。

“OCED是特殊的四边形吗？”“能直接求面积吗？”“你想用什么方法来求这个不规则图形的面积呢”“若用减法，
那⊿AOD的面积知道了吗？”“⊿DBE的面积呢？”“要表示⊿DBE的面积关键是求哪个点的坐标呢？”这样由一连串的“教师问”和“学生答”就给学生指明了一个方向。

学生有第Ⅰ小题的铺垫，用t表示E点坐标也就不难了。

所以当学生“思维受阻”时，就需要我们教师在上课时应该做到的“适时”引导及“适度”提示，才能使学生“思维畅通”。

因此在教学的设计上，尤其是初三总复习课，设计中层次要更细一些，使得学生在课堂上更能发挥潜能；使得学生在课堂上更能掌握知识；使得学生在课堂上更能得到提高。

而对于如何“适时”和“适度”进行引导这个课题就需要我们在今后的教学中很好地去研究和探索。