2020-2021学年四川省成都外国语学校高二下学期第三次(6月)月考数学(理)试题解析版

四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期第三次（6月）月考数学（理）试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1.设集合A ={x|x 2−x −6≥0}，集合B ={0，1，2，3，4}，则A ∩B =（）
A. {4}
B. {3，4}
C. {2，3，4}
D. {0,1，2，3，4} 2.已知复数z 1=−1+i ，z 2=2，在复平面内z 1和z 2所对应的两点之间的距离是（） A. √2 B. 2 C. √10 D. 4 3.用反证法证明命题“已知a,b 为实数，若a,b ≤4，则a,b 不都大于2”时，应假设（） A. a,b 都不大于2 B. a,b 都不小于2 C. a,b 都大于2 D. a,b 不都小于2
4.南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）
A. 164石
B. 178石
C. 189石
D. 196石 5.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7=8，若a 2a m =4，则m 的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6.在同一坐标系中，将曲线y =2sin3x 变为曲线y ′=sinx ′的伸缩变换是（） A. {x =3x ′y =1
2
y ′ B. {x ′=3x y ′=12
y C. {x =3x ′y =2y ′ D. {x ′=3x y ′=2y
7.若曲线y =sin(3x +φ)(φ<2π)关于直线x =π
12对称，则φ的最大值为（） A. π
4 B. 5π
4
C. 2π
3 D. 5π
3
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（） A. 17√176
π B. 68√173
π C. 17π D. 68π
9.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为7
5，则判断框中应填入（）
A. i ≤5？
B. i ≤6？
C. i ≤7？
D. i ≤8？ 10.设双曲线G:
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，圆F:(x −c)2+y 2=4与双曲线G 的两条渐近
线相切于A ，B 两点，|OA|=1，其中O 为坐标原点，延长FA 交双曲线G 的另一条渐近线于点C ，过点C 作圆F 的另一条切线，设切点为D ，则|BD |=（）
A. 165
B. 8
5 C. 3 D. 2√3
11.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且f(x)在(−1,0)上递减.若a =f(5−1
2)，b =f(−ln2)，c =f(log 318)，则a ，b ，c 的大小关系为（）
A. a <c <b
B. c <b <a
C. a <b <c
D. b <a <c
12.已知函数f(x)=e x ，g(x)=−m
2x +m ，若方程f(x)=g(x)有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围为（）
A. (0,e)
B. (0,2e)
C. (e,+∞)
D. (2e,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.若变量x ，y 满足{x +y −2≥0
x −y +2≤0y ≤4，则目标函数z =x −2y 的最小值为________．
14.已知函数f(x)=3
2x 2−2e x ，则lim
Δx→0
2f(Δx)−2f(0)
Δx
= ________.
15.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ̂=b x +a ̂中的b ̂为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元. 16.已知A(3,0)，若点P 是抛物线y 2
=8x 上的任意一点，点Q 是圆(x −2)2
+y 2
=1上任意一点，则|PA|2
|PQ|最小值是________
三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每题12分，共70分．）
17.已知函数f(x)=x 3−3x 2−9x +1(x ∈R)． （1）求函数f(x)的单调区间．
（2）若f(x)−2a +1≥0对∀x ∈[−2,4]恒成立，求实数a 的取值范围.
18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“ 3+3 ”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．
（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；
（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；
（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．
19.如图，在圆锥PO 中，AC 为⊙O 的直径，点B 在AC ⌢上，OD //
BC ，∠CAB =π6
． （1）证明：平面PAB ⊥平面POD ；
（2）若直线PA 与底面所成角的大小为π4
，E 是PD 上一点，且OE ⊥PD ，求二面角E −AC −B 的余弦值．
20.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到右焦点F 距离的最大值为3，最小值为1 （1）求椭圆C 的标准方程：
（2）设MN和PQ是通过椭圆C的右焦点F的两条弦，且PQ⊥MN.问是否存在常数λ，使得|PQ|+|MN|=λ|PQ|⋅|MN|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数f(x)=a e x
x2
（a∈R，且a≠0）
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数g(x)=lnx+2
x
−f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:{x=−1
2
t
y=3+√3
2t
（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π
3
)．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为(0,3)，直线l与曲线C的交点为A,B，求|AB|的值．
答案解析部分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合A={x|x2−x−6≥0}，集合B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）
A. {4}
B. {3，4}
C. {2，3，4}
D. {0,1，2，3，4}
【答案】B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】因为A={x|x≤−2或x≥3},所以A∩B={3,4},故选B。

【分析】先化简A，再求交集。

2.已知复数z1=−1+i，z2=2，在复平面内z1和z2所对应的两点之间的距离是（）
A. √2
B. 2
C. √10
D. 4
【答案】C
【考点】向量的几何表示，向量的模
【解析】【解答】在复平面内，Z1对应的点为（－1，1），Z2对应的点为（2，0）所|Z1Z2|=√9+1=√10，故答案为：C。

【分析】先写出Z1,Z2在复平面对应的点，再利用两点间的距离公式求解。

3.用反证法证明命题“已知a,b为实数，若a,b≤4，则a,b不都大于2”时，应假设（）
A. a,b都不大于2
B. a,b都不小于2
C. a,b都大于2
D. a,b不都小于2
【答案】C
【考点】命题的否定
【解析】【解答】即原题设的否定：设a,b都大于2.故答案为：C【分析】即原题设的否定。

4.南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）
A. 164石
B. 178石
C. 189石
D. 196石
【答案】C
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由已知条件可知，抽得样本中含谷7粒，占样本的比例为27
216＝1
8
，由此估计总体中谷的
含量为1512×1
8
＝189石。

故答案为：C。

【分析】先求样本中谷的比例，再求结果。

5.公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6+a4a7=8，若a2a m=4，则m的值为（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【答案】B
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】由等比数列的性质有a5a6＝a4a7=4，又a2a m=4，则2+m＝5＝5+6＝11，所以m=9.故答案为：B【分析】利用等比数列的性质求解。

6.在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是（）
A. {x=3x′
y=1
2y′
B. {
x′=3x
y′=1
2
y
C. {
x=3x′
y=2y′
D. {
x′=3x
y′=2y
【答案】B
【考点】伸缩变换
【解析】【解答】将曲线y=2sinx变为曲线y=sinx，即y'=sinx'，横坐标变为原来的3倍，纵坐标为原的1
2
，
故曲线y=sinx的伸缩变换是{x′=3x
y′=1
2y
.故答案为：B【分析】根据图象平移公式判断。

7.若曲线y=sin(3x+φ)(φ<2π)关于直线x=π
12
对称，则φ的最大值为（）
A. π
4 B. 5π
4
C. 2π
3
D. 5π
3
【答案】B
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为关于直线x=π
12对称，所以３×π
12
+φ=kπ+π
2
,(k∈Z)，所以φ=kπ+π
2
−３×π
12
＝kπ+π
4,(k∈Z),又因为φ<π，所以φ的最大值是5π
4
.故答案为：B【分析】先根据正弦函数的性质，写
出该函数的对称轴的通式，再由φ的范围确定最大值。

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A. 17√17
6π B. 68√17
3
π C. 17π D. 68π
【答案】C
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由题意可知，该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，其底面是一个腰为２，底面上的高为√２的等腰直角三角形，故其外接圆半径为r=√2,棱柱的高为３，故球心到底面外接圆的圆心的距
离为d=3
2,故棱柱外接球半径为R2=r2+d2=17
4
,所发外接球的表面积为S=4πR2=17πS.故答案为：C.【分析】
该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可求得体积。

9.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为7
5，则判断框中应填入（）
A. i ≤5？
B. i ≤6？
C. i ≤7？
D. i ≤8？ 【答案】 C
【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】由题意可知，输出的S 的值为数列{3
４n 2−1}的前ｎ项的和，因为3
４n 2−1＝3
(2n+1)·(2n−1）=
32(
1
2n−1
−
1
2n+1
),则S ＝３２(1−13+13−15+−−−+1２n−1−1
２n+1
)=32(1−12n+1) =3n 2n+1,令3n
2n+1＝７
５
，解得n ＝
７，所以应填入,故答案为：C.【分析】本题为求数列前n 项和的算法程序，实际计
算和即可得到ｎ的值。

10.设双曲线G:
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，圆F:(x −c)2+y 2=4与双曲线G 的两条渐近
线相切于A ，B 两点，|OA|=1，其中O 为坐标原点，延长FA 交双曲线G 的另一条渐近线于点C ，过点C 作圆F 的另一条切线，设切点为D ，则|BD |=（）
A. 16
5 B. 8
5 C. 3 D. 2√3 【答案】 A
【考点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为圆F 与双曲线G 的两条渐近线相切(如图），
所以ｂ=|AF|=2,ａ=|OA|=1,c =|OF|=√5,在Ｒｔ△OAF 中，
cos ∠OFA =
2√5
5
,sin ∠OFA =
√5
5,sin2∠OFA =4
5,所以１２|BD|=|BF|sin2∠OFA =85,所以|BD|=165
.故答案
为：D.【分析】作出图形，由渐近线斜率k =b
a ＝tan ∠FOA ＝|AF|
|AO|=2
1⇒b =2，然后利用三角形边角关系即可得到结果。

11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且f(x)在(−1,0)上递减.若a=f(5−12)，b=f(−ln2)，c=f(log318)，则a，b，c的大小关系为（）
A. a<c<b
B. c<b<a
C. a<b<c
D. b<a<c
【答案】A
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为定义在R上的偶函数，所以f(−x)=f(x)，
因为f(2−x)=f(x)，所以f(2−x−2)=f(x+2)，即f(−x)=f(2+x)=f(x)，
所以f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)在(−1,0)上递减，所以在(0,1)递增，
a=f(5−12)=f(
√5
)，b=f(−ln2)=f(ln2)，c=f(log318)=f(2+log32)=f(log32)，
因为
√5<1
2
=log3√3<log32<ln2<1，f(x)在(0,1)上递增，所以f(5−12)<f(log
3
2)<f(ln2)，f(5−12)<
f(log318)<f(−ln2)，
即a<c<b，
故答案为：A.
【分析】由f(x)在R上是偶函数且在(−1,0)上递减，可得在(0,1)递增，然后比较a,b ,c的自变量，进而判断得出结果。

12.已知函数f(x)=e x，g(x)=−m
2x
+m，若方程f(x)=g(x)有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（）
A. (0,e)
B. (0,2e)
C. (e,+∞)
D. (2e,+∞)
【答案】 D
【考点】对数函数图象与性质的综合应用，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为ｆ(ｘ)＝ｅｘ，g(x)=−m
2x
+m,且ｆ(ｘ)=ｇ(ｘ)有两个不相等的正实根，所以ｅｘ=
−m
2x +m有两个不相等的正实根，即方程xe x=m(x−1
2
)有两个不相等的正实根，
设h(x)=xe x，所以ℎ(x)=xe x的图象与直线y=m(x−1
2
)在(0,+∞)上有两个不相同的交点，因为x>0时，h'(x)=e x（x+1）>0，所以ｈ（ｘ）＝ｘｅｘ在(0,+∞)上单调递增，作出h(x)=xe x在(0,+∞)上的大致图象，
如下
当ｘ＞0时，若直线y =m(x −1
2)与h(x)=xe x 的图象相
切，设切点为(t ，te t )(t>0)，则切线方程为y-te t =e t (1+t)(x-t)，易知切点为(12,0),所以-te t =e t (1+t)(1
2-t), 解得ｔ＝１或－１２
（舍去），所以该切线的斜率为h'( 1)=2e ，若h(x)=xe x 的图象与直线y =m(x −1
2)在(0,+
∞)上有两个不相同的交点，则由数形结合可以得到m>2e,故答案为：D
【分析】作出函数图象，将方程解的问题，转化成求图象交点问题来求解。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.若变量x ，y 满足{x +y −2≥0
x −y +2≤0y ≤4，则目标函数z =x −2y 的最小值为________．
【答案】 -10 【考点】简单线性规划
【解析】【解答】由约束条件画出可行域（如图）
联立{
y =4x +y −2=0,
)解得{x =−2
y =4,)
即A（－２，４）,由z=x-2y，得y=x
2−z
2
,由图可知，当直线y=x
2
−z
2
过点A时，直线y=x
2
−z
2
的截距最
大，此时z有最小值-10，故答案为：-10.【分析】画出可行域，再由目标函数，由数形结合的方法即可求得结果。

14.已知函数f(x)=3
2x2−2e x，则lim
Δx→0
2f(Δx)−2f(0)
Δx
=________.
【答案】-4
【考点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】因为ｆ／（ｘ）＝－４，而则lim
Δx→02f(Δx)−2f(0)
Δx
=２lim
Δx→0
f(Δx)−f(0)
Δx
＝２
/
f(0)=−4【分析】
由导数的定义，将原式化为：lim
Δx→02f(Δx)−2f(0)
Δx
=２lim
Δx→0
f(Δx)−f(0)
Δx
15.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ŷ=b x+â中的b̂为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元. 【答案】65.5
【考点】线性回归方程
【解析】【解答】因为x＝4+2+3+5
4=3.5,y＝49+26+39+54
4
=42,根据样本中心点在回归直线上，而回归直线
方程中的b⏞=9.4，所以42=9.4×3.5+a，则a=9.1，则回归方程为：y=9.4x+9.1，则广告费为６元时，销售额为9.4×6+9.1= 65.5 .【分析】先求的平均值，由回归中心点在回归直线上，代入求得ａ得到回归方程，然后再求结果。

16.已知A(3,0)，若点P是抛物线y2=8x上的任意一点，点Q是圆(x−2)2+y2=1上任意一点，则|PA|2
|PQ|
最小值是________
【答案】4√3−4
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得抛物线y2=8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x=−2．
又点P是抛物线上一点，点Q是圆(x−2)2+y2=1上任意一点，
∴|PQ|
max
=|PF|+1，
∴|PA|2
|PQ|≥|PA|2
|PF|+1
．
令t=|PF|+1，点P的坐标为(x P,y P)，
则x P=|PF|−2=t−3，
∴|PA|2=(x P−3)2+y P2=(x P−3)2+8x P=(t−3−3)2+8(t−3)=t2−4t+12，
∴|PA|2
|PF|+1=t2−4t+12
t
=t+12
t
−4≥2√t⋅12
t
−4=4√3−4，当且仅当t=12
t
，即t=2√3时等号成立．
∴|PA|2
|PQ|
的最小值为4√3−4．故答案为4√3−4．
【分析】首先根据题意得抛物线y2=8x的焦点以及准线方程，根据已知条件得出|PA|2
|PQ|≥|PA|2
|PF|+1
，令t=
|PF|+1，点P的坐标为(x P,y P)，根据圆的几何性质得出结果。

三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每题12分，共70分．）
17.已知函数f(x)=x3−3x2−9x+1(x∈R)．
（1）求函数f(x)的单调区间．
（2）若f(x)−2a+1≥0对∀x∈[−2,4]恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：令f′(x)=3x2−6x−9>0，解得x<−1或x>3，
令f′(x)=3x2−6x−9<0，解得：−1<x<3
故函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1),(3,+∞)，单调减区间为(−1,3)
（2）解：由（1）知f(x)在[−2,−1]上单调递增，在[−1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，
又f(−2)=−1，f(3)=−26，f(3)<f(−2)，
∴f(x)min=−26，∵f(x)−2a+1≥0对∀x∈[−2,4]恒成立，
∴f(x)min≥2a−1，即2a−1≤−26，∴a≤−25
2
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（１）求导，求导数大于０及小于０的区间，即能求单调区间；
（２）将原不等式分离参数，讨论函数在[−2,4]上的单调性，再求函数的最小值，即可求得结果。

18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“ 3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．
（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；
（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；
（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．
【答案】（1）解：90分（2）解：40名学生中，地理赋分为90分有40×15%=6人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有40×35%=14人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；
∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分，
∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．
（3）解：记地理、政治、物理、化学、生物依次为A、a、b、c、d，
∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)共10种，而其中包括地理的有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：P =4
10=2
5
【考点】频率分布直方图，茎叶图，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（１）根据赋分方案，可得求小明历史成绩的最后得分为９０分；（２）先计算出 40名学生中，地理赋分为90分人数（６人），且六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；再计算赋分为80分的人（１４人），然后可以计算得到结果。

（３）先写出所有样本空间点，再写出满足条件的所要样本空间点，由古典概率公式直接求得。

19.如图，在圆锥PO 中，AC 为⊙O 的直径，点B 在AC ⌢上，OD //
BC ，∠CAB =π6
． （1）证明：平面PAB ⊥平面POD ；
（2）若直线PA 与底面所成角的大小为π4
，E 是PD 上一点，且OE ⊥PD ，求二面角E −AC −B 的余弦值．
【答案】（1）在圆锥PO 中，PO ⊥平面ABC ，则PO ⊥AB ，
又AC 为⊙O 的直径且点B 在AC ⌢上，则AB ⊥BC ，因OD //BC ，则有AB ⊥OD 而PO ∩OD =O ， 所以AB ⊥平面POD ，又AB ⊂平面PAB ，从而有平面PAB ⊥平面POD
（2）令AC =4，因为直线PA 与底面所成角的大小为π4
，即∠PAO =π
4，则PO =AO =2，
Rt △ABC 中，∠CAB =π6
，则BC =2，AB =2√3，
在平面PDO 内，过点D 作Dz//PO ，则Dz ⊥平面ABC ，以射线DO ，DA ，Dz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
则D(0,0,0)，A(0,√3,0)，C(2,−√3,0)，P(1,0,2)，O(1,0,0)，
又E 是PD 上一点，即DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,2λ)，点E(λ,0,2λ)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,0,2λ)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)， 而OE ⊥PD ，即OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1)⋅1+2λ⋅2=5λ−1=0，λ=1
5，则E(1
5,0,2
5)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√3,0)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1
5,√3,−2
5
)， 设平面EAC 的法向量m ⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⋅AC =0
m ⋅EA =0，即{2x −2√3y =0−15
x +√3y −2
5
z =0
， 令y=1，则x =√3，z =2√3，即m ⃗⃗ =(√3,1,2√3)，又平面ABC 的法向量n ⃗ =(0,0,1)， ∴ cos〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m
⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |
=√3
√(√3)2+12+(2√3)2
=
√3
2，显然二面角E
−AC −B 的平面角是锐角，
所以二面角E −AC −B 的余弦值为√3
2
.
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理即可得证；（2）以射线DO ，DA ，Dz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，分别求出平面EAC 和平面ABC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求出二面角E −AC −B 的余弦值。

20.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到右焦点F 距离的最大值为3，最小值为1
（1）求椭圆C 的标准方程：
（2）设MN 和PQ 是通过椭圆C 的右焦点F 的两条弦，且PQ ⊥MN .问是否存在常数λ，使得|PQ|+|MN|=λ|PQ|⋅|MN|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：{a +c =3a −c =1，解得：a =2,c =1.所以b 2=a 2−c 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 2
3=1.（2）
解：当MN 和PQ 一个斜率不存在另一个为0时，不妨令MN 斜率不存在， 则|MN|=
2b 2a
=
2×32
=3,|PQ|=2a =4，λ=
|MN|+|PQ||MN|⋅|PQ|
=
1|MN|
+
1|PQ|
=13
+14
=
7
12
.
当MN 和PQ 斜率都存在时，
设直线MN 的方程为y =k(x −1),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，直线PQ 的方程为y =−1
k (x −1) . 联立方程{x 24+y 2
3=1
y =k(x −1)
得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0. Δ=(−8k 2)2−4(3+4k 2)(4k 2−12)=144k 2
+144>0，{x 1+x 2=8k 2
3+4k 2
x 1x 2=4k 2−12
3+4k 2， 则|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(8k 2
3+4k 2
)2−4×
4k 2−123+4k 2
=
12(k 2+1)4k 2+3
.
同理可得|PQ|=12×(−1k )2+1
4(−1
k
)2+3
=
12(k 2+1)3k 2+4.
则λ=
|MN|+|PQ||MN|⋅|PQ|
=1
|MN|+1
|PQ|=4k 2+3
12(1+k 2)+3k 2+4
12(1+k 2)=7
12.
综上可知存在常数λ=7
12，使得|PQ|+|MN|=λ|PQ|⋅|MN|恒成立 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（１）由题意及椭圆的性质，有{a +c =3
a −c =1，即可得到a,c 的值，进一步写出方程；（２）
首先讨论斜率不存在的情况，然后联立直线与椭圆的方程，韦达定理，求｜PQ ｜,｜MN ｜的表达式，从而将问题转化为函数求最值的问题，据此讨论计算即可确定常数入的存在性。

21.已知函数f(x)=
a e x x 2
（a ∈R ，且a ≠0）
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数g(x)=lnx +2
x −f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）解：f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f ′(x)=
ax(x−2)e x
x 4
，
当a <0时，f(x)在区间(−∞,0)和(2,+∞)上f ′(x)<0，f(x)递减，在区间(0,2)上f ′(x)>0，f(x)递增. 当a >0时，f(x)在区间(−∞,0)和(2,+∞)上f ′(x)>0，f(x)递增，在区间(0,2)上f ′(x)<0，f(x)递减 （2）解：g(x)=lnx +2
x −
ae x x 2
(x >0)，g ′(x)=1x −2
x 2−ax(x−2)e x
x 4
=
x 3−2x 2−ax(x−2)e x
x 4
=
x(x−2)(x−ae x )
x 4
.当x ∈(0,2)时，
x(x−2)x 4
<0 .
构造函数ℎ(x)=x −ae x (0<x <2,a ≠0)，依题意可知ℎ(x)在区间(0,2)上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反.
ℎ′
(x)=1−ae x ，
当a <0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在区间(0,2)上递增，至多有一个零点，不符合题意. 当a >0时，令ℎ′(x)=1−ae x =0，解得x =ln 1
a .
（i ）若ln 1
a ≤0即a ≥1，则ℎ(x)在区间(0,2)上递减，至多有一个零点，不符合题意. （ii ）若ln 1
a ≥2即0<a ≤1
e 2，则ℎ(x)在区间(0,2)上递增，至多有一个零点，不符合题意. （iii ）若0<ln 1
a <2，即1
e 2<a <1，则ℎ(x)在区间(0,ln 1
a )上递增，在区间(ln 1
a ,2)上递减. 当x =0时，0−a ×e 0=−a <0；当x =2时，2−a ×e 2=2−ae 2；
ℎ(ln 1a )=ln 1
a −a ×e
ln
1a
=ln 1a
−a ×1a
=ln 1
a
−1 .
要使ℎ(x)在区间(0,2)上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，则需
{1e 2<a <1
ln 1
a
−1>02−ae 2<0
，解得2
e 2<a <1
e . 综上所述，实数a 的取值范围是(2e 2,1
e ) 【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（１）先求函数的定义域，再求导数，对a 分：ａ＜０，ａ＞０两种情况进行分类讨论，由此求得ｆ（ｘ）的单调区间；（２）先求ｇ（ｘ）的导数，构造函数ｈ（ｘ）＝ｘ－ａｅｘ，依题意可知，ｈ（ｘ）在区间（０，２）上有两个零点，且零点两侧函数值异号，利用导数研究ｈ（ｘ）的零点，由此求得ａ的取值范围。

22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l:{x =−12
t
y =3+√3
2t （t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π
3)． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的直角坐标为(0,3)，直线l 与曲线C 的交点为A,B ，求|AB|的值．
【答案】（1）解：l:√3x +y −3=0；x 2+y 2−2√3x −2y =0（2）解：将{x =−1
2t
y =3+√3
2t 代入②式，得t 2+3√3t +3=0，
点M 的直角坐标为(0,3)．设这个方程的两个实数根分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=−3√3<0,t 1⋅t 2=3>0，∴ t 1<0,t 2<0，
由参数t 的几何意义即得|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√15 【考点】极坐标系，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（１）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程与普通方程之间进行转换；
（２）利用一元二次方程根与系数关系式求出结果。