高中数学 1.1 第3课时导数的几何意义课件 新人教B版选修22

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[正解]
设切线过抛物线上的点(x0，x
2 0
)，由导数的意义知
此切线的斜率为2x0.
又因为此切线过点52，6和点(x0，x20)， 其斜率应满足xx020－ －652＝2x0，
∴x02－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3. ∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y－9＝6(x－3)；
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本节重点：导数的几何意义及曲线的切线(qiēxiàn)方程． 本节难点：求曲线在某点处的切线(qiēxiàn)方程.
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1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝ f(x) 在点P(x0， f(x0))处的切斜线率(qi(ēxxiéiàlǜn) 的_________，即k＝ f′(x0)．函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线(qiēxiàn)方程为 ___y_－__y_0＝__f_′(_x_0)_(_x_－_x_0_)___． 2．导数的物理意义 物体的运动方程s＝s(t)在t＝t0处的导数，就是物体在t0时 刻的瞬时__速__度__(s_h_ù_n_s_h_ís_ù_d．ù)
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求曲线y＝
1 x
在点
12，2
处的切线的斜率，并写出切线方
程． [解析]
∵y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋1Δx－1x Δx
＝ lim Δx→0
x2＋－x1Δx＝－x12，
∴切线的斜率k＝y′|x＝12＝－4.
∴切线方程为y－2＝－4x－12， 即4x＋y－4＝0.
f52＋Δx－f52 Δx
＝ lim Δx→0
52＋Δx2－522 Δx
＝lim (5＋Δx)＝5， Δx→0
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∴抛物线过点52，6的切线的斜率为5. 由直线方程的点斜式，得切线方程为 y－6＝5x－52，即10x－2y－13＝0. [辨析(biànxī)] 应先判断点是否在曲线上，点不在曲线上 误认为在曲线上而产生错解．
＝13Δlixm→0
3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3 Δx
＝13Δlixm→0 (3x2＋3xΔx＋Δx2)＝x2，
y′|x＝2＝22＝4. ∴点P处的切线的斜率等于4.
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(2)在点P处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即12x－3y－16＝0. [说明] 求函数(hánshù)f(x)图象上点P处的切线方程的步 骤：先求出函数(hánshù)在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P 的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教B版 • 选修 (xuǎnxiū)2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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导数(dǎo shù)及其应用
第一章
第二页，共29页。
1.1 导 数 第3课时(kèshí) 导数的几何意义
第一章
第三页，共29页。
1 课前自主导学 2 课堂互动探究
3 学法归纳总结 4 课后强化作业
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求切点坐标
在曲线y＝x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． [分析] 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求 出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐 标．
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已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线(qiēxiàn)
斜率等于( )
A．2
B．4
C．6＋6Δx2
D．6
[答案] D
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[解析] ∵y＝2x3，
∴y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
2x＋Δx3－2x3 Δx
＝2 lim Δx→0
Δx3＋3xΔx2＋3x2Δx Δx
＝2lim (Δx2＋3xΔx＋3x2)＝6x2. Δx→0
∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.
[说明] 深刻理解导数的几何意义(yìyì)错解]
求抛物线y＝x2过点52，6的切线方程．
∵ lim Δx→0
[解析]
f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝ lim Δx→0
x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
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(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 所以2x0·13＝－1，得x0＝－32， y0＝94，即P－32，94. (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即 2x0＝－1，得x0＝－12，y0＝14， 即P－12，14. [说明] 注意利用解析几何中有关两直线平行、垂直的条 件．
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．
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注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为2π，此时切线垂 直于x轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根 据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.
Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3，
Δy Δx
＝Δx2，当Δx无限趋近于0时，
Δy Δx
无限趋近于常数0，这
说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在x＝0处的切线
存在，此时切线的斜率为0(
Δy Δx
无限趋近于0)，又曲线过点
(0,0)，故切线方程为y＝0.
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[说明] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定 义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线 (zhíxiàn)与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如 图所示．
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课前自主导学
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下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿(biānyán)的水滴 沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动 时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲 线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题.
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1．知识与技能 理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 2．过程与方法 经历导数几何意义的学习过程，感受极限思想，体会用 导数的几何意义求曲线的切线方程的方法，体会用导数的几 何意义分析图象(túxiànɡ)上点的变化情况的方法． 3．情感态度与价值观 通过本节的学习，体会导数与曲线的联系，初步认识数 学的科学价值，发展理性思维能力.
化简得：4x－y－4＝0或6x－y－9＝0.
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学法归纳总结
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由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应 的导数．因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在 该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜 式形式，写出切线的方程，其步骤为：
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已知直线(zhíxiàn)l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3 相切．
(1)求切点的坐标； (2)求a的值．
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导数的几何意义 曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在， 求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
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[解析] 令y＝f(x)＝x3，
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课堂互动探究
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求曲线上某点处的切线方程 已知曲线y＝13x3上一点P2，83，求： (1)点P处的切线的斜率； (2)点P处的切线方程．
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[解析] (1)∵y＝13x3，
∴y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
13x＋Δx3－13x3 Δx
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