人教版高三数学一轮复习精品课件2：3.3 定积分与微积分基本定理

4－x2dx 是如
0
图所示的阴影部分的面积，故2 0
4－x2dx＝S 扇形＝41
×22×π＝π.
4. 根据定积分的几何意义，用定积分表示曲边形 ADCB
的面积 S＝
b
a [ f1(x) f2 (x)]dx .
解析：v：根据定积分的几何意义，可用定积分表示曲边 形 ADCB 的面积．由题意，S＝b[f1(x)－f2(x)]dx.
C．当 0＜a＜b 时是正的，当 a＜b＜0 时是负的
D．以上结论都不对
解析：由bf(x)dx 的几何意义及 f(x)＞0，可知bf(x)dx 表

a
示 x＝a，x＝b，y＝0 与 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．所以
bf(x)dx＞0.
a
3.
利用定积分的几何意义，定积分2
4－x2dx＝
.
0
解析：由定积分的几何意义知：2
0
因为 a3＝9，所以aS33＝＝aa11q＋2＝a29＋9＝27 ，
即a1q2＝9 a1＋a1q＝18
，所以1＋q2q＝198＝12，即 2q2－q－1＝0，
解得 q＝1 或 q＝－21.
二 定积分在几何中的应用
【例 2】计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x以及 x 轴所围 成图形的面积 S.
a
5. 一个质点以速度 v(t)＝t2－t＋6(m/s)运动，则在时间
间隔(1,4)s 上的位移是 31.5 m .
解析：因为质点在运动过程中的速度公式 v(t)＝t2－t＋ 6(m/s)，根据变速运动位移公式得，S＝14(t2－t＋6)dt＝(13t3－ 21t2＋6t)41＝31.5(m)．
一 定积分的计算
【跟踪训练 3】如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交
形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是
()
A．1
B.43
C. 3
D．2
解析： 因为函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 的两个交点为 (0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积
S＝2(－x2＋2x＋1－1)dx
x2 +cosx
2
0
=1＋π82；
(2)3(
1
x＋ 1x)26xdx＝13(6x2＋12x＋6)dx
3
＝(2x3＋6x2＋6x) 1 ＝112；
(3)231－x2 xdx＝(－1x－lnx)
3 2
＝ln32＋16；
(4)
2 －
2
cos2 xdx=
2 －
2
1+cosxdx 2
＝21(21sin2x＋x)
第三章 导数及其应用
3.3 定积分与微积分基本定理
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
1
1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) 0 ＝e.
0
【跟踪训练 2】(2014·广东“十二校”二模)等比数列{an}
中，a3＝9，前三项和为 S3＝33x2dx，则公比 q 的值是( )
0
A．1
B．－12
C．1 或－12
D．－1 或－12
3
解析：S3＝33x2dx＝x3 0 ＝33＝27，即前三项和为 S3＝27，
0
4
定义解之即可．
【解答过程】作出直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x的草图， 所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组y＝x－4 ，
y＝ 2x 得直线 y＝x－4 与曲线 y＝ 2x交点的坐标为(8,4)． 直 线 y＝x－4 与 x 轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
(解法 1)S＝04(y＋4－12y2)dy＝(12y2＋4y－16y3)
【思路点拨】先根据题意画出所围图形，
求出直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x的交点坐标，求面积
时，解法 1：将 y 看成积分变量，S＝04(y＋4－12y2)dy，解
法 2：利用补的方法得 S＝8 0
2xdx－21×4×4，解法 3：利
用割的方法得 S＝8 2xdx－8(x－4)dx，最后利用定积分的
【例 1】计算下列定积分的值：
(1) 2 (x sin x)dx； 0
(3)231－x2 xdx；
(2)3(
1
x＋ 1x)26xdx；
(4)
2 －
cos2 xdx.
2
【思路点拨】先找到被积函数的原函数，然后运用微 积分基本定理计算定积分即可．
【解答过程】
(1)
2 0
(x
sin
x)dx
1 ＝2
0
＝ －13x3＋x220＝34.
【跟踪训练 4】(2014·广东深圳中学二模)如图中阴影部分
区域的面积 S＝
.
解析：由 sin x＝cos x(0≤x≤π2)得，x＝π4，由积分的几何
意义可知，阴影部分的面积
4 0
＝430.
(解法 2)S＝8 0
2xdx－12×4×4＝
2×23x32
8 0
－8＝430.
(解法 3)S＝8 2xdx－8(x－4)dx
0
4
＝
2×32x23
8 0
－(12x2－4x)
8 4
＝430.
【温馨提示】求由两条曲线围成的图形的面积的解题 步骤：(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出 交点的横坐标，定出积分的上、下限；(2)确定被积函数， 特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形 面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积 分，求出平面图形的面积．
2
－
2
＝π2.
【温馨提示】应用微积分基本定理求定积分bf(x)dx 时，
a
步骤如下：(1)求使 F′(x)＝f(x)成立的 F(x)；(2)计算 F(b)－ F(a)．
【跟踪训练 1】(2014·陕西)定积分1(2x＋ex)dx 的值为( ) 0
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
解析：求出原函数，利用定积分公式求解．
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
1.定积分3(－3)dx 等于( A ) 1
A．－6
B．6
C．－3
D．3
解析：3(－3)dx＝－3x|31＝－3×(3－1)＝－3×2＝－6. 1
2. 设连续函数 f(x)＞0，则当 a＜b 时，定积分bf(x)dx 的
a
符号( A )
A．一定是正的
B．一定是负的