高考数学一轮复习 第6章 数列 专题研究1 递推数列的通项的求法练习 理

专题研究1 递推数列的通项的求法
1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28
答案 C
解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.
2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64
答案 A
解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－(n －1)2
＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( ) A ．2 017×2 018 B ．2 016×2 017 C ．2 015×2 016 D ．2 017×2 017
答案 B
解析 累加法易知选B.
4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n≥2)，则x n 等于( )
A ．(23)n －1
B ．(23)n
C.n ＋12
D.2n ＋1
答案 D
解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2
n ＋1.
5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝1
2a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( )
A ．2－(12)n －1
B ．(12)n －1
－2
C ．2－2
n －1
D ．2n
－1
答案 A
解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1
，所以选A.
6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3
2a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )
A ．2(n 2
＋n ＋1) B ．2·3n
C ．3·2n
D ．3n ＋1
答案 B
解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.
7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2
＝a n ＋12
＋a n －12
(n≥2)，则a 6的值为( ) A ．2 2 B ．4 C ．8 D ．16
答案 B
解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2
＝a n ＋12
＋a n －12
(n≥2)，所以a n 2
－a n －12
＝a n ＋12
－a n 2
(n≥2)，所以数列{a n 2
}是以1为首项，a 22
－a 12
＝3为公差的等差数列，所以a n 2
＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62
＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.
8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n∈N *
，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－
a 1 314＝( ) A ．－2
7
B.2
7 C ．－37
D.37
答案 D
解析 根据递推公式计算得a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝3
7，…，可以归纳通项公
式为：当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝3
7.故选D.
9．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014 答案 C
解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.
10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1
n （n ＋1），则通项公式a n ＝________．
答案 4－1
n
解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1
n ＋1，
则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－1
3，
a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1
n
.
逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1
n .
11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1
(n∈N *
)，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝
1
3n －2
解析 由已知，可得当n≥1时，a n ＋1＝a n
3a n ＋1
. 两边取倒数，得1
a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3. 即
1
a n ＋1－1a n ＝3，所以{1a n }是一个首项为1
a 1
＝1，公差为3的等差数列． 则其通项公式为1a n ＝1
a 1＋(n －1)×d＝1＋(n －1)×3＝3n －2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n －2
.
12．在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________． 答案 2·3
n －1
－1
解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.
∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列． ∴a n ＝2·3
n －1
－1.
13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1
(n ≥2)，则a n ＝________．
答案 (2n －1)·2n
解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2
n ＋1
(n≥2)，
∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n
2n ，则b n －b n －1＝2(n≥2)，b 1＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n
.
14．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2
a n (n≥1)，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝
1
n （n ＋1）
解析 由a 1＝12，S n ＝n 2
a n ，①
∴S n －1＝(n －1)2
a n －1.②
①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2
a n －(n －1)2
a n －1， 即a n ＝n 2
a n －(n －1)2
a n －1，亦即
a n a n －1＝n －1n ＋1
(n≥2)． ∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）
.
∴a n ＝
1
n （n ＋1）
.
15．(2017·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）
(n∈N *
)，则a n ＝________．
答案
n 3n －2
解析 由a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）得1a n ＋1－1a n ＝2n （n ＋1）＝2×(1n －1n ＋1)，则由累加法得1a n －1a 1＝2(1－1
n )，又因为
a 1＝1，所以1a n ＝2(1－1n )＋1＝3n －2n ，所以a n ＝n
3n －2
.
16．(2018·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n }满足∑n
i ＝2 a i 2
i －1＝3
n ＋1(n∈N *
)，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），
6n （n≥2），
解析 当n≥2时，∑i ＝2n －1
a i 2i －1＝3n ，又∑i ＝2
n
a i 2i －1＝3n ＋1，两式相减，得a n 2n －1＝2×3n ，所以a n ＝6n
.由于a 1＝7不符合a n
＝6n
，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），
6n （n≥2）.
17．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n ＋1)(n∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝
b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1
，求数列{b n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝2(3n
＋1)
解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.
(2)∵a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1(n≥1)，①
∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋1
3n ＋1＋1.②
②－①，得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1
＋1)．
故b n ＝2(3n
＋1)(n∈N *
)．
1．(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )
A ．2 016
B ．2 015 C.1
2 016
D.1
2 015
答案 D
解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2
a 2＋1，…，第n 次运
行后得到a n ＋1＝
a n a n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 015项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1
a n
＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n ＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是1
2 015.故选D.
2．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________． 答案 2n （n －1）
2
解析 由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)
＝2n （n －1）
2
，故a n ＝2n （n －1）
2
. 3．已知S n 为数列{a n }的前n 项，a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，且a 1＝2，则{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝n ＋1
解析 ∵a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＝a n －2(n≥2)，∴当n ＝2时，a 12＝a 2－2，解得a 2＝3.a 12＋a 23＋a 34＋…＋a n －1n ＋
a n
n ＋1＝a n ＋1－2，
a n n ＋1＝a n ＋1－2－(a n －2)(n≥2)，得a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1(n≥2)，∴a n ＋1n ＋2＝a n n ＋1＝…＝a 2
3
＝1，∴a n ＝n ＋1(n≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝n ＋1.。