有理数混合运算的方法技巧
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有理数混合运算的方法技巧
一、有理数混合运算的原则
有理数的混合运算的关键是运算的顺序,为此,
必须进一步对加,减,乘,除,乘方运算法则和性质的理解与强化,熟练掌握,始终遵循四个方面:一是运算法则,二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察,分析,类比与联想,从中找出规律,再运用运算律进行计算.
二、理解运算顺序
有理数混合运算的运算顺序:
①从高级到低级:先算乘方,再算乘除,最后算加减;
有理数的混合运算涉及多种运算,确定合理的运
算顺序是正确解题的关键
例1:3+50÷22×(51-)-1
解:原式=3+50÷4×(5
1-)-1············(先算乘方) =15141503-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯+
···············(化除为乘) =
2
1125315141503-=--=-⨯⨯-···(先定
符号,再算绝对值) ②从内向外:如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.
例2:计算:
()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯-- 解原式[]926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=[]926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=()()677617651-=-⨯=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 也可这样来算:解原式==()926111-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()67
761-=-⨯。 ③从左向右:同级⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--388712787431运
算,按照从左至右的顺序进行;
例3:计算: 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3887241424212442原式==⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯3878247=
33831-=--。
三、应用四个原则: 1、整体性原则: 乘除混合运算统一化乘,统一进行约分;加减混合运算按正负数分类,分别统一计算,或把带分数的整数、分数部分拆开,分别统一计算。
2、简明性原则:计算时尽量使步骤简明,能够一步计算出来的就同时算出来;运算中尽量运用简便方法,如五个运算律的运用。
3、口算原则:在每一步的计算中,都尽量运用口算,口算是提高运算率的重要方法之一,习惯于口算,有助于培养反应能力和自信心。
4、分段同时性原则: 对一个算式,一般可以将它分成若干小段,同时分别进行运算。如何分段呢?主要有:(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种:加、减、乘、除和乘方,其中加减为第一级运算,乘除为第二级运算,乘方为第三级运算
。在运算中,低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段,然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来,最后再算出这几个加数的和.
把算式进行分段,关键是在计算前要认真审题,妥用整体观察的办法,分清运算符号,确定整个式子中有几个加号、减号,再以加减号为界进行分段,这是进行有理数混合运算行之有效的方法.
(2)括号分段法,有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。
(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外,还具有括号的作用,从运算顺序的角度来说,先计算绝对值符号里面的,因此绝对值符号也可以把算式分成几段,同时进行计算.(4)分数线分段法,分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。
例2计算:-0.252÷(-1
2
)4-(-1)101+(-2)2×
(-3)2
解:原式=-1
16
×16-(-1)+4×9
=-1+1+36=36
说明:本题以加号、减号为界把整个算式分成三段,这三段分别计算出来的结果再相加。
四、掌握运算技巧
(1)、归类组合:将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合;将同类数(如正数或负数)归类计算。
(2)、凑整:将相加可得整数的数凑整,将相加得零的数(如互为相反数)相消。
(3)、分解:将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
(4)、约简:将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。(5)、倒序相加:利用运算律,改变运算顺序,简化计算。
例计算2+4+6+…+2000
分析:将整个式子记作S=2+4+…+1998+2000.将这个式子反序写出.得S=2000+1998+…+4+2,两式相加,再作分组计算.
解: (1)令S=2十4+…+1998+2000,
反序写出,有S=2000+1998+…+4+2,
两式相加,有2S=(2+2000)+(4+1998)+…+(1998+4)+(2000+2)
=2002+2002+…+2002
l000个2002
=2002×1000=2002000
S=1001000
(6)、正逆用运算律:正难则反, 逆用运算定律以简化计算。
乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算.而反过来,ab+ac=a(b+c)同样成立,有时逆用也可使运算简便.
例3计算:
(1) -321625 ÷(-8×4)+2.52+(12 +23 -34 -1112
)×24 (2)(-32 )×(-1115 )-32 ×(-1315 )+32
×(-1415
) 分析 : -321625
化成假分数较繁,将其写成(-32-1625 )的形式.对(12 +23 -34 -1112
)×24,则以使用乘法分配律更为筒捷,进行有理数混合运算时,要注意灵活运用运算律,以达到筒化运算的目的.