湖北省武汉市蔡甸区第四中学校2019-2020学年高三数学文模拟试题含解析

湖北省武汉市蔡甸区第四中学校2019-2020学年高三数
学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
略
2. 已知，，则等于
A． B． C． D．
参考答案：
B
由知
故选B.
3. 已知集合，集合，则（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
4. 设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）.
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
参考答案：
B
5. 已知向量，，且∥,则等于
A．-3 B．-2
C．3 D．2
参考答案：
C
6. 已知，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
7. 已知点P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的
左、右焦点，I为△的内心，若成立，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
正方体对角线截面，且球心到截面的距离为
球半径，截面圆半径截面圆面积
8. 曲线所围成的封闭图形的面积为______________.
参考答案：
略
9. 已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与
的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
参考答案：
C
10. 双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：交于点，则
（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为．
参考答案：
（﹣2，1）
略
12. 对函数，现有下列命题：
①函数是偶函数；
②函数的最小正周期是；
③点是函数的图象的一个对称中心；
④函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

其中是真命题的是______________________.
参考答案：
①④
略
13. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且
，设，则的值为 .
参考答案：
14. 平面向量，，满足，，，，则的最小值为．
参考答案：
略
15. 在中，角所对的边分别为，已知，，，则
____________.
参考答案：
120°
16. 函数关于直线x=1对称，则m=
参考答案：
略
17. 已知函数(为常数,)，且是方程的解．当
时，函数值域为．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x
（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；
（2）记y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x0）=0且在x0两侧f″（x）异号，则点
（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=e x﹣ax2
﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数和函数的最值的关系，即可证明，
（2）根据定义求出二次导数，再根据导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵a=0，f（x）=e x﹣2x，
∴f′（x）=e x﹣2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
当f′（x）＞0，解得x＞ln2，函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函数单调递减，
当x=ln2时，函数有最小值，
f（x）＞f（ln2）=e ln2﹣2ln2=lne2﹣ln4=ln＞0，
∴f（x）＞0恒成立；
（2）∵f（x）=e x﹣ax2﹣2x，
∴f′（x）=e x﹣ax﹣2，
∴f″（x）=e x﹣a，
令f″（x0）=e x0﹣a，解得x0=lna，a＞0，
∵拐点处切线的倾斜角a为，
∴k=tan=﹣，
∴lna=﹣，
解得a=＞0，
∴存在正实数a═，使得函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为．
【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的几何意义，属于中档题
19. (本题满分15分) 四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动
点，且满足＝＝λ∈(0，1)．
(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．
参考答案：
方法一：
(Ⅰ) 证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，
不妨设PA＝2，则，，，，，．
由，得
，，
，
设平面的法向量=(x，y，z)，则
，，
得
可取=(，1，2)，于是
，故，又因为FG平面PDC，即//平面．…………6分
(Ⅱ) 解：，，
设平面的法向量，则，，
可取，又为平面的法向量．由，因为tan＝，cos＝，
所以，解得或(舍去)，
故．…………15分
方法二：
(Ⅰ) 证明：延长交于，连，．
得平行四边形，则// ，
所以．
又，则，
所以//．
因为平面，平面，
所以//平面．…………6分
20. （本小题满分12 分）已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值．
(2)求·的值．
参考答案：
解析：(1)∵|OP|＝1，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得sin α＝－.(4分)
(2)原式＝·＝＝，（8分）
由余弦函数的定义得cos α＝.
故所求式子的值为.（12分）
略
21. 已知是递增等比数列，,则此数列的公比q=-______
参考答案：
2
本题考查等比数列的通项公式，以及对递增等比数列的概念的理解，难度较小.
因为是递增等比数列，且，所以公比，又，即，解得（舍去）.
22. 设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若不等式f（x）≤﹣3a（x+）的解集非空，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）化简函数的解析式，画出函数f（x）的图象，如图求得点M（，2），而点C（3，2），数形结合求得f（x）＞2的解集．
（2）由题意可得，函数f（x）的图象有一部分在直线y=﹣3a（x+）上，或在直线y=﹣
3a（x+）的下方．根据直线y=﹣3a（x+）经过定点N（﹣，0），求得NB、NC、AB 的斜率，令﹣3a大于或等于NB的斜率、或﹣3a小于AB的斜率，求得a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|=，
画出函数f（x）的图象，如图
当x＜1时，令f（x）==2，求得x=，可得点M（，2），
又点A（0，）、点C（3，2），
∴f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞3}．
（2）由题意可得，不等式f（x）≤﹣3a（x+）有解，
即函数f（x）的图象有一部分在直线y=﹣3a（x+）上、或在直线y=﹣3a（x+）的下方．
而直线y=﹣3a（x+）经过定点N（﹣，0），NB的斜率为=，NC的斜率为
=，＞．
又AB的斜率为=﹣，
故当y=﹣3a（x+）的斜率﹣3a满足﹣3a≥、或﹣3a＜﹣时，不等式f（x）≤﹣3a （x+）有解，
由此求得a≤﹣或a＞．。