矩阵的等价关系与分类
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由定 理 ２ ． ３和 结 论 ｌ 的 证 明 可 得
结论 ４ ： 在实数域上 ， ｎ 阶对称阵在合同关系下可分 为 １（ 肘１ ） （ 肿２ ）
类。
证明： 以选 Ｐ． ｒ 为全系不变量为例来证 明 当ｒ － ＝ ０时． 口 ＝ ０共 １ 类 当ｒ ＝ １时． ｐ ＝ ０． １ 共 ２类 当ｒ ＝ ｎ时， ｐ ＝ ０， １ ， …， ｎ共 ｎ ＋ ｌ 类
它们相似就等价于它们有完全相同的特 征值 （ 或特征多项式相等 ） ： 否 所以共有 １ ＋ ２ ＋ ＿ ． ． ＋ （ ｎ ＋ １ ） ＝ （ 斛１ ） （ ， 抖 ２ ） 类。 则， 同阶方阵的特征值完全相同只是它们 相似的必要条件 ２ － ３ 矩阵 的合 同关系 定义 ２ ． ３ ： 对于 ｎ阶方 阵 Ａ、 口 ， 若存在可逆 阵 使得 Ｈ Ａ Ｐ ＝ Ｂ ． 则称 ４ 根据 等价关 系将矩阵分类的意义 Ａ 与 Ｂ合 同 矩阵的全体很复杂 ， 都是无 限个矩 阵 ， 我们要研 （ 下转第 ２ ０ ６页 ）
作者简介 ： 谢晓华 ， 硕士 ， ２ ０ ０ ７年毕业于北京科技 大学应 用数 学专业． 现任职于河 南林业职业学院基础部数学教研 室。
１ ９ ６ ｌ 科技视界 Ｓ ｅ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ 。 ｇ Ｙ Ｖ ｉ ｓ ｉ 。 ｎ
科技・ 探索・ 争Ｉ 毫
Ｙ即 ｎ ∈ｓ 所以Ｓ ｘ ＿ｓ ｃ 同 理 可证 Ｓ ｙ Ｃ ＿Ｓ ｘ 所以 Ｓ ￣ ＝ Ｓ ｙ 。
２ 矩 阵 的 等 价 关 系
２ ． １ 矩阵的相抵关系 定义 ２ ． １ ： 如果矩阵 Ａ经过有限次的初等变换后得 到矩 阵 Ｂ． 那么 称 与 曰是相抵的 定理 ２ ． １ ：任意两个矩 阵 Ａ、 Ｂ相抵 的充分 必要条件是 ： １ ） Ａ、 Ｂ同 ３ 等 价 关 系下 的 分 类 型且秩相等 ： ２ ） 存在可逆阵 Ｐ和 Ｑ使得 Ｐ ＡＱ ＝ 。
体育教师应改变为了教而教的传统观念将反映学生身体素质的显性目标向提高学生的体育文化素质体育意识体育能力体育习惯等隐性目标拓展避免出现学校重复教育的现象将阶段锻炼效果和长远锻炼效果相结合发展体现出起点与进步过程与结果相结合的评价机制让学生掌握科学的锻炼方法活一辈子的终身体育锻炼目标也为教师进行终身体育教学提供了体育课程内容的设置应突出多样化和终身化相统一的思想学校体育是学生终生体育锻炼意识形成的一个重要阶段也是学生掌握体育锻炼知识运动技能和安全卫生知识的一个重要时期
一 一
一
也就是说， 任意一 个秩为 ｒ 的ｍ ｘ ｎ 矩阵Ａ 都相抵与 形如
＼ ０ ０ ／
Ｉ 一
结论 ｌ ： ｍＸ ｎ矩 阵在 相 抵 关 系下 可 分 为 ｋ ＋ １类 （ 其中 ｋ ： ｍｉ ｎ
｛ ｍ． ｎ｝ ）
的矩 阵． 这种 结构简单的矩阵称为 的相抵标 准型 ． 秩ｒ 为相抵关系 下 的全系不变量 即两个 同型矩阵相抵 的本质 是具有相 同的秩 ２ ＿ ２ 矩 阵的相似关系 定义 ２ ．Байду номын сангаас２ ： 对于 ｎ阶方阵 Ａ、 ． 若存 在一个 可逆 阵 使 得 Ｐ － ￣ ＡＰ ＝ Ｂ． 则称 』 ４与 Ｂ相似 由定 义可得 』 ４通过相似变换变为 日需要很强 的约束条件 ：两边 乘 的矩阵要互逆 ． 所 以要通过引入 Ａ 一 矩阵除去其约束 条件 ． 将 Ａ与 Ｂ 的相似转换 为 Ａ ， 一 Ａ与 Ａ ， 胡 的相 抵 来 研 究 ．即通 过 相抵 标 准 型 来 研 究数字矩阵 Ａ与 的相似 定理 ２ ． ２ ｆ １ ） Ａ与 曰相似 矩阵 能够经过相似变换变成矩 阵 铮 ４与 口是同阶方阵且它们有相同的不变因子组 即矩阵相似关系下的全系不变量 是不变 因子组 也就是说秩相等是矩阵相似的必要 条件 ． 两个 同阶方 阵相似 的本 质是它们有相同的不变因子组 相似矩阵的性质 ： 矩 阵相似 ． 则 它们的秩相等 ． 迹相等 ． 行列式相 等， 特征值相 等 ， 特征多项式也相等 ； 它们 还有相 同的可 逆性 ， 且可逆 时它们的逆矩阵也相似 注意 ， 两个 同阶方 阵如果它们可 以对 角化 （ 例如实对 称矩阵 ） ． 则
（ １ ） 对任意 的 Ｓ ， 由等价 关系的反身性 ， Ｓ 所以５ ｕｓ 显
然 ｕｓ Ｓ， 所以 Ｓ ｕＳ
（ ２ ） 只需证 ： 若 ｎ ｓ≠ 则 ＝ ， 设
ｎ Ｓ， 则 一， ～ ｙ 由等
价关系的对称性 和传递性 得 ｘ ￣ ｙ ，所 以对任意 的 ａ∈Ｓ ， ｎ 一， ～ ｙ所 以
科技・ 探索・ 争鸣
Ｓ ｃ 科 ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ 技 Ｔ ｅ ｃ ｈ 视 ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ 界 Ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
矩阵的等价关系与分类
谢 晓华 （ 河南 林 业职业 学 院 基础 部 ， 河南 洛 阳 ４ ７ １ ０ ０ ２ ）
【 摘 要】 本文对矩阵的相抵 、 相似、 合 同三种等价 关系及它们之间的联 系和区别做 了总结， 并利 用等价关 系和分类的知识对矩阵进行等价
证明： 由定理 ２ ． １ 得到 秩 ｒ为相抵关系下 的全 系不变量 ， 所以 矩 阵可分为秩 为 ０ ， 秩为 １ ， …， 秩为 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ， ｎ） 的矩 阵 ， 共有 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ， ｎ） ＋ 】 类。 结论 ２ ： 所有 ｎ阶方阵 ． 在相似关系下有无 限多个等价类 。
” ｎ ＼
两个矩阵合同的概念是不需要矩 阵必须是实对称矩阵 的。 如果 Ａ 是实对称矩阵 ． 则它一定能与对角矩 阵合 同 但合 同一般是对 于对称 矩阵来说的 ， ｎ阶对称矩阵必然有 ｎ个 实特征 根。如果两对称矩 阵的 不为零 的特 征根数 相同 ． 并且正特征根数也相 同 。 那 么两矩阵是合 同 的 反之 ． 如果两矩阵合同 的话 ， 那么这两个 矩阵不为零 的特征 根数相 同． 并且正特征根数也相同 定理 ２ ． ３ ： 在复数域上 ， ｎ阶对称 阵在合 同关系下的全系不变量是 矩 阵 的秩 ｒ 定理 ２ ． ４ ： 在实数域上 ， ｎ阶对称 阵在合同关系下的全 系不变 量是 矩 阵的秩 ｒ 、 正惯性 指数 Ｐ 、 负惯性指数 ｑ 和符号差 ｓ 中的任意两个。 注意 ： 合 同与二次 型有 关 ． 同一数域上 的二次型 与对 称矩阵之 间 对应 ． 因此矩阵合同一般针对的是对称矩 阵。 ２ ． ４ 矩阵相抵 ． 相似与合同之间的关系 （ １ ） 相抵关 系最弱 。 合 同与相似是特殊的相抵关系 ， 若两个 矩阵相 似或合 同． 则这两个矩阵一定相抵 ， 反之不成立 。 相似与合 同不 能互相 推导 ． 但如果相似矩阵为正交相似 ． 合 同阵为正交合 同 ， 则 相似 与合同 致。 （ ２ ） 对于实对称矩阵 ， 特征值是相似的不 变量， 秩 和正 惯性 指数是 合 同关 系下 的全系不变量 ． 因此实对称矩 阵相似则 一定合 同。 （ ３ ） 相抵 ， 相 似与合 同具有 ： 反身性 ， 对 称性 ， 传递 性 ， 因此都 是等 价关 系。 所 以可 以基于这三种等价关系对矩阵进行 分类 。
分 类， 最后通过一个 简单的例子说 明 了这种 分类 的意义。可 以加深非数学专业学生对矩 阵知识 的了解 。
【 关键词 】 相抵 ； 相似 ； 合 同； 等价类
１ 预 备 知 识
定义 １ ． １ ： 设（ Ｌ ｓ Ｅ，ｌ （ ， 为有 限或者无 限） 为集合 ｓ的子集族 ． 若 满足 ｉ） ｓ ＝ＵＳ ｉ ｉ ） ， Ｓ ｎＳ ． ＝ （ ≠ｆ ） 则称｛ Ｓ ｉ Ｉ ∈，１ 为 Ｓ的一个分类 。也 就是说任意 的 ｓ ∈Ｓ必属于且 只属于某个 ｓ 即 ｓ可以写为它的子集 族 的无交并 定义 １ ． ２ ： 集合 ５的一个二元关 系“ ～ ” 称为等价关 系 ． 若满 足 ｉ） 反身 胜： ｉ ｊ ） 对称性 ： 若 — ｙ 则ｙ ｉ ｉ ｉ ） 传递性 ： 若 ～ ｙ ， ｙ 则ｚ — 。 定理 １ ． １ ： 集合 ｓ的一个分类必决定 ｓ 的一个等价关系 定理 １ ． ２ ： 集合 ｓ的一个等价关 系必决定 ｓ 的一个分类。 证明 ： 令 ｛ ｙ ∈Ｓ Ｉ ｘ ￣ ｙ） 只需证（ １ ） Ｓ ＝ ＵＳ ． ， （ ２ ） ｎｓ ￣ ： Ｏ， 若 ≠ｓ
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． －
握． 对促进学生终身体育锻炼思想 的形成奠定基础。 ４ ． ２ 体育课程内容的设 置应突 出多样化和终身化相统一的思想 学校体育是学生终 生体育锻炼意识形成的一个重要 阶段 ． 也 是学 生掌握体育锻炼知识 、 运动技 能和安全卫生知识 的～个重要 时期 。因 此． 体育课程 内容的设置应完成学 校体育教育与社会体育教育 的有机 衔接上 ， 从面 向健康生活 、 学校环境 、 终身受益 的角度多维 度的设 计体 育课程 内容 ． 启发学 生积极主动 的尝试 体育锻炼 的意识 ． 并能让学 生 从锻炼 中掌握体育健 康的乐趣 ． 既要有一定的运动技 术含量 ， 还要有 定 的知识性 ： 既要 重视学生 的个 性发展 ． 还要重 视终身体育意识 的 培养 ： 既要 开展适 合青少年 时期 身体锻炼的节奏性 强 、 运动强度 大的 运 动项 目． 还要开展适合成年 时期 以后的可接受性 强 、 突 出健 身性与 娱乐性相结合的终身体育运动项 目： 同时还要兼顾城市学 生与农 村学 生身体机能差异的运动项 目 从所授学生身体机能调查统计表中可以 显示 ， 城市学 生身体 的灵敏性 、 柔韧性 、 协调性相对 高于农村 ， 而农村 学校学生 的力量性和爆发性相对优于城市学生 ． 这 和城市学校 和农村 学校开设 的体育课程 内容有很大的关 系 因此 ． 要 培养 高职生终身体 育锻炼 的意识 ． 课程 内容的设置应突出多样性 和终 身性兼 顾发展的原 则 ４ ． ３ 师资队伍建设应突出终身体育 职业化 的发展 目 标 在高职教育大力发展和转型期间 ． 体 育教师应迅速转 变观念。首 先． 体育教师要将终身体育思想 、 体育文化与学 生的专业特 色相结合 ， 为学牛制定一套适合学生专业发展进行 长期锻炼 的运动处 方 ． 成为传 播终身体 育锻 炼的理念和方法 的实践者 ： 其次 ． 体育教师应具 有多项 运动技能 ． 要求广而精 ． 既能引导学生学习前 沿的锻 炼项 目． 还能引导 学生学 习步人社 会以后进行 的体育 锻炼项 目： 再次 ． 体育教师要 做好
一
终身体育背景 下高职体育课程 的组织和实施者 ． 融快乐体育与专业 技 能于一体 ． 既让学生在快 乐中掌握体育 锻炼的方法 和技能 ． 体验 到体 育锻炼 的乐趣 ．又能为学生建立终身体育锻炼的理念奠定情感 基础 ， 让学生愿意参与到终身 体育锻炼 中来 ： 最后 ． 体育 教师要依据 高职教 育发展的趋势 和高职学校体育课程 的改革 ， 不断探索适合学 校体育改 革和终身体育 发展的有效途径 体育教师应改变“ 为 了教而教” 的传统 观念 ． 将反 映学生身体素质 的显性 目标 ． 向提高学生 的体育 文化素质 、 体育意识 、 体育能力 、 体育 习惯等隐 性 目 标拓展 ， 避免 出现学 校重复教 育的现象 ． 将 阶段锻炼效 果和长远锻炼 效果相结合 发展 ． 体 现出起点 与进步 、 过程与结果 相结合的评价机 制 ． 让学生 掌握科学 的锻 炼方法 和正确 的运动技能 ． 响应 “ 每天锻炼 一小时 ． 幸福工 作五十年 ， 健康生 活一辈子 ” 的终身体 育锻炼 目标 ， 也为教 师进行终 身体育教学 提供 了
证明 ： 设 ｎ阶复方 阵 Ａ 的初 等因子组 是 （ Ａ － Ａ 。 ） 。 ， （ Ａ — Ａ ２ ） ‘ ， …，
（ ， ＝ Ｉ ） ， 由于两个方 阵相 似的充分必 要条件是它们的初等 因子组完
全相 同 ， 及Ａ ｉ ， ｎ （ １ ， ２ ， …， ） 完全相 同， 而Ａ 为复数域上 的任 意数 ， 有 无穷多个 ， 所 以在相似关系下 ｎ 阶方阵有无限多个 等价类 。 结论 ３ ： 在 复数域上 ， ｎ阶对称阵在合同关系下可分 为 ｎ ＋ ｌ 类。
结论 ４ ： 在实数域上 ， ｎ 阶对称阵在合同关系下可分 为 １（ 肘１ ） （ 肿２ ）
类。
证明： 以选 Ｐ． ｒ 为全系不变量为例来证 明 当ｒ － ＝ ０时． 口 ＝ ０共 １ 类 当ｒ ＝ １时． ｐ ＝ ０． １ 共 ２类 当ｒ ＝ ｎ时， ｐ ＝ ０， １ ， …， ｎ共 ｎ ＋ ｌ 类
它们相似就等价于它们有完全相同的特 征值 （ 或特征多项式相等 ） ： 否 所以共有 １ ＋ ２ ＋ ＿ ． ． ＋ （ ｎ ＋ １ ） ＝ （ 斛１ ） （ ， 抖 ２ ） 类。 则， 同阶方阵的特征值完全相同只是它们 相似的必要条件 ２ － ３ 矩阵 的合 同关系 定义 ２ ． ３ ： 对于 ｎ阶方 阵 Ａ、 口 ， 若存在可逆 阵 使得 Ｈ Ａ Ｐ ＝ Ｂ ． 则称 ４ 根据 等价关 系将矩阵分类的意义 Ａ 与 Ｂ合 同 矩阵的全体很复杂 ， 都是无 限个矩 阵 ， 我们要研 （ 下转第 ２ ０ ６页 ）
作者简介 ： 谢晓华 ， 硕士 ， ２ ０ ０ ７年毕业于北京科技 大学应 用数 学专业． 现任职于河 南林业职业学院基础部数学教研 室。
１ ９ ６ ｌ 科技视界 Ｓ ｅ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ 。 ｇ Ｙ Ｖ ｉ ｓ ｉ 。 ｎ
科技・ 探索・ 争Ｉ 毫
Ｙ即 ｎ ∈ｓ 所以Ｓ ｘ ＿ｓ ｃ 同 理 可证 Ｓ ｙ Ｃ ＿Ｓ ｘ 所以 Ｓ ￣ ＝ Ｓ ｙ 。
２ 矩 阵 的 等 价 关 系
２ ． １ 矩阵的相抵关系 定义 ２ ． １ ： 如果矩阵 Ａ经过有限次的初等变换后得 到矩 阵 Ｂ． 那么 称 与 曰是相抵的 定理 ２ ． １ ：任意两个矩 阵 Ａ、 Ｂ相抵 的充分 必要条件是 ： １ ） Ａ、 Ｂ同 ３ 等 价 关 系下 的 分 类 型且秩相等 ： ２ ） 存在可逆阵 Ｐ和 Ｑ使得 Ｐ ＡＱ ＝ 。
体育教师应改变为了教而教的传统观念将反映学生身体素质的显性目标向提高学生的体育文化素质体育意识体育能力体育习惯等隐性目标拓展避免出现学校重复教育的现象将阶段锻炼效果和长远锻炼效果相结合发展体现出起点与进步过程与结果相结合的评价机制让学生掌握科学的锻炼方法活一辈子的终身体育锻炼目标也为教师进行终身体育教学提供了体育课程内容的设置应突出多样化和终身化相统一的思想学校体育是学生终生体育锻炼意识形成的一个重要阶段也是学生掌握体育锻炼知识运动技能和安全卫生知识的一个重要时期
一 一
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也就是说， 任意一 个秩为 ｒ 的ｍ ｘ ｎ 矩阵Ａ 都相抵与 形如
＼ ０ ０ ／
Ｉ 一
结论 ｌ ： ｍＸ ｎ矩 阵在 相 抵 关 系下 可 分 为 ｋ ＋ １类 （ 其中 ｋ ： ｍｉ ｎ
｛ ｍ． ｎ｝ ）
的矩 阵． 这种 结构简单的矩阵称为 的相抵标 准型 ． 秩ｒ 为相抵关系 下 的全系不变量 即两个 同型矩阵相抵 的本质 是具有相 同的秩 ２ ＿ ２ 矩 阵的相似关系 定义 ２ ．Байду номын сангаас２ ： 对于 ｎ阶方阵 Ａ、 ． 若存 在一个 可逆 阵 使 得 Ｐ － ￣ ＡＰ ＝ Ｂ． 则称 』 ４与 Ｂ相似 由定 义可得 』 ４通过相似变换变为 日需要很强 的约束条件 ：两边 乘 的矩阵要互逆 ． 所 以要通过引入 Ａ 一 矩阵除去其约束 条件 ． 将 Ａ与 Ｂ 的相似转换 为 Ａ ， 一 Ａ与 Ａ ， 胡 的相 抵 来 研 究 ．即通 过 相抵 标 准 型 来 研 究数字矩阵 Ａ与 的相似 定理 ２ ． ２ ｆ １ ） Ａ与 曰相似 矩阵 能够经过相似变换变成矩 阵 铮 ４与 口是同阶方阵且它们有相同的不变因子组 即矩阵相似关系下的全系不变量 是不变 因子组 也就是说秩相等是矩阵相似的必要 条件 ． 两个 同阶方 阵相似 的本 质是它们有相同的不变因子组 相似矩阵的性质 ： 矩 阵相似 ． 则 它们的秩相等 ． 迹相等 ． 行列式相 等， 特征值相 等 ， 特征多项式也相等 ； 它们 还有相 同的可 逆性 ， 且可逆 时它们的逆矩阵也相似 注意 ， 两个 同阶方 阵如果它们可 以对 角化 （ 例如实对 称矩阵 ） ． 则
（ １ ） 对任意 的 Ｓ ， 由等价 关系的反身性 ， Ｓ 所以５ ｕｓ 显
然 ｕｓ Ｓ， 所以 Ｓ ｕＳ
（ ２ ） 只需证 ： 若 ｎ ｓ≠ 则 ＝ ， 设
ｎ Ｓ， 则 一， ～ ｙ 由等
价关系的对称性 和传递性 得 ｘ ￣ ｙ ，所 以对任意 的 ａ∈Ｓ ， ｎ 一， ～ ｙ所 以
科技・ 探索・ 争鸣
Ｓ ｃ 科 ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ 技 Ｔ ｅ ｃ ｈ 视 ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ 界 Ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
矩阵的等价关系与分类
谢 晓华 （ 河南 林 业职业 学 院 基础 部 ， 河南 洛 阳 ４ ７ １ ０ ０ ２ ）
【 摘 要】 本文对矩阵的相抵 、 相似、 合 同三种等价 关系及它们之间的联 系和区别做 了总结， 并利 用等价关 系和分类的知识对矩阵进行等价
证明： 由定理 ２ ． １ 得到 秩 ｒ为相抵关系下 的全 系不变量 ， 所以 矩 阵可分为秩 为 ０ ， 秩为 １ ， …， 秩为 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ， ｎ） 的矩 阵 ， 共有 ｍ ｉ ｎ ｛ ｍ， ｎ） ＋ 】 类。 结论 ２ ： 所有 ｎ阶方阵 ． 在相似关系下有无 限多个等价类 。
” ｎ ＼
两个矩阵合同的概念是不需要矩 阵必须是实对称矩阵 的。 如果 Ａ 是实对称矩阵 ． 则它一定能与对角矩 阵合 同 但合 同一般是对 于对称 矩阵来说的 ， ｎ阶对称矩阵必然有 ｎ个 实特征 根。如果两对称矩 阵的 不为零 的特 征根数 相同 ． 并且正特征根数也相 同 。 那 么两矩阵是合 同 的 反之 ． 如果两矩阵合同 的话 ， 那么这两个 矩阵不为零 的特征 根数相 同． 并且正特征根数也相同 定理 ２ ． ３ ： 在复数域上 ， ｎ阶对称 阵在合 同关系下的全系不变量是 矩 阵 的秩 ｒ 定理 ２ ． ４ ： 在实数域上 ， ｎ阶对称 阵在合同关系下的全 系不变 量是 矩 阵的秩 ｒ 、 正惯性 指数 Ｐ 、 负惯性指数 ｑ 和符号差 ｓ 中的任意两个。 注意 ： 合 同与二次 型有 关 ． 同一数域上 的二次型 与对 称矩阵之 间 对应 ． 因此矩阵合同一般针对的是对称矩 阵。 ２ ． ４ 矩阵相抵 ． 相似与合同之间的关系 （ １ ） 相抵关 系最弱 。 合 同与相似是特殊的相抵关系 ， 若两个 矩阵相 似或合 同． 则这两个矩阵一定相抵 ， 反之不成立 。 相似与合 同不 能互相 推导 ． 但如果相似矩阵为正交相似 ． 合 同阵为正交合 同 ， 则 相似 与合同 致。 （ ２ ） 对于实对称矩阵 ， 特征值是相似的不 变量， 秩 和正 惯性 指数是 合 同关 系下 的全系不变量 ． 因此实对称矩 阵相似则 一定合 同。 （ ３ ） 相抵 ， 相 似与合 同具有 ： 反身性 ， 对 称性 ， 传递 性 ， 因此都 是等 价关 系。 所 以可 以基于这三种等价关系对矩阵进行 分类 。
分 类， 最后通过一个 简单的例子说 明 了这种 分类 的意义。可 以加深非数学专业学生对矩 阵知识 的了解 。
【 关键词 】 相抵 ； 相似 ； 合 同； 等价类
１ 预 备 知 识
定义 １ ． １ ： 设（ Ｌ ｓ Ｅ，ｌ （ ， 为有 限或者无 限） 为集合 ｓ的子集族 ． 若 满足 ｉ） ｓ ＝ＵＳ ｉ ｉ ） ， Ｓ ｎＳ ． ＝ （ ≠ｆ ） 则称｛ Ｓ ｉ Ｉ ∈，１ 为 Ｓ的一个分类 。也 就是说任意 的 ｓ ∈Ｓ必属于且 只属于某个 ｓ 即 ｓ可以写为它的子集 族 的无交并 定义 １ ． ２ ： 集合 ５的一个二元关 系“ ～ ” 称为等价关 系 ． 若满 足 ｉ） 反身 胜： ｉ ｊ ） 对称性 ： 若 — ｙ 则ｙ ｉ ｉ ｉ ） 传递性 ： 若 ～ ｙ ， ｙ 则ｚ — 。 定理 １ ． １ ： 集合 ｓ的一个分类必决定 ｓ 的一个等价关系 定理 １ ． ２ ： 集合 ｓ的一个等价关 系必决定 ｓ 的一个分类。 证明 ： 令 ｛ ｙ ∈Ｓ Ｉ ｘ ￣ ｙ） 只需证（ １ ） Ｓ ＝ ＵＳ ． ， （ ２ ） ｎｓ ￣ ： Ｏ， 若 ≠ｓ
Ｓ ｃ 科 ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ 技 Ｔ ｅ ｃ ｈ 视 ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｐ Ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
． －
握． 对促进学生终身体育锻炼思想 的形成奠定基础。 ４ ． ２ 体育课程内容的设 置应突 出多样化和终身化相统一的思想 学校体育是学生终 生体育锻炼意识形成的一个重要 阶段 ． 也 是学 生掌握体育锻炼知识 、 运动技 能和安全卫生知识 的～个重要 时期 。因 此． 体育课程 内容的设置应完成学 校体育教育与社会体育教育 的有机 衔接上 ， 从面 向健康生活 、 学校环境 、 终身受益 的角度多维 度的设 计体 育课程 内容 ． 启发学 生积极主动 的尝试 体育锻炼 的意识 ． 并能让学 生 从锻炼 中掌握体育健 康的乐趣 ． 既要有一定的运动技 术含量 ， 还要有 定 的知识性 ： 既要 重视学生 的个 性发展 ． 还要重 视终身体育意识 的 培养 ： 既要 开展适 合青少年 时期 身体锻炼的节奏性 强 、 运动强度 大的 运 动项 目． 还要开展适合成年 时期 以后的可接受性 强 、 突 出健 身性与 娱乐性相结合的终身体育运动项 目： 同时还要兼顾城市学 生与农 村学 生身体机能差异的运动项 目 从所授学生身体机能调查统计表中可以 显示 ， 城市学 生身体 的灵敏性 、 柔韧性 、 协调性相对 高于农村 ， 而农村 学校学生 的力量性和爆发性相对优于城市学生 ． 这 和城市学校 和农村 学校开设 的体育课程 内容有很大的关 系 因此 ． 要 培养 高职生终身体 育锻炼 的意识 ． 课程 内容的设置应突出多样性 和终 身性兼 顾发展的原 则 ４ ． ３ 师资队伍建设应突出终身体育 职业化 的发展 目 标 在高职教育大力发展和转型期间 ． 体 育教师应迅速转 变观念。首 先． 体育教师要将终身体育思想 、 体育文化与学 生的专业特 色相结合 ， 为学牛制定一套适合学生专业发展进行 长期锻炼 的运动处 方 ． 成为传 播终身体 育锻 炼的理念和方法 的实践者 ： 其次 ． 体育教师应具 有多项 运动技能 ． 要求广而精 ． 既能引导学生学习前 沿的锻 炼项 目． 还能引导 学生学 习步人社 会以后进行 的体育 锻炼项 目： 再次 ． 体育教师要 做好
一
终身体育背景 下高职体育课程 的组织和实施者 ． 融快乐体育与专业 技 能于一体 ． 既让学生在快 乐中掌握体育 锻炼的方法 和技能 ． 体验 到体 育锻炼 的乐趣 ．又能为学生建立终身体育锻炼的理念奠定情感 基础 ， 让学生愿意参与到终身 体育锻炼 中来 ： 最后 ． 体育 教师要依据 高职教 育发展的趋势 和高职学校体育课程 的改革 ， 不断探索适合学 校体育改 革和终身体育 发展的有效途径 体育教师应改变“ 为 了教而教” 的传统 观念 ． 将反 映学生身体素质 的显性 目标 ． 向提高学生 的体育 文化素质 、 体育意识 、 体育能力 、 体育 习惯等隐 性 目 标拓展 ， 避免 出现学 校重复教 育的现象 ． 将 阶段锻炼效 果和长远锻炼 效果相结合 发展 ． 体 现出起点 与进步 、 过程与结果 相结合的评价机 制 ． 让学生 掌握科学 的锻 炼方法 和正确 的运动技能 ． 响应 “ 每天锻炼 一小时 ． 幸福工 作五十年 ， 健康生 活一辈子 ” 的终身体 育锻炼 目标 ， 也为教 师进行终 身体育教学 提供 了
证明 ： 设 ｎ阶复方 阵 Ａ 的初 等因子组 是 （ Ａ － Ａ 。 ） 。 ， （ Ａ — Ａ ２ ） ‘ ， …，
（ ， ＝ Ｉ ） ， 由于两个方 阵相 似的充分必 要条件是它们的初等 因子组完
全相 同 ， 及Ａ ｉ ， ｎ （ １ ， ２ ， …， ） 完全相 同， 而Ａ 为复数域上 的任 意数 ， 有 无穷多个 ， 所 以在相似关系下 ｎ 阶方阵有无限多个 等价类 。 结论 ３ ： 在 复数域上 ， ｎ阶对称阵在合同关系下可分 为 ｎ ＋ ｌ 类。