集合的运算(全集、补集)沪教版必修1教案

集合的运算(全集、补集)沪教版必修1教案子集、全集、补集
教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系.
教学重点：子集的概念，真子集的概念.
教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
课型：新授课
教学手段：讲、议结合法
教学过程：
一、创设情境
在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集二、活动尝试
12．用列举法表示下列集合：
①{x|x3?2x2?x?2?0} {-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
11111{1,,,,{x|x?,n?N*且n?5}n3．用描述法表示集合：2345
4．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”{x?Z||x?2|?3}={-1，5}
5．问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}
（2）A=N，B=R
（3）A={xx为北京人}，B= {xx为中国人}
(4)A＝?，B＝{0}
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
三、师生探究
通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
四、数学理论
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个
元素
都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包
含集
合A.记作A?B（或B?A），这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符
合定义.
2．真子集：对于两个集合A与B，如果A?B，并且A?B，我们就
说集合A是集合B
的真
子集，记作：A或B读作A真包含于B或B真包含这应理解为：
若A?B，且存在b∈B，但b?A，称A是B的真子集. 3．当集合A不
包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.
如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
4．说明
（1?A
（2若A≠Φ，则Φ（3A?A
（4）易混符号
①“?”与“?”：元素与集合之间是属于关系； 1?N,?1?N,N?R,Φ?R，{1}?{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ如Φ?Φ={0}，Φ∈{0}
五、巩固运用
例1（1）写出N，Z，Q，R（2）判断下列写法是否正确①Φ?A ②Φ③A?A ④A 解（1）：N?Z?Q?R
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
思考1：A?B与B?A能否同时成立？
结论：如果A?B，同时B?A，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等. 问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
思考2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.
例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是?、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有?、{a}、{b}. 变式：写出集合{1，2，3}的所有子集
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}
猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(2?16)
（2）集合4?a1,a2?,an?的所有子集的个数是多少？(2n)
注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.
六、回顾反思
1．概念：子集、集合相等、真子集
2．性质：（1?A
（2（A≠Φ）（3A?A
（4）含n个元素的集合的子集数为2；非空子集数为2?1；真子集数为2?1；非空真子集数为2?nnnn
七、课外练习
1．下列各题中，指出关系式A?B、A?B、AB、AB、A＝B中哪些成立：
(1)A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.
解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，故A?B及AB成立.
(2)A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.
解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8
那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B. 式子A?B、A?B、A＝B成立.
2．判断下列式子是否正确，并说明理由.
(1)2?{x｜x≤10}
解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.
(2)2∈{x｜x≤10}
解：正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.
(3){2}{x｜x≤10}
解：正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.
(4) ?∈{x｜x≤10}
解：不正确.因为?是集合，不是集合{x｜x
≤10}的元素.
(5) ?{x｜x≤10}
解：不正确.因为?是任何非空集合的真子集.
(6) ?{x｜x≤10}
解：正确.因为?是任何非空集合的真子集.
(7){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.
(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.
3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系。

4．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当A?B时，求实数m的取值范围. 分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合
.
解：将A及B两集合在数轴上表示出来
要使A?B，则B中的元素必须都是A中元素
即B中元素必须都位于阴影部分内
m
那么由x＜－2或x＞3及x＜－4知 m
－4＜－2即m＞8
故实数m取值范围是m＞8
5．满足
?
解析:由
?
又由A?{a,b,c,d}的集合A有多少个? A可知,集合A必为非空集合; A?{a,b,c,d}可知,此题即为求集合{a,b,c,d}的所有非空子集。

满足条件的集合A有
{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c} ,{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}共十五个非空子集。

n此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式2?1进行检验，2?1?15，正确。

4
答案:15
x,y。

6．已知A?{x,y},B?{1,xy}，若A?B，求
解析:A?B，即A.B两集合的元素相同，有两种可能：
?x?1?x?1?x?xy?x?R?????y?xy解得?y?R；?y?1解得?y?1
∴x?1或y?1。

答案: x?1或y?1。

八、教学后记
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，
1.3 (1)集合的运算（交集、并集）
一、教学内容分析
本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中
的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。

可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程
的解集的并集。

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。

突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。

利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．二、教学目标
理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。

发展运用数学语言进行表达、交流的能力。

通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点
交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计
的解集，则是求方程
和
五、教学过程设计
一、复习回顾思考并回答下列问题 1、子集与真子集的区别。

2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。

二、讲授新课关于交集 1、概念引入
（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12）
10的正约数} B={xx为15的正约数} C={xx为10与15的正公约数} A={xx为
解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公共元素。

（2）用图示法表示上述集合之间的关系
A2
，，2、概念形成 ? 交集定义
一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合，
叫做A与B的交集。

记作A∩B（读作“A交B”），即：A∩B={x|x ∈A且x∈B}（让学生用描述法表示）。

? 交集的图示法
B
??
A?B?A,A?B?B A?B?A?B A?B??
? 请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化
交集的性质（补充）
由交集的定义易知，对任何集合A，B，有：
A∩A=A，A∩U=A ，A∩φ=φ；②A∩B?A，A∩B?B；③A∩B=B∩A；
④A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）；⑤A∩B=A?A?B。

4、例题解析
例1：已知A?{x?1?x?2}，B={x?2?x?0}，求A?B。

(补充)
解：A?B?{x|?1?x?0}
[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。

②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。

例2：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求
A∩B。

（补充）
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}
[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B
例3：设A、B两个集合分别为A?(x,y)2x?y?10，B?{(x,y)3x?y?5}，求A∩B，
并且说明它的意义。

（课本p11例1）
??
?2x?y?10?解：A?B??(x,y)?={（3，4）}
3x?y?5??
[说明] A?B表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集
合。

例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}，求（A∩B）∩C， A∩（B∩C），A∩B∩C。

解：（A∩B）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A∩（B∩C）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）={2}。

三、巩固练习练习1.3（1）关于并集
1、概念引入
引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示
A={xx?2?0}， B=xx?3?0， C={x(x?2)(x?3)?0} 答：A=?2?，
B={-3} ，C={2，-3}
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元素构成。

2、概念形成
??
? 并集的定义
一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B 的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

? 并集的图示法
????
A?B?A,A?B?A,A?B?B, A?B?B,A?B?B,
? 请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化
? 并集的性质（补）
①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A?（A∪B），B?（A∪B）；③A ∪B=B∪A；④A∩B?A∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=A?B?A. [说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补）交集是属于A且属于B的全体元素的集合。

并集是属于A或属于B的全体元素的集合。

x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：即下图所示。

4、例题解析
例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。

（补充）解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。

[说明] ①运用文恩解答该题。

②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。

例6：设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B ,A∪B。

（课本p12例2）
解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。

例7：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。

（补充）解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x 是斜三角形}。

例8：设A={x|-2<x1或x<-1}，求A∪B。

（课本P12例3）解：A∪B=R
[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。

例9、已知A={x|x=2k, k∈Z或x∈B}, B={x|x=2k-1, k∈Z},求A∪B。

（课本P12例4）[说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。

三、巩固练习：1.3（2）补充练习
1、设A={ x |-1< x < x
解：将A={ x |-1< x < x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。

第2讲集合的运算
（一）交集：
1、定义： A ∩ B = {x︱ x ∈ A且x ∈ B}
说明：（1） x ∈ A ∩ B ? x ∈ A且x ∈ B
（2） x ? A ∩ B ? x ? A或x ? B
（3）A∩ B 实质上是A、B 的公共部分
图示：
2、性质；；；
例题
1、设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数}，则M∩N=（）
A.{2,4}
B.{1,2,4}
C.{2,4,8}D{1,2,8}
2、若集合，，则=（）
A. B. C. D.
3、设A ={（x，y）︱y = ?4x + 6}, B ={（x，y）︱y = 5x ? 3}，求A ∩ B
4、已知集合A = {x︱︱x ? a︱≤ 1}， B = {x ︱x2 ? 5x + 4 ≥ 0}，若A ∩ B = φ数a 的取值范围？
（二）并集：
1、定义： A ∪ B = {x x ∈ A或x ∈ B}
说明：（1） x ∈ A ∪ B ? x ∈ A或x ∈ B
（2） x ? A ∪ B ? x ? A且x ? B
（3）A∪ B 实质上是A、B 凑在一起
图示：
2、性质；；；；
例题
1、若集合，，则_____________
2、已知集合，，且，则实数a的取值范围是_______.
3、集合,,若,则的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
4、,且,则m的取值范围是( )
A. B. C.D. ，则实
（三）补集：
全集：由（所考虑的）所有元素构成的集合。

通常用U表示补集：
显然：
当心：考虑补集时，一定要注意全集；但全集因题而异。

注意：德?摩根定律（图示证明，问逻辑证明步骤）
；
例题
1、如果集合，，，那么()等于（）
(A) (B) (C) (D)
2、若全集，集合，则= .
3、设全集，，
思考题：已知集合A={x︱x2+3x+2=0},B={x︱ax?6=0} ，是否存在这样的实数a，使得 A∪B=A成立？试说明你的理由。

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
或
把看成一个整体，化成，型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根
（其中
无实根
的解集
或
的解集
课后练习
1、已知，则_________
2、设，，则A(B=
3、已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜a ，如果A∩B=A，那么a的取值范围是 .
4、已知集合，若，则实数=.
5、已知集合A、B，若用A、B的式子表示右图中U
阴影部分所表示的集合，则这个表达式可以为。

6、已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=（
(A) {1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
7、设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =（）
A．[1,2） B．[1,2]C．（ 2,3]D．[2,3]
8、下列表示图形中的阴影部分的是（）
A
B
C
D
9、设全集，设全集，，
求：(1)(2) 。

10、设集合，，
若，求。

11、已知全集U=R，集合A={x｜-3<x0}
（1）若，求a的取值范围
（2）若,求a的取值范围）
内容仅供参考。