河北省辛集中学2021届高三数学第三次阶段考试试题 文.doc

河北省辛集中学2021届高三数学第三次阶段考试试题 文
第I 卷选择题部分
一、单选题
1．集合01{|}M x x ＝＜＜，1222x
N x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则M N ⋂等于（ ）
A ．)[11﹣，
B ．)[01，
C ．[11]﹣，
D ．01（，）
2．已知复数34z i =+，则5
z
的虚部是（ ） A ．45
-
B ．
45
C ．4-
D ．4
3．已知x ∈R ，则“1x ≠”是“2430x x -+≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不
必
要条件
4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．3
B ．33
C ．6
D ．36 5．若1sin 42a π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭，则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．34-
B ．23
-
C ．12
-
D ．13
-
6．已知向量,a b 满足||2,||1a b ==，且|2|23a b +=，则a 与b 的夹角为( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 7．直线3y kx =+被圆()()2
2
234x y -+-=截得的弦长为23，则直线的斜率为( ) A ．3
B ．3±
C ．
3 D ．3±
8．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )
A ．224412125x y -=
B ．22
4412125x y +=
C ．22
4412521
x y -=
D ．22
4412521
x y +=
9．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，
121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值
为
（ ） A ．
6
3
B ．
25
C ．
155
D ．
105
10．数列{}n a 各项均为正数，且满足()
*
122
1111,
12,n n a n n N a a -=-=≥∈，则1024a =（） A ．
2 B ．
116
C ．
232
D ．
132
11．已知0x >，0y >，lg 4lg 2lg8x
y
+=，则
14
21x y
++的最小值是（ ）. A ．3 B ．
94
C ．
4615
D ．9
12．将函数()3cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+-
<< ⎪⎝⎭
的图象向左平移6π
个单位，得到函数()g x 的图像，
若函数()g x 为偶函数，则函数()y f x =在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域为
A ．33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．3,32⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．33,⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．3
,3⎡⎤-
⎢⎥⎣ 13．已知数列{}n a 满足11a =，()*1
1(1)
n n n n a a a a n N n n ++-=
∈+，则n na 的最小值是（ ） A ．0 B ．1
2
C ．1
D ．2
14．若存在唯一的正整数0x ，使得不等式
20x
x
ax a e -->成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．24(0,
)3e
B ．2
41(
,)3e e
C ．1(0,)e
D ．2
41[
,)3e e
第II 卷 非选择题部分
二、填空题
15．已知向量()()236a b m =-=，，，，且a b ‖则实数m =______.
16．己知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围________
17．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，点P 是椭圆上在第一象限上的点，12,F F 分别为椭圆的左、
右焦点，O 是坐标原点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为A ,若2OA b =,则椭圆的离心率为_______.
18．己知函数()sin cos f x x x =，3,2
2x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
有以下结论：
①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
④()f x 的最大值为12
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）. 三、解答题
19．设()()()2
sin sin cos f x x x x x π=-⋅-- （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左
平移3π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值.
20．已知等差数列{}n a 中，15422, 15a +a =a =，数列{}n b 满足24log 3,*n n b a n N =-∈.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若12(1)n n T nb n b b =+-+⋯+，求数列{}n T 的通项公式.
21．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2AP AB ==，4AC =，D 是AC 的中点，E 是线段BC 上的一点，且
5AE =
.
（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求点C 到平面PDE 的距离.
22．已知圆C ：()()2
2
344x y -+-=，直线l 过定点1,0A ． （1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．
23．已知函数2
1()ln 1()2
f x x a x a R =
-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式1212
11()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围
文数答案 1．D 2.A 3.B
4．A 由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为
()123
33
2
+⨯
=
，高为2，因此，这个四棱锥的体积为1332332⨯⨯=，
5．C 解：∵1sin 42a π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则cos 2cos 222a a πππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=--+
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
212sin 4πα⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭111242=-+⨯=-,
6．B 7.D
8．D 由圆的方程可知，圆心()1,0C -，半径等于5， 设点M 的坐标为(),x y ，
AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，
MA MQ ∴=，又 5MQ MC +=，
5MC MA AC ∴+=>，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以,A C 为焦点，
且21
25,1,a c b ==∴=，故椭圆方程为22
1252144
x y +=
9．D 如图所示，在平面1111D C B A 内过点1C 作11B D 的垂线，垂足为E ，连接
BE .111
1111111C E B D C E BB C E B D BB B ⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭
平面11BDD B ，1C BE ∴∠的正弦值即为所
求.
2
2
1215BC =
+=，1222C E =
=，111210
sin 55
C E C BE BC ∴∠===.
10．D
因为()
*
2211112,n n n n N a a --=≥∈，121=1a 所以数列2
1{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，所以
21==0,n n n n a a a n ⇒>所以10241
32
1024a = 11．B
0x ，0y >，428x y lg lg lg +=，所以428x y =，即23x y +=，
所以(21)4x y ++=，则
1411414(21)549()(21)(5)2142142144
y x x y x y x y x y +++=+++=++=+++， 当且仅当
4(21)21y x x y +=+且214x y ++=即16
x =，8
3y =时取等号，则1421x y ++的最小值是
94
． 12．D ()f x 图像向左平移
6π
个单位，得到函数()π323g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，由于函数()g x 为偶函数，故
πππ,π33k k ϕϕ+==-，由于02
πϕ-<<，故令0k =求得π
3ϕ=-.所以
()π323f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.由于π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以
π1cos 2,132x ⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()33f x ⎡∈⎢⎣
13．C 解：由()*1
1(1)
n n n n a a a a n N n n ++-=
∈+，得111(1)111n n n n a a a a n n n n ++-==-++，
即111111n n a a n n +-=-+，11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∴=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12111111121
11n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---
111n =-
+12(2)n n =-≥(2)21n n a n n ∴=
-，当1n =时，上式成立，21
n n a n ∴=- 22
222121121(1)1
111
n n n n n n n n
na ==∴=
-----+= 要n na 取最小值，则2
1
(1)1n
--+要最大，∴当1n =时，n na 取最小值，最小值为1.
14．D 由20x x
ax a e
--=可得2(1)x x a e x =+，令2()(0)(1)x
x h x x e x =>+, 则22
222()(1)x x x h x e x --+'=+，令()0h x '=, 得152x -+=，15
(0,1)2
-+∈，(0)0,(1)0h h ''><，所以函数在(0,1)上有唯一极大值点，在[1,)+∞上是减函数，
因为214(1),(2)3h h e e ==所以要使不等式存在唯一的正整数0x ，需2413a e e
≤< 15．4-
16．由题意，直线1y kx =-恒经过定点(0,1)P -， 由直线的斜率公式，可得2(1)5(1)
1,63010
PA PB k k ----=
===----，
要使直线:1l y kx =-与线段AB 有公共点，61-≤≥k k 或 17．
3
由题意可知2||||PM PF =
由椭圆定义可知12||||2PF PF a +=，固有11|||2|||PF PM MF a +==，连接OA ，知OA 是三角形12F F M 的中位线，11
||2
OA MF a ∴=
=，又2OA b =，得2b a =
则(
)22
22
44a b a c
==-，即2
234c
a =
，
3c e a ∴== 18．②④3,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,2
22x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤
∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤
⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
根据图像知：
①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减，正确 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，错误④()f x 的最大值为12，正确
19．（1）5,12
12k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
（k Z ∈）；（23解（1）()()23sin sin f x x x π=--()2
2sin cos 23sin x x x -=-()12sin cos x x -
)31cos2sin 21sin 23x x x x =-+-=+312sin 2313x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
由2222
3
2
k x k π
π
π
π
π≤-
≤+
（k Z ∈），得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+（k Z ∈）. 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
（k Z ∈）.
（2）由（1）知()2sin 2313f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
.把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到2sin 313y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图象，再把得到的图象向左
平移
3
π
个单位，得到2sin 1y x =+的图象， 即(
)2sin 1g x x =+.
所以2sin 166g ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
20．（1）1
2
n n b -=（2）n T =122n n +--
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得111
422315a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得13
4a d =⎧⎨=⎩，
41n a n ∴=-，又24log 34(1)n n b a n =-=-， 12n n b -∴=.
（2）令数列{}n b 的前n 项和为n S .
121(1)2n n n T nb n b b b -=+-+⋯++()()11212n b b b b b b =+++⋯+++⋯+=
()()
212(21)2121n n S S S ++⋯+=-+-++-()()212122222212
n n n n n n +-=++⋯+-=
-=---.
21．（1）证明见解析；（2
.
（1）证明：因为AB AC ⊥，2AB =，4AC =，
所以BC =.
因为1
2
AE BC ==
，所以AE 是Rt ABC ∆的斜边BC 上的中线， 所以E 是BC 的中点.
又因为D 是AC 的中点，所以DE AB ∥. 因为DE ⊄平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， 所以DE 平面PAB . （2）解法一：由（1）得，
1
12DE AB =
=. 14CDE ABC S S ∆∆=1142AB AC =⨯⋅11
24142
=⨯⨯⨯=.
因为2AP =，所以112
12333P CDE CDE V S PA -∆=⋅=⨯⨯=.
因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥.
又AB AC ⊥，AC PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAC .
因为PD ⊂平面PAC ，所以AB PD ⊥.由（1）知DE AB ∥，所以DE PD ⊥.
在Rt PAD ∆中，2222PD PA AD =+=， 所以11221222
PDE S PD DE ∆=⋅=⨯⨯=. 设点C 到平面PDE 的距离为h ， 则由P CDE C PDE V V --=，得1
233PDE S h ∆⋅=
，即12233h ⨯=. 解得2h =.即点C 到平面PDE 的距离为2.
解法二：因为D 是AC 的中点，
所以点A 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离.
因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥.
又AB AC ⊥，AC PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAC .
由（1）知DE AB ∥，所以DE ⊥平面PAC .又DE ⊂平面PDE ，
所以平面PAC ⊥平面PDE .
过A 作AH PD ⊥，垂足为H ，则AH ⊥平面PDE ，
所以AH 的长即为点A 到平面PDE 的距离.
在Rt PAD ∆中，由2PA AD ==得2AH =
.
所以点C 到平面PDE 的距离为2.
22．（1）1x =或3430x y --=
（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.
②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：
23421k k k --=+，解之得 34
k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=，
则圆心到直线l 1的距离 224
1k d k -=+
又∵△CPQ 的面积
12
S d =⨯=
=
∴当d S 取得最大值
2. ∴d =
∴ k＝1 或k ＝7
所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .
23．（1）∵依题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，
∴2()a x a f x x x x
-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.当0a >时，由()0f x
'>得x ()0f x
'<得0x <<
综上可得当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；
当0a >时，()f
x 在(
上单调递减；在)
+∞上单调递增. （2）因为20a -≤<，由（1）知，函数()f x 在[]1,2上单调递增，
不妨设1212x x ≤≤≤，则1212
11()()f x f x m x x -≤-， 可化为2121
()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 12m m h x f x x a x x x
=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数，
即2()0a m h x x x x
=--≤'在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立， 设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，
因20a -≤＜，所以2
()30＞'=-g x x a ，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数， 所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）
所以12m ≥．。