高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》易错题汇编含解析

【高中数学】数学《平面向量》高考知识点(1)
一、选择题
1．在ABC ∆中，已知3AB =，23AC =，点D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ）
A ．()3,5
B ．()5,53
C ．()5,9
D ．()5,7 【答案】C
【解析】
【分析】 利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r ，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．
【详解】
如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22211333AC AB AB AC =--⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ＝8﹣113233
cos BAC -⨯⨯∠
＝7﹣2cos ∠BAC
∵∠BAC ∈（0，π），
∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1），
∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9），
故选C ．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
,
因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
3．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）
A ．83-
B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】B
【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
【详解】
由已知可得：7 ，
又23tan BED 33
BD ED ∠===
所以221tan 1cos 1tan 7
BED BEC BED -∠∠==-+∠
所以1||cos 17EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
4．下列说法中说法正确的有（ ） ①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C
为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥ 【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确； 对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r ，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；
对于④：a b a b +≥+r r r r ，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
5．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ） A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22 【答案】D
【解析】
由余弦定理可得
22211 cos
216
AB BC AC
B
AB BC
+-
==
⋅
，又
()11
cos4822
16
AB BC AB BC B
π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=-
⎪
⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v
，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos
a b c bc A
=+-；（2）
222
cos
2
b c a
A
bc
+-
=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60
o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
6．已知,a
r
b
r
是平面向量，满足||4
a=
r
，||1
b≤
r
且|3|2
b a
-≤
r r
，则cos,a b
〈〉
r
r
的最小值是（）
A．
11
16
B．
7
8
C．
15
D．
315
【答案】B
【解析】
【分析】
设OA a
=
u u u r r
，3
OB b
=
u u u r r
，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.
【详解】
设OA a
=
u u u r r
，3
OB b
=
u u u r r
，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由|3|2
b a
-≤
r r
，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
则B只能在阴影部分区域，要cos,a b
〈〉
r
r
最小，则,a b
<>
r r
应最大，
此时()222222
min
4327
cos,cos
22438
OA OB AB
a b BOA
OA OB
+-+-
〈〉=∠===
⋅⨯⨯
r
r
.
【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
7．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】 由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r ，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r ，
()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B .
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
8．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r 方向上的投影为( )
A ．165-
B ．165
C ．1613-
D ．1613
【答案】C
【解析】
【分析】 先计算出16a b r r ⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r r 可得 【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r ，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r ， 则向量a r 在b r 方向上的投影为1613a b b ⋅-=r r r ，
【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r 的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r r 9．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r ，则x =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求
解，得到答案.
【详解】 由题意，向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量
(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r ，解得1x =，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v ，则λ=（ ）
A ．13
B ．12
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】 根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解.
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ， 所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ=
12 ， 故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题. 11．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r （ ）
A ．2136
a b -r r B ．1133a b +r r C ．1124a b +r r D ．1133
a b -r r 【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π
===，点P 为ABC V 所在平面内一
点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ）
A ．252-
B ．8-
C ．172-
D ．1758
- 【答案】A
【解析】
根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2
x y ，时,取得最小值. 【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r ，
则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭. 故选:A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.
13．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r A ．12
AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u r u u u r C ．12
AB AD +u u u r u u u r D ．12
AB AD -u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的加法法则运算即可.
【详解】 如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
14．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（ ）
A
B
C ．2 D
【答案】D
【解析】
【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用a tb -==r r 求解.
【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ， 所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，
所以a tb -==r r
当[]2,1t ∈-
时，max
a t
b -=r r 故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题. 15．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB BC =u u u v u u u v （ ） A ．1
B
．2 C
D
．2【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v 可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．
【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，
又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v
即
2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC ⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以2AB BC =uu u v uu u v ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算．
16．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为6
故选：C
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
17．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．3155
AB AC +u u u v u u u v B ．2155AB AC +u u u v u u u v C ．481515
AB AC +u u u v u u u v D ．841515
AB AC +u u u v u u u v 【答案】D
【解析】
【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45
AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】
设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，
22π2cos 4
AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45
AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
18．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）
A ．1162
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r B ．1134DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r C ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r D ．1126
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
【解析】
【分析】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r ，即可得出答案.
【详解】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444
AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u u r u u u r r u u u r u u u r 因为C E F 、、三点共线，则1=144
λ+
，=3λ 所以1111132262
DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.
19．下列命题为真命题的个数是（ ）
①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r
；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
20．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．
15，45
B ．43，13-
C ．45，15
D ．13-，43 【答案】C
【解析】
【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2
OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504
OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41
x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.。