河北省衡水市冀州市高二数学上学期期中试卷 文(b卷)(含解析)

2016-2017学年河北省衡水市高二（上）期中数学试卷（文科）（B
卷）
一、选择题：（本题共13小题，每题4分，共52分．每题的四个选项中只有一个是正确的）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8
2．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
3．已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）
A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值
4．函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）
5．如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条
件是（）
A．i＜101？ B．i＞101？ C．i≤101？ D．i≥101？
6．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
7．已知向量，满足||=1， =（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60° B．90° C．120°D．150°
8．下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．4πB．3πC．2πD．π
10．“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn为递增数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
13．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）
A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）
2+（y﹣1）2=1
二、填空题：（本题共4小题，每题4分，共16分）
14．直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是．
15．若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m= ．
16．已知、是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的正弦值是．
17．已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为．
三、解答题（本题共7小题，共82分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，
，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．
19．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．
20．如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；
（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．
21．设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．
（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．
22．已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立；命题q：函数
是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
24．已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P﹣BCDE，如图所示．
（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；
（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P﹣BCDE的体积；
（3）求证：DE⊥PC．
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（文科）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共13小题，每题4分，共52分．每题的四个选项中只有一个是正确的）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，
B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，
则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．
故选：B．
2．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．
【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），
故选B．
3．已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）
A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值
【考点】8G：等比数列的性质；4H：对数的运算性质．
【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据
lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．
【解答】解：依题意•lny=
∴lnx•lny=
∴lnxy=lnx+lny≥2=1
xy≥e
故选C
4．函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）
【考点】3G：复合函数的单调性．
【分析】求函数的定义域，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行判断即可．【解答】解：由x2﹣9＞0得x＞3或x＜﹣3，
设t=x2﹣9，
则函数y=log t为减函数，
则要求函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间，
即求函数t=x2﹣9的单调递减区间，
∵函数t=x2﹣9的单调递减区间是（﹣∞，﹣3），
∴函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），
故选：D．
5．如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条
件是（）
A．i＜101？ B．i＞101？ C．i≤101？ D．i≥101？
【考点】EF：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：S=0+1，i=1，
第2次循环：S=1+，i=3，
第3次循环：S=1++，i=5，…
依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环
其中判断框内应填入的条件是：i≤101，
故选：C．
6．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），
又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，
∴38=10×（﹣2）+a，
解得：a=58，
∴=﹣2x+58，
当x=6时， =﹣2×6+58=46．
故选：A．
7．已知向量，满足||=1， =（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60° B．90° C．120°D．150°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．
【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°
∵=（1，﹣），∴||=2，
又⊥（+），∴•（+）=0，
∴=0，
∴12+1×2×cosθ=0，
解得cosθ=，
∴θ=120°
故选：C
8．下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要
条件．其中正确的是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③
【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，
故它的逆否命题为假命题；即①正确；
②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；
③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．
故选：A．
9．已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．4πB．3πC．2πD．π
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L7：简单空间图形的三视图；LR：球内接多面体．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．
【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，
其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，
故球半径R满足2R=，
故球的表面积S=4πR2=3π，
故选：B．
10．“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k ∈Z，由充要条件的定义可得．
【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；
当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，
可取，k∈Z即可，
故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”
的充分不必要条件．
故选A
11．“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn为递增数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据数列的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：a n=n2﹣2λn的对称轴为n=λ，当λ＜1时，a n=n2﹣2λn在[1，+∞）上是增函数，则数列a n=n2﹣2λn为递增数列，即充分性成立，
若数列a n=n2﹣2λn为递增数列，则满足对称轴λ＜，则λ＜1不成立，即必要性不成立，则“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==，
∴OO1=，
∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V=××=，
故选：A．
13．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）
A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1
【考点】J3：轨迹方程．
【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），
则
代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．
故选A．
二、填空题：（本题共4小题，每题4分，共16分）
14．直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是．
【考点】I2：直线的倾斜角．
【分析】由直线的倾斜及和斜率的关系，以及正切函数的值域可得．
【解答】解：设直线x﹣ysinθ+1=0的倾斜角为α，
当时，则sinθ=0，符合题意，
当时，sinθ≠0，
可得直线的斜率k=，
又∵0＜α＜π，∴或．
综上满足题意的倾斜角范围为：
故答案为：
15．若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆
的圆心在x轴上，则实数m= ．
【考点】7D：简单线性规划的应用．
【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．
【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上
所以构成的三角形为直角三角形
所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，
所以，解得，
所以，答案为．
16．已知、是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的
正弦值是．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式求得cosθ的值，可得sinθ的值．
【解答】解：由题意可得=1×1×cos60°=，设与的夹
角为θ，
则=﹣6++2=﹣6++2=﹣，
||===，||===，
∴cosθ===﹣，∴θ=，∴sinθ==，
故答案为：．
17．已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为．【考点】7F：基本不等式．
【分析】变形利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，
∴2m+n+5=0．
则==≥，当且仅当m=2时取等号．
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共82分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，
，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴由正弦定理，得，
∵sinA＞0，
∴，即，
∵0＜B＜π，
∴．
（2）∵由三角形面积公式，得，
∴解得ac=4，
∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．
19．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解
【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：
∴a n=2n﹣1
（2）
∴b n的前n项和T n=
20．如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；
（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）要证平面ABD⊥平面ACD，关键是证AC⊥平面ABD，只需证AC⊥BD，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可证；
（2）设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理，可得∠EFA为二面角的平面角，从而可求；
（Ⅲ）过点E作EM⊥AF，垂足为M，则EM⊥平面ACD，设点B到平面ACD的距离为h，根据E是BC的中点，可得h=2EM，故可求
【解答】解：（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，
∴AC⊥平面ABD
又AC⊂平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理知AF⊥CD
则∠EFA为二面角的平面角
∵△EFC∽△DBC，∴，
∴，又AE=3，
∴
∴二面角的平面角的正切值为2
（Ⅲ）过点E作EM⊥AF，垂足为M，则EM⊥平面ACD
设点B到平面ACD的距离为h
∵E是BC的中点
∴h=2EM
而
∴
21．设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．
（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．
【考点】CF：几何概型；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意可得方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．
（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），代入几何概率的求解公式可求
（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，分别求解区域的面积，可求
【解答】解：方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．
（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）满足条件，则．
（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，
所以，所求概率为．…
22．已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立；命题q：函数
是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围，然后求解实数a的范围．
【解答】解：∵x∈[1，2]时，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立，
∴a＞=﹣x在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=﹣x，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）max=g（1）=1，
∴a＞1．即若命题p真，则a＞1．
又∵函数f（x）=（x2﹣2ax+3a）是区间[1，+∞）上的减函数，
∴u（x）=x2﹣2ax+3a是[1，+∞）上的增函数，且u（x）=x2﹣2ax+3a＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1，u（1）＞0，∴﹣1＜a≤1，
即若命题q真，则﹣1＜a≤1．
综上知，若命题“p或q”是真命题，则a＞﹣1．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】J7：圆的切线方程；IT：点到直线的距离公式；JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）联立得：，
解得：，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
24．已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P﹣BCDE，如图所示．
（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；
（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P﹣BCDE的体积；
（3）求证：DE⊥PC．
【考点】LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）取PD的中点F，连接EF，FM，由中位线定理及平行四边形判定定理易得四边形EFMB是平行四边形，进而BM∥EF，再由线面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；（2）以A为原点，分别以AB，AD为x，y轴正方向建立直角坐标系，连接AC，设AC交DE
于点H，利用=0，可得PH⊥DE，从而可求PH是四棱锥P﹣BCDE的高，利用体积公式，即可求四棱锥P﹣BCDE的体积；
（3）由（2）可得PH⊥DE，CH⊥DE，PH∩CH=H，即可证明DE⊥平面PHC，又PC⊂平面PHC，从而证明DE⊥PC．
【解答】（本题满分为14分）
证明：（1）如图1，取PD的中点F，连接EF，FM，
由条件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半，
∴FM∥EB，且FM=EB，
则四边形EFMB是平行四边形，
则BM∥EF，
∵BM⊄平面PDE，EF⊂平面PDE，
∴BM∥平面PDE．
（2）如图2，以A为原点，分别以AB，AD为x，y轴正方向建立直角坐标系，连接AC，设AC交DE于点H，
∵长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．
∴可得：A（0，0），C（2，），E（1，0），D（0，），
∴=（2，），=（1，﹣），
∴=2×1+（﹣）=0，可得：AC⊥DE，
∴AH⊥DE，CD⊥DE，
∴由平面PDE⊥平面BCDE，可得：PH⊥平面BCDE，则PH是四棱锥P﹣BCDE的高，
由已知可得，在△PDE中，PD=，PE=1，则PH=．
∵四边形BCDE是直角梯形，BE=1，DC=2，BC=，可得：四边形BCDE的面积S=
=，
∴四棱锥P﹣BCDE的体积V=S•PH=×=．
（3）∵由（2）可得：AH⊥DE，CH⊥DE，
∴PH⊥DE，CH⊥DE，PH∩CH=H，
∴可得：DE⊥平面PHC，PC⊂平面PHC，
∴DE⊥PC．。