福建省永安市2014届高三质量检查文科数学试卷 含答案

福建省永安市2014年5月高三质量检查试卷
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

参考公式：
柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式:13
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；
球的表面积、体积公式：2
4S R π=，3
43
V R π=，其中R 为球的半径.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． ） 1．复数1i z i
=-（i 是虚数单位），则复数Z 在复平面内对应的点在（ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2
1
1俯视图
侧视图
正视图
13
2．已知集合{}}{2
0,1,2,3,0
A B x x
x ==-=，则集合A ∩B=（ ）
A ．｛0｝
B ．｛1，2,3｝
C ．｛0,1｝
D ．｛1｝
3．“2=x ”是“1log 2
=x ”的( ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 已知向量a =（x ，1)，b =（3,6），若a ⊥b ，则
实数x 的值为 ( )
A ． 21
B ．2-
C ． 2
D ．
-21
5. 一算法的程序框图如右图所示，若输出的
，
则输入的ｘ可能为( )
Ａ。

－１ Ｂ。

０ Ｃ.１ Ｄ。

５ 6．若直线l 不平行于平面α,且α⊄l ，则（ ）
A.α内的所有直线与l 异面
B. α内存在唯一的直线与l 平行 C ．α内不存在与l 平行的直线 D. α内的直线与l 都相交 7．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( ) A ．1 B ．2
C ．3
Ｄ。

4
8．设n
S 是等差数列{}n
a 的前n 项和,公差
0d ≠，
若
113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 9．在△ABC 中，60ABC ︒
∠=,1AB =,3BC =，
则sin BAC ∠的值为（ ) A
B
C
D
10．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点,点P 在椭圆C 上，
线段1
PF 的中点在y 轴上,若12
30PF F
︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ )
A
B
C ．1
3
D ． 16
11．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅；④2
x
y x =⋅
的图象(部分）如下：则按照从左到右的顺序，图象所对应的函数序
A ．①④②③
B ．①④③②
C ．④①②③
D ．③④②①
12. 设函数)(x f y =的定义域为D ，对于任意1x 、D x ∈2,当a x x 221=+时，恒
有
x
b x f x f 2)()(21=+，研究函数3sin )(-+=x x x f π可得到
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ )
A ．4027
B ．4027-
C ．8054
D ．8054-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，满分16分．
13。

已知四边形ABCD 是边长为3的正方形,若2,2DE EC CF FB ==， 则
AE AF ⋅的值为
.
14．．若变量x ，y 满足10,220,40.x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩
－＋≥
－y －≤＋－≥则
x ＋2y 的最大值为
15. 在区间[1,6]上随机取一实数x ，使得2
[2,4]
x
∈的概率为
16。

以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后,原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等)。

那么原闭区间]4,0[上(除两个端点
外）的
点，在第n 次操作完成后(1≥n ），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_________。

三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分） 已知函数()
4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，x ∈R .
(Ⅰ） 求函数()f x 的最小正周期和值域;
（Ⅱ）若0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
,且()12
f θ=,求sin 2θ的值.
18．（本小题满分12分)
甲、乙两人玩掷骰子游戏：甲先掷一个骰子，记下向上的点数；然后乙再掷，同样记下向上的点数.如果两人所掷点数之和为偶数则甲胜,否则乙获胜.
（Ⅰ)求甲胜且点数之和为6的事件发生的概率；
(Ⅱ）这种游戏规则公平吗?用你所学的知识说明理由。

19．(本小题满分12分）
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4
1。

（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
20．(本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ，AD =AB =1，∠BAD =90o ,∠BCD =45o ， E 为对角线BD 中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使平面PBD ⊥平面BCD ，如图2.
(Ⅰ）若点F 为BC 中点，证明：EF ∥平面PCD ; (Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；
(Ⅲ）已知空间存在一点Q 到点P,B ，C,D 的距离相等,写出这个距离的
值
(不用说明理由）.
21．(本小题满分12分） 已知函数()2
ln f x x x
ax =++，a ∈R .
（Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；
图2
图1
（Ⅱ)当1a =时,函数()()1
f x
g x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *
)上存在极值，求t 的
最大值.
( 参考数值： 自然对数的底数e ≈2.71828)
22．（本小题满分14分）
过点()2,0M 的直线l 与抛物线C ：
2
4y x =相交于,A B 两点,过点,A B 分别作y
轴的垂线交直线l '：22y x =--于点,A
B ''． (Ⅰ）若四边形A B B A ''是等腰梯形，求直线l 的
方程；
(Ⅱ）若A '，O ，B 三点共线，求证：A B
'与y 轴
平行;
(Ⅲ）若对于任意一个以AB 为直径的圆，在直线x m =上总存在点Q 在
该圆上，求实数m 的取值范围．
福建省永安市2014年5月高三质量检查试卷
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13．914．11 15．1
516．22n
j
(这里j为[1,2]n中的所有奇
数）；
三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分） (1）解:∵()
4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭,
∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. …………2分
∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫
+∈- ⎪⎝
⎭
， ………3分
4x π⎛
⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭
. …………4分
∴ 函数()
f x 的值域为⎡⎣.
…………5分
(2）解法1:∵()12
f θ=，
1
42πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
……………
6分
∴cos 44
πθ⎛⎫
+=
⎪⎝
⎭
. …………
…7分 ∴
sin 2cos 22πθθ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
……………9分
212cos 4πθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
(11)
分
2
12
4
⎛
=-⨯
⎝⎭
3
4
=. ……………12分
解法2：∵()1
2
fθ=，
∴
1
42
π
θ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭。

(6)
分
1
cos cos sin sin
442
ππ
θθ⎫
-=
⎪
⎭
. ……………7分
∴1
cos sin
2
θθ
-=. ……………8分
两边平方得
22
1
cos2cos sin sin
4
θθθθ
-+=。

……………10分
∴
3
sin2
4
θ=. ……………12分18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设“甲胜且点数的和为6”为事件A，甲的点数为x，乙的点数为y
则()x y,表示一个基本事件. 两人掷骰子的结果包括（1,1），（1，2)，…,
（1，5），(1，6）,（2，1)，…，(6，1）,…，（6，6）共36个基本事件; ………2分
事件A 包含的基本事件有（1,5)，（2，4），(3,3）(4，2)，(5，1）共5个……4分 所以36
5
=
）（A P
所以,甲胜且点数之和为6的概率为36
5 ……………6分 (Ⅱ）这种游戏公
平。

……………7分 设“甲胜"为事件B ，“乙胜”为事件C.甲胜即两个点数的和为偶数.
所包含基本事件为以下18个：（1，1），（1，3)，（1,5），(2，2），（2，4），(2，6），（3，1）,(3,3）,（3，5），（4，2),(4，4），（4，6）,（5，1),(5，3）(5,5）， (6，2），（6，4)，
(6,6） ……………9分 所以甲胜的概率为
181
();362
P B =
= ……………10分
乙胜的概率为
181()362
P C =
= ……………11分
()()P B P C =∴
所以这种游戏是公平
的 ……………12分 19．(本小题满分12分）
解。

(1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×（1－5
1）万
元，
第n 年投入为800×(1－5
1）n －1万元,所以，n 年内的总投入为.
a n =800+800×（1－5
1)+…+800×（1－5
1）n －1
=∑=n
k 1
800×（1－5
1）k －1
=4000
×［1－（5
4)n ］ ……………3分
第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×（1+4
1）,
第n 年旅游业收入400×(1+4
1)n －1万元。

所以,n 年内的旅游业
总收入为
b n =400+400×(1+41)+…+400×（1+4
1)
k －1=∑=n k 1
400×（4
5)k －1=1600×
［(4
5)n －1］ ………6分
(2）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0,
即1600×［(4
5)n －1］－4000×［1－(5
4）n ］＞
0， …………8分
令x =(5
4）n ，代入上式得。

5x 2－7x +2＞0. (10)
分
解此不等式,得x ＜5
2,或x ＞1（舍去）。

即（5
4）n
＜5
2，由此得n ≥5. (11)
分
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 ……………12分
20．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ)在△BCD 中，点E 、F 分别为BD 、BC 的中点
∴EF ∥CD 。

.。

..。

.。

..。

.。

2分
又PCD EF ⊄ PCD CD ⊂
∴EF ∥平面PCD ....。

..。

..。

.。

..。

.4
分
(Ⅱ） 在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD =AB =1，∠BAD =90o ,
∠BCD =45o ，
∴CD ⊥
BD 。

..。

..。

...。

.。

....5分
因为平面PBD ⊥平面BCD ，且平面PBD ∩平面
BCD=BD ,BCD CD 平面⊂，
∴CD ⊥平面PBD .....。

.。

.。

.。

..。

.6分
∴CD ⊥PB .。

....。

...。

.。

7
分
∵PB ⊥PD PD ∩CD=D
∴PB ⊥平面PCD .。

..。

...。

....。

8分
又PBC PB 平面⊂
∴平面PBC ⊥平面PCD 。

........。

..。

.。

9分
(Ⅲ) 1 。

..。

.。

.。

.。

.。

12分
21．(本小题满分12分)
（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ∵()2
ln f x x x
ax =++，
∴()12f x x a x
'=++。

……………1分
∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴
()0f x '≥,
即120x a x
++≥对()0,x ∈+∞都成
立。

………2分 ∴ 1
2a x x
-≤
+对()0,x ∈+∞都成立. (3)
分
当
0x >时, 12x x +≥= 当且仅当12x x =, 即2
x =
时，取等号。

(4)
分
∴a -≤
即a ≥-。

∴a
的取值范围为)⎡-+∞
⎣。

(5)
分
解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ∵()2
ln f x x x
ax =++，
∴
()2121
2x ax f x x a x x
++'=++=。

(1)
分
方程2
210x ax ++=的判别式28a ∆=-. (2)
分
1。

当0∆≤,
即a -≤时， 2210x ax ++≥，
此时，
()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立，
故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………3分
2.当0∆>,
即a <-
a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2
210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立。

设()2
21h x x
ax =++,
则()010,
0,4
h a
⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >。

故a > ……………4分
综合①②得a
的取值范围为
)⎡-+∞
⎣
. ……………5分
（2）解:当1a =时， ()()2ln ln 111
f x x x x x
g x x x x x x ++=-=-=+++.
()()
21
1ln 1x x g x x +
-'=+. …………
…6分
∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *
)上存在极值，
∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *
)上有解,
即方程11ln 0x x
+-=在[),t +∞(t ∈N *
)上有解. ……………7分
令()11ln x x x
ϕ=+-()0x >, 由于0x >， 则()2
1
1
0x x x
ϕ'=--
<, ∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递
减。

……………8分
∵()413ln 3ln 33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327
>>, ()514ln 4ln
44ϕ=-=5e 2565
13ln 04256<<,
∴函数()x ϕ的零点
()03,4x ∈.
……………10分
∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *
)上有解,
t ∈N *
∴3t ≤。

……………11分
∵t ∈N *
， ∴t 的最大值为3. ………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ)若四边形A B B A
''为等腰梯形，则2A B
k =，……………2分
故直线l 的方程为24y x =-． ……………3分 （Ⅱ）设直线A B 的方程为2
x t y =+，11
22
(,),(,)A x y B x y ,……………4分 则1
12(,)2y A y +'-，222
(,)2
y B y +'-，……………5分
由22,
4,
=+⎧⎨=⎩x ty y x
得0842
=--ty y ,得t y y 42
1
=+，8
2
1-=y y ． 因为,,AO B
'三点共线，所以21
21
222y y t y y -=
++， ………7分
即1
2
284y y t +=+，又t y y 421=+，得24y =-,又8
2
1-=y y ， 所以1
2y =，所以()()
1,2,1,4A B '-,
故直线A B '与y 轴平行； ……………8分
（Ⅲ）设),(0
y m Q ，由已知以AB 为直径的圆经过点Q ，
得1-=⋅QB
QA k k ，
即120
2
10
1
-=-
-⋅--m x y
y m x y y ,……………9分
即2
12
0120()-++y y
y y y y 21212()=-++-x x m x x m ．（*) (10)
分
由（Ⅱ）知，t y y 421=+，821-=y y ，则421=x x ,4
42
2
1+=+t x x ， 代入(*)式得2
20
04y
ty m -+24440m mt ---=．
因为总存在点Q ,所以关于0
y 的方程恒有解，所以0≥∆要恒成
立．
即2
216416t
m m -+216160mt ++≥对一切的∈t R 恒成立,
整理后得44)44(2
2
--≥+m m t m ．……………12分 ①当1-≤m 时,上式不可能对一切的∈t R 恒成立；
②当1
->m 时，22
4444
--≥+m m t m 对一切的∈t R 恒成立， 只需要0
442
≤--m m ，即222222+≤≤-m ． 综上，所求的实数
m 的取值范围为[22-+．
……………14分。