信号与系统吴大正第四版第二章
第二章 信号与线性系统 吴大正 教材课件
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析 1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程
y ( n ) (t ) an 1 y ( n1) (t ) a0 y (t ) 0
为 n λ +a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0
n an 1n 1
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析 注意：系统初始值0-，0+的关系：
y(0-)= yx(0-)+yf(0-) y(0+)= yx(0+)+yf(0+)
对于因果系统： 对于时不变系统：
Yf(j)(0-)=0 yx(0+)= yx(0-)
y(0-)= yx(0-)= yx(0+)；
奇异函数系数平衡法：分析两边δ(t)项的系数应相等，得 应包括 冲激函数，从而 y(t ) 在t=0处将跳变。
对等式两端从0-到0+进行积分：
y(t )
0
0
y(t )dt 3
0
0
y(t )dt 2
0
0
y(t )dt 2 (t )dt 6 (t )dt
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析
第五讲
教学要点：
冲激响应 阶跃响应
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析
冲激响应
冲激响应 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单 位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激
…
y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)
信与线性系统分析习题答案吴大正第四版高等教育出版社
第一章信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中r(t)t（t）】为斜升函数。
(2)f(t) et t（3）f(t)sin( t) (t)(4)f (t) (sint)（5）f(t)r(sin t)(7)f(t) 2k (k)（10f(k) [1 ( 1)k] (k)）解：各信号波形为（2）f（t） e N, t(3)f(t)sin( t)(t)(4)f(t)(s int)(5)f(t)r(si n t)(7)f(t)2k (k)(10)f(k)[1 (1)k] (k)1-2画出下列各信号的波形[式中r(t) t (t)为斜升函数]。
(1)f(t) 2 (t 1) 3 (t 1) (t 2) (2)f (t) r(t) 2r(t 1) r(t 2)(5)f (t) r(2t) (2 t) (8)f(k) k[ (k) (k 5)](11) f(k) ksin( )[ (k) (k 7)]6(12)f(k) 2k[ (3 k) ( k)]解:: 各信号波「形为(1) f(t) 2 (t 1) 3 (t 1) (t 2)(2) f(t) r(t) 2r(t 1) r(t2)(5) f(t)r(2t) (2 t)(8)f(k)k[ (k) (k 5)](11)f(k)ksin( § )[ (k) (k7)](12) f(k) 2k [ (3 k) ( k)]1-3写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
Q■(2) f 2(k) cos(- k ) cos(—k )(5) f 5(t)3cost 2sin( t)4 4 3 6解:1-6已知信号f(t)的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
(6)f(0.5t 2)(1) f(t 1) (t) (2) f(t 1) (t 1) (5) f (1 2t)df (t) t(7) K ( 8) f(X)dx解：各信号波形为(1)f(t 1) (t)(2)f(t 1) (t 1)(5)f(1 2t)(6) f (0.5t 2)df(t)(7)dtt(8) f (x)dx1-7已知序列f(k)的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号与线性系统分析(吴大正第四版)习题答案
第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t（7）)t=(kf kε(2)（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
信号与系统-吴大正PPT课件
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
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一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
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信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
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课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
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参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
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信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案
第一章 信号与系统1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （4）k j k f 34e )(π= （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-6所示，画出下列各函数的波形。
（5）)21(t f - （7）dtt df )( （8）dx x f t⎰∞-)(解：1-7 已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
（1）)()2(k k f ε- （3）)]4()()[2(---k k k f εε1-10 计算下列各题。
（5）dt t tt )2()]4sin([2++⎰∞∞-δπ（6）dt t )2()2t (2δ⎰∞∞-+（7）dt t t t )1()12t 2('23-+-+⎰∞∞-δ1-23 设系统的初始状态为)0(x ，激励为)(⋅f ，各系统的全响应)(⋅y 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
（1）⎰+=-ttdx x xf x e t y 0)(sin )0()( （2）⎰+=tdx x f x t f t y 0)()0()()(1-23 设系统的初始状态为)0(x ，激励为)(⋅f ，各系统的全响应)(⋅y 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
（1）⎰+=-ttdx x xf x e t y 0)(sin )0()( （2）⎰+=tdx x f x t f t y 0)()0()()(1-27 某LTI 连续系统，其初始状态一定。
已知当激励为)t (1y 时，其全响应为0)cos()(1≥+-=t t t e t y π若初始状态不变，当激励为)(2t f 时，其全响应为0)cos(2)(2≥=t t t y π，若初始状态不变，当激励为)(3t f 时，求其全响应。
第二章2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。
信号与系统(吴大正)-完整版答案-纠错修改后版本
第一章 信号与系统1-1画出以下各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
〔2〕∞<<-∞=-t et f t,)( 〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)(sin )(t t f ε= 〔5〕)(sin )(t r t f = 〔7〕)(2)(k t f kε= 〔10〕)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 〔2〕∞<<-∞=-t e t f t,)(〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)=tfε)(sin(t〔5〕)rf=t(t)(sin〔7〕)f kεt=2()(k〔10〕)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出以下各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε 〔2〕)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f 〔5〕)2()2()(t t r t f -=ε 〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε 〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ〔12〕)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=ttttfεεε〔2〕)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf〔5〕)2()2()(ttrtf-=ε〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ〔12〕)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-41-5 判别以下各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
〔2〕) 63cos()443cos()(2ππππ+++=kkkf〔5〕)sin(2cos3)(5tttfπ+=解：1-6 信号)(tf的波形如图1-5所示，画出以下各函数的波形。
第二章 信号与线性系统 吴大正 教材课件
对于t>0时
yf (t ) 3 yf (t ) 2 y f (t ) 6 (t )
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析
y f (t ) C f 1e t C f 2e 2t 3;
y f (t ) 4e t e 2t 3, t 0
y (t ) an 1 y
(n)
( n 1)
(t ) a0 y (t ) bm f
m j 0
( m)
(t ) b0 f (t )
（2.1-1)
可表示为：
ai y ( i ) (t ) b j f ( j ) (t )
i 0
n
式中an-1，…，a1，a0和bm,…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐 次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐 次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t) （2.1-2)
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。 解:由特征方程
2 3 2 0 解得特征根λ1=-1,λ2=-2。
因此该方程的齐次解
yh(t)=c1e-t+c2e-2t
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析 例2-1 求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程 2 2 1 0 解得二重根λ1=λ2=-1，
y x (t ) 4e t 2e 2t , t 0
第2章 离散信号与系统的Z域分析 连续系统的时域分析 2、零状态响应yf(t)
信号与线性系统分析+课件(第四版)吴大正第二章_连续系统的时域分析
• • • • •
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 注：上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0， 因而也不能区分自由响应和强迫响应。
• 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ + 6 = 0 其特征根λ 1= – 2， • λ 2= – 3。齐次解为 • yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t ？？ • 因为f(t) = 2e – t，故其特解可设为 • yp(t) = Pe – t • 将其代入微分方程得 • Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得P=1 • 于是特解为yp(t) = e – t
三、零输入响应
• • • • y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)＝0 若其特征根都为单根，则零输入响应为：
y zi (t ) C zij e
• 自由响应 强迫响应
注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激 励信号共同来确定
信号与线性系统分析吴大正习题答案
专业课习题解析课程西安电子科技大学844信号与系统精选专业课习题解析课程第2讲第一章信号与系统（二）精选精选1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fε=t)(sin(t（5）)tf=r(t)(sin精选（7）)t(kf kε=)(2（10）)f kεk-=(k+(])1()1[精选精选1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε精选精选（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε精选1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
精选1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
(完整版)信号与线性系统分析吴大正习题答案
专业课习题解析课程第2讲第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r(t(sin)（7）)f kε=t(k2)(（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
信号与线性系统分析(第四版)--吴大正课件.
离散周期信号举例2
例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期 分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
如：ε(t)是功率信号； tε(t)、 e t为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第 25 页
5．一维信号和多维信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 还有其他分类，如：
实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号
③ S t ) 0 a ,t ( n π ， n 1 , 2 , 3
④ sitd n tπ, sitd n tπ
⑤
0t
2
limSat)(0
t
t
⑥ sit)n sπ c itn ( π t
t
第 31 页
§1.3 信号的基本运算
两信号的相加和相乘 信号的时间变化
➢ 平移 ➢ 反转 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
第7页
通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备
信信
信信
信
信信
《信号与系统要点复习》吴大正第四版
▪ 傅氏正变换▪ 傅氏反变换二、欧拉公式三、常用信号傅里叶变换1、第1组 ---时域：模拟单频信号 ⏹ 傅里叶变换：)(ωδπA A A ↔tt f F t d e )()( j ωω-∞∞-⎰=ωωωd e )(21)( j tF t f ⎰∞∞-π=0000j j 0j j 01cos (e e )21sin (e e )2j tt t t t t ωωωωωω--=+=-[])()(cos 000ωωδωωδπω-++↔t [])()(sin ωωδωωδπω--+↔j t 1t)(t δ 0ωt)(ωδ1 1)(t δ时域单位冲激函数及频谱At)(t δ ωt)(ωδ)(2ωδπA时域直流函数及频谱正弦、余弦函数及频谱⏹频谱图：⏹物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们的密度频谱都是冲激函数。
2、第2组时域：数字信号⏹单位冲激序列函数为周期且波形图频谱图⏹单脉冲信号波形图频谱图te0jωt0cosω00tsinω∑∞-∞=-=nTnTtt)()(δδ2ωπ=TT∑∑∞-∞=∞-∞=-=-↔nnTnnTt)()(12)(ωωδωωωδπδ()a()b)2(Sa)()(ωττω=↔Ftf周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。
波形图四、傅里叶变换的几个重要结论（性质）（1）带宽受限于无限时域受限 频域无限 频域受限 时域无限（2）时域卷积与频域卷积)()()()(2121ωωF F t f t f •⇒* )()()()(2121t f t f F F •⇐*ωω（3）尺度展缩∑∑∞-∞=∞-∞=-=-↔n n T n n n n Tt f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ22-)(||1)()(||)(a t f a a F a F a at f ⇐⇒ω从波形和频谱上看：时域压缩则频域扩展反之：时域扩展则频域压缩（4）离散性与周期性时域周期（1T ）频域离散（112T πω=） 频域周期（s ω 时域离散（sTs ωπ2=）（5）互易性（或对称性）)()(2)()(t F f F t f -⇐-⇒ωπω 典型应用： )(211)(ωπδδ⇒⇒t（6）时移与频移0)()()()(00t j t j et f F e F t t f ωωωωω⇐-⇒--所谓傅里叶变换的性质：是指当当型号的时域（或频域）发生某种改变（或作运算）之后，在频域（或时域）相应的变化规律。
信号与系统课程要点(吴大正)
信号与系统第一章 信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号 3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。
图解时方法多种，但注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。
4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义 阶跃函数和冲激函数的导数与积分 冲激函数的取样性质)()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅；⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ；⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ分段连续函数的导数计算 知道一些常用的信号 5．系统的描述方法数学模型的建立：微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离） 由时域框图列方程的步骤。
6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。
时不变性：常参量LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统） LTI 系统零状态响应的微积分特性 因果性、稳定性第二章 连续系统的时域分析1． 微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数） 自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（奇异函数系数平衡法）全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性 2． 冲激响应)(t h定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系3． 卷积积分 定义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *=卷积的图示解法：步骤、关键点、两个结论卷积的解析解法卷积的代数运算规则3个，物理意义 函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ 卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解第三章 离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态（是)()2(),1(N y y y --- ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y ） 2．单位序列响应)(k h)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）；若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系 4． 卷积和 定义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解法：步骤，注意问题。
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y p (t ) Pe ,
t
y p (t ) Pe ,
t
y p (t ) Pet , f (t ) 2et ,
P 5P 6P 2, 故P 1 整理得： 所以微分方程的特解为： y p (t ) et
则微分方程的全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e2t C2e3t et
解：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程
(t ) 5 y1 (t ) 6 y1 (t ) f (t ) y1
设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为
h(t ) h1(t ) 2h1(t ) 3h1 (t )
由于 所以
h1 (t ) (e2t e3t ) (t )
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5.冲激函数匹配法
目的：
用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值
的关系。
应用条件： 如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导
数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
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0 0
即h(0 ) 1 h(0 ) 1
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（2）再求冲激响应。
由δ(t)的性质知，对t>0时，有 h(t ) 5h(t ) 6h(t ) 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)
e t
(Cr 1t r 1 Cr 2t r 2 C1t C0 )et
et [C cos(t ) D sin(t )]或A cos(t ),其中Ae j C jD
r 1 r 2 t r重共轭复根 [ Ar 1t cos(t r 1 ) Ar 2t cos(t r 2 ) A0 cos(t 0 )]e
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解：（1）零输入响应。设零输入响应yzi(t), 激励为0 ， 初值为
yzi (0 ) y(0 ) 2, y zi (0 ) y (0 ) 2
根据特征根求得通解为： yzi (t ) C1e2t C2et 解得系数为
C1 0 C2 2
0 0
于是由上式得 [yzs (0 ) yzs (0 )] 3[yzs (0 ) y zs (0 )] 2 因为yzs(0+) = yzs(0-) ， 所以
yzs (0 ) yzs (0 ) 2, yzs (0 )= yzs (0 )+2=2
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主讲教师：陈哲云
青岛理工大学计算机工程学院
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第二章 2.1
连续系统的时域分析 LTI连续系统的响应
2.2
2.3
冲激响应和阶跃响应
卷积积分
2.4
卷积积分的性质
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2.1 LTI连续系统的响应
• 微分方程的经典解
• 零输入响应与零状态响应
• 全响应
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再求零状态响应。 对t>0时，有 y zs (t ) 3 yzs (t ) 2 yzs (t ) 6
不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3，
于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t>0 （3）全响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t)=-2e-t+e-2t+3, t >0
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
③利用初值确定出积分常数C1，C2， …，Cn，代入通解 表达式，即得yzi(t) 。
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3、零状态响应
（1）即求解对应非齐次微分方程的解。
（2）求yzs(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出的通解表达式yzsh(t)。
②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yzsp(t)
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例2.1-2：描述某系统的微分方程为
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 2 f (t) 6f(t)
已知 y(0 ) 2, y(0 ) 2, f (t ) (t ) 求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应。
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(t ) ut
g t h(t ) LTI 系统 H {x(0)}={0}
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例2.2-1 描述某系统的微分方程为
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f(t)
求其冲激响应h(t)。
解：根据h(t)的定义有
h(t ) 5h(t ) 6h(t ) (t)
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4.关于 0- 和 0+ 初始值
（1）0－ 状态和 0＋ 状态 – 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； – 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统
的储能，还受激励的影响。
（2）从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 – 系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分 方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。若初值发生跃 变，由 0－ 状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。
LTI的全响应：y(t) = yzi(t) + yzs(t)
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2、零输入响应解法
（1）即求解对应齐次微分方程的解。 （2）求yzi(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。 比如，若特征方程的根为n个单根，则通解为
y zi (t ) C1e1t C2e2t ... Cn ent
(t )
HLTI系统 {x(0)}={0}
g t
g (t )
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例2.2-3：如图所示的LTI系统，求其阶跃响应。
1
f (t )
x(t )
3
x(t )
x(t ) 2
y(t )
2
解：由
f (t ) x(t ) 3x(t ) 2 x(t ) y (t） x(t ) 2 x(t )
代入得
yzi (t ) 2et , t 0
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（2）零状态响应。 先求初值yz 。 s (0 )和yzs (0 )
将f(t)=ε(t)代入方程得
y zs (t ) 3 yzs (t ) 2 yzs (t ) 2 (t) 6 (t)
数。
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三、全响应
全响应 = 自由响应 ＋ 强迫响应
=
零输入响应 ＋ 零状态响应
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2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应，称为 单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
③求初值： 若方程右边无冲激函数及其各阶导数，则其初值为
( j) yzs (0 ) 0, j 0,1,..., n 1
④写出零状态响应表达式 yzs (t ) yzsh (t ) yzsp (t ).
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( j) 否则，根据冲激函数匹配法求得 yzs (0 ) ，确定积分常数C1， C2， …，Cn
(1)
由冲激函数匹配法知， 应包含 2 (t ) ，从 y zs (t )
而 y 在t= 0处将发生跃变，即 y zs (0 ) yzs (0 ) 。 zs ( )
但 y 不含冲激函数，否则 y 将含有 (t ) 项。 zs (t ) zs (t )
由于 y 中不含δ(t)，故yzs(t)在t=0处是连续的。 zs (t )
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不同激励对应的特解
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例2.1-1：描述某LTI系统的微分方程为
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
求输入 f (t ) 2et , t 0; y(0) 2, y(0) 1 时的全解。 解：齐次解yh(t)
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其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
最后得全解
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二、零输入响应和零状态响应
1、定义：
（1）零输入响应yzi(t) ：没有外加激励信号的作用，只有起始状 态所产生的响应。 （2）零状态响应yzs(t) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，由 系统外加激励信号所产生的响应。
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一、微分方程的经典解
微分方程的解：y(t)= yh(t)+ yp(t)
其中， y(t): 完全解。 yh(t): 齐次解。由微分方程的特征根确定。 yp(t): 特解。与激励函数的形式有关。