高考数学一轮总复习函数的极限存在性与无穷小量

高考数学一轮总复习函数的极限存在性与无
穷小量
高考数学一轮总复习：函数的极限存在性与无穷小量
在高考数学中，函数的极限是一个重要的概念。

掌握函数的极限存
在性与无穷小量的性质和应用，对于解题和理解数学概念都具有关键
作用。

本文将就函数的极限存在性与无穷小量展开论述，帮助大家更
好地理解与掌握这一部分内容。

一、函数的极限存在性
1. 定义
函数f(x)在x趋近于某个实数a时的极限存在，意味着当x无限靠
近a时，f(x)的取值相对于一个特定的数L趋近于稳定。

数学上表达为：lim(x→a) f(x) = L
其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a，f(x)表示函数f在x点处
的取值，L为极限值。

2. 判断极限存在性的方法
（1）函数的极限存在的一个重要方法是利用函数图像观察图像在a
点附近的趋势。

如果图像趋于稳定，那么极限存在。

（2）使用数列的方法，构造一个以a为极限的数列，然后利用数
列极限的性质对函数进行推导。

（3）利用基本的极限定理，如迫敛准则、极限的四则运算，对函数极限进行求解。

二、无穷小量
1. 定义
无穷小量是一个非常小的数，它在数学上被表示为小于任意正数ε的数。

一般用Δx表示。

2. 无穷小量的性质
（1）无穷小量可以相加、相减。

（2）无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量。

（3）无穷小量与有限非零数的乘积是无穷小量。

（4）无穷小量的高阶无穷小量更小。

三、极限存在性与无穷小量的关系
1. 极限存在性的定义
函数f(x)在x趋近于某个实数a时的极限存在，意味着当x无限靠近a时，f(x)的取值相对于一个数L趋近于稳定。

2. 极限存在性与无穷小量的关系
（1）若函数f(x)在x趋近于a时的极限存在，那么函数f(x)−L是以a为自变量的无穷小量。

（2）若以a为自变量的无穷小量Δx对应函数f(x)的极限存在，那
么极限值L就是函数f(x)在x趋近于a时的极限。

四、利用极限存在性与无穷小量解题
1. 求函数极限
根据极限存在性的定义，我们可以通过找到一个以a为自变量的无
穷小量，从而得到函数f(x)在x趋近于a时的极限。

2.证明极限存在
根据极限存在性的定义，我们需要通过推导找到一个以a为自变量
的无穷小量Δx，从而证明函数f(x)在x趋近于a时的极限存在。

3. 用极限存在性解决问题
在数学问题中，我们可以通过运用极限存在性与无穷小量的性质来
解决各种数学问题，比如函数图像的连续性、导数的定义和计算等。

综上所述，函数的极限存在性与无穷小量是高考数学中的重要内容。

掌握它们的定义、性质和应用，不仅有助于解题和得分，还可以加深
对函数极限概念的理解。

希望本文能够对大家在高考数学的备考中有
所帮助。