精品解析2022年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合测评试题(含答案及详细解析)

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD BC的长为（）
A B C．D．
2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（）
A．10cm B．12cm C．14cm．D．16cm
3、下列条件：①222b c a =-；②C A B ∠=∠-∠；③111::::345
a b c =；④::3:4:5A B C ∠∠∠=，能判定ABC 是直角三角形的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
4、如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝2
3，则边AC 的长是（ ）
A B ．3 C ．4
3 D 6、已知直角三角形的斜边长为5cm ，周长为12cm ，则这个三角形的面积（ ）
A ．24cm
B ．25cm
C ．26cm
D ．212cm
7、如图，在长方形ABCD 中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC ＝4a ，则按图③方式摆放时，剩余部分CF 的长为（ ）
A ．23a
B ．32a
C ．53a
D ．35a
8、下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（ ）
A ．1，2，3
B ．4，5，6
C ．5，12，13
D ．13，14，15
9、如图，以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O 为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A ，则点A 表示的数为（ ）
A ．1
B
C
D ．2
10、下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A ．0.3，0.4，0.5
B ．5
2，6，132 C 2 D ．9，12，15
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，Rt△ABC 中，AB 92
，BC ＝3，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为 _____．
2、在平面直角坐标系中，长方形ABCD 按如图所示放置，O 是AD 的中点，且A 、B 、C 的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，点P 是BC 上的动点，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则点P 的坐标为_______．
3、已知在平面直角坐标系中A （﹣0）、B （2，0）、C （0，2）．点P 在x 轴上运动，当点P 与点A 、B 、C 三点中任意两点构成直角三角形时，点P 的坐标为________．
4、若Rt ⊿ABC 的三边为a ，b ，c ，斜边c = 2，则22a b +=________
5、如图，在四边形ABCD 中，
E 为AB 的中点，DE AB ⊥于点E ，8AB =，DE 2BC =，5CD =，则
四边形ABCD 的面积为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，13CD =，12AD =，90B ∠=︒．
（1）连接AC ，求AC 的长．
（2）求四边形ABCD 的面积．
2、已知Rt△ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2
；
（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证
明．
3、在△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）如图1，求证：DB=DE；
（2）如图2，作△DBE的高EF，连结AE．若∠DEA=∠FEA，求证：∠AEB=45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BG⊥AE于点G，BG交AC于点H，若CE=2，求AG的长．
4、生态兴则文明兴，生态衰则文明衰．“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续
改善生态环境．如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知∠A＝90°，AB＝AD＝米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？
5、如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，
1
2
AC BC
．
（1）求证：△ABC≌△DEB．
（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．
---------参考答案-----------
一、单选题
1、B
【分析】
根据∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判断出DB＝DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
【详解】
解：∵∠ADC ＝2∠B ，∠ADC ＝∠B +∠BAD ，
∴∠B ＝∠DAB ，
∴BD ＝AD
在Rt△ADC 中，∠C ＝90°，
∴DC
∴BC ＝BD +DC 故选：B ．
【点睛】
本题考查了等角对等边，勾股定理，求得BD AD =是解题的关键．
2、B
【分析】
根据平分线的性质得出DC DE =，由HL 定理证明Rt ACD Rt AED ≅，得出6cm AE AC ==，即可求出BE ，由勾股定理算出BC ,BED C BE BD DE BE BD DC BE BC =++=++=+，计算即可得出答案．
【详解】
90C ∠=︒，DE AB ⊥，AD 平分BAC ∠，
DC DE ∴=，
在Rt ACD △与Rt AED △中，
DC DE AD AD
=⎧⎨=⎩， ()Rt ACD Rt AED HL ≅，
6cm AE AC ∴==，
10cm AB =，
=1064(cm)BE ∴-=，
在Rt ACB 中，8(cm)BC =，
4812(cm)BED C BE BD DE BE BD DC BE BC ∴=++=++=+=+=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键．
3、C
【分析】
根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】
解：①222b c a =-即222+=a b c ，△ABC 是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A +∠B +∠C =180°，∠C =∠A −∠B ，
∴∠A +∠B +∠A −∠B =180°，即∠A =90°，
∴△ABC 是直角三角形，故②符合题意； ③∵111::::345a b c =，
设a =3k
，b =4
k ，c =5k ， 则2
22543k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴△ABC 不是直角三角形，故③不合题意；
④∵::3:4:5
A B C
∠∠∠=，
∴∠C=
5
345
++
×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，符合题意的有①②，共2个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4、B
【分析】
首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE 的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【详解】
解：如图：过A作AE⊥BC于E，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴当AE⊥BC，EB=EC=4，
∴AE3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD的长为正整数，
∴3⩽AD<5，
∴AD=3或AD=4，
当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，
故符合条件的点D有3点.
故选B.
【点睛】
本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.
5、A
【分析】
先根据BC＝2，sin A＝2
3
求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵sin A＝BC
AB =
2
3
，BC＝2，
∴AB＝3,
∴AC
=
故选：A．
【点睛】
本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．
6、C
【分析】
设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解:设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，
根据题意可得：
2225
1257 a b
a b
⎧+=
⎨
+=-=
⎩
①
②
将②两边平方－①，得
224ab =
∴12ab = ∴该直角三角形的面积为21
2
6ab cm = 故选:C
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
7、A
【分析】
由题意得出图①中，BE =a ，图②中，BE =43a ，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为53a ，进而得出答案．
【详解】
解：∵BC =4a ，
∴图①中，BE =a ，图②中，BE =43a ，
53a =，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF 的长为4a -2×53a =23
a ；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
8、C
【分析】
先计算两条小的边的平方和，再计算最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判断解题．
【详解】
解：A.222
≠，不是直角三角形，故A不符合题意；
1+23
B. 222
4+56
≠，不是直角三角形，故B不符合题意；
C. 222
5+12=13，是直角三角形，故C不符合题意；
D. 222
≠，不是直角三角形，故D不符合题意，
13+1415
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9、B
【分析】
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可．【详解】
解：由勾股定理得：
==
OA OB
∵O点表示的原点，
∴点A
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．10、D
【分析】
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【详解】
解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；
B、不是勾股数，因为5
2
，
13
2
不是正整数，故此选项不符合题意；
C
D、是勾股数，因为222
912=15
+，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．
二、填空题
1、2
【分析】
根据题意，设BN x
=，由折叠
9
2
DN AN x
==-，在Rt BDN利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的
长．
【详解】
∵D是CB中点，3
BC=，
∴
3
2 BD=，
设BN x
=，则
9
2
DN AN x
==-，
在Rt BDN中，222
BN BD DN
+=，
22239()()22
x x +=-， 解得：2x =，
∴2BN =．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．
2、 (－2，4)或(3，4)或(－3，4)
【分析】
先根据题意得到OD =OA =5，CD =4，然后分当1=5OD OP =时和当3=5OD DP =时进行讨论求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是长方形，A 、B 、C 的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，
∴OD =OA =5，CD =4，
如图所示，当1=5OD OP =时，过点1P 作1
PE x ⊥轴于E ， ∴1
=4PE CD =，
∴3OE =， ∴1P 的坐标为（-3，4），
同理可求出2P 的坐标为（3，4）；
如图所示，当3=5OD DP =时，设CD 于y 轴交于F ，则CF =5，OF =4，
33CP ==，
∴32P F =，
∴3P 的坐标为（-2，4），
综上所述，点P 的坐标为(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，
故答案为：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．
3、（0，0），，0），（﹣2，0） 【分析】
因为点P 、A 、B 在x 轴上，所以P 、A 、B 三点不能构成三角形．再分Rt △PAC 和Tt △PBC 两种情况进行分析即可．
【详解】
解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
22222
∴+++=+，
m m
22(
解得，m，
∴点P0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），0），（﹣2，0）．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
4、4
【分析】
根据勾股定理得出a2+b2=c2，把c=2代入求出即可．
【详解】
解：∵根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵c=2，
∴a2+b2=22=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中．两直角边的平方和等于斜边的平方．
5、
【分析】
连接BD，先求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形的面积
公式解答即可．
【详解】
解：连接BD ，
E 为AB 的中点，DE AB ⊥，
∴DE 是AB 的垂直平分线，90DEB ∠=︒，
∵8AB =，
4AE BE ∴==， 5DE =
BD ∴ 2BC =，5CD =，
222BD BC CD ∴+=，
DBC ∴∆是直角三角形(90)DBC ∠=︒，
∴四边形ABCD 的面积DAB DBC S S S ∆∆=+
1122
AB DE BD BC =⨯⨯+⨯⨯ 11
8222
=⨯
=， 故答案为：
．
【点睛】
此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△BCD 是直角三角形解答．
三、解答题
1、（1）5AC =；（2）四边形ABCD 的面积为36．
【分析】
连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据勾股定理的逆定理求出△CAD 是直角三角形，分别求出△ABC 和△CAD 的面积，即可得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC ，
在ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，
5AC ∴=，
（2）1143622ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=，
在ACD ∆中，12AD =∵，5AC =，13CD =，
222AD AC CD ∴+=，
ACD ∴∆是直角三角形，
115123022ACD S AC AD ∆∴=
⋅=⨯⨯=． ∴四边形ABCD 的面积63036ABC ACD S S ∆∆=+=+=．
答：AC 的长为5， 四边形ABCD 的面积为36
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC 和△CAD 的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2、（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2
，证明见解析
【分析】
（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD =BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；
（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD =BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2
证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，
∴222DF EF DE +=
∴222DE DF =
连接CF ，BE ，如图
∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点
∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒
∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒
又90DFB EFB ∠+∠=︒
∴CFD EFB ∠=∠
在CFD ∆和BFE ∆中
CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CFD ∆≅BFE ∆
∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒
∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒
∴222DB BE DE +=
∵CD BE =，222DE DF =
∴CD 2+DB 2=2DF 2
；
（2）CD 2+DB 2=2DF 2
证明：连接CF 、BE
∵CF =BF ，DF =EF
又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB =90°
∴∠DFC =∠EFB
∴△DFC ≌△EFB
∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°
∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90°
在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2
∵ DE2=2DF2
∴ CD2+DB2=2DF2
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3、（1）见详解；（2）见详解；（3
【分析】
（1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的内角和解答即可；
（3）过点C作CR⊥AE于R，过点R作RT⊥CE于T，先证明△ABG≌△CAR，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠E，
∴∠B=∠E，
∴DB=DE；
（2）令∠DEA=α，则∠FEA=α，∠FED=2α，
∵EF是△DBE的高，
∴EF⊥DB，
∴∠DFE=90°，
∴∠D=90°-∠DEF=90°-2α，
∵∠B+∠DEB+∠D=180°，
∴2∠DEB+90°-2α=180°，
∴∠DEB=45°+α，
∴∠AEB=∠DEB-∠DEA=45°+α-α=45°，
（3）如图3，过点C作CR⊥AE于R，过点R作RT⊥CE于T，
则∠CRE=∠CTR=∠ETR=90°，
∵∠AEB=45°，
∴∠RCE=∠ERT=45°=∠CRT，
CE＝2，
∴RC=2
2
∵DE∥AC，
∴∠CAR=∠DEA，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE=90°，
∴∠GBE=90°-∠AEB=45°，即∠GBE=∠AEB，
∴∠ABG=∠ABC-∠GBE=∠DEB-∠AEB=∠DEA=∠CAR，
又∵AB=AC，∠AGB=∠CRA=90°，
∴△ABG≌△CAR（AAS），
∴AG= RC．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中等题型．
4、改造该区域需要花费6600元．
【分析】
连接BD，利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明90
∠=︒，从而解决问题．
BDC
【详解】
解：如图，连接BD，
在Rt ABD △中，由勾股定理得，
6BD （米)，
222268100BD CD +=+=，2100CB =，
222BD CD CB ∴+=，
90BDC ∴∠=︒，
ΔΔ11689243322
ABD BDC ABCD S S S ∴=+=⨯⨯⨯=+=四边形（平方米）， 200336600∴⨯=（元)，
∴改造该区域需要花费6600元．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
5、（1）见解析；（2）【分析】
（1）根据平行可得∠DBE ＝90°，再由HL 定理证明直角三角形全等即可；
（2）构造Rt AHE ，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE 长．
【详解】
（1）∵AC∥BE，∴∠C＋∠DBE＝180°．
∴∠DBE＝180°－∠C＝180°－90°＝90°．∴△ABC和△DEB都是直角三角形．
∵点D为BC的中点，
1
2
AC BC
=，∴AC＝DB．
∵AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEB（HL）．
（2）AE=
过程如下：连接AE、过A点作AH⊥BE，
∵∠C＝90°，∠DBE＝90°．
∴AC BH
∥，AH BC
∥，
∴AH=BC=4，
1
2
2
BH AC BC
===，
∴2
EH EB EH
=-=，
在Rt AHE中，AE=
【点睛】
本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH=BC，从而利用勾股定理求AE．。