湖南师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题(原卷版)
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2023-2024学年度九年级第四次阶段练习数学试题
时量:120分钟 总分:120分
一.选择题(本大题10个小题,每小题3分,共30分)
1. 下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中,点()2,6P −关于原点对称的点的坐标是()
A ()2,6 B. ()6,2− C. ()2,6−− D. ()2,6− 3. 一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为72°,则该正多边形的边数是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4. 下列判断正确的是( )
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上
B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件
D. “a 是实数,|a|≥0”是不可能事件 5. 若正比例函数2y x =−与反比例函数k y x =
的图象交于()1,2−,则另一个交点坐标为( ) A. (2, 1) B. (-1, 2) C. (-2, -1) D. (-2, 1) 6. 下列各组图形中,一定相似的是( )
A. 两个矩形
B. 两个菱形
C. 两个正方形
D. 两个等腰梯形 7. 二次函数23125y x x =−+−的最大值是( )
A. 7
B. 7−
C. 17
D. 17− 8. 如图,两个反比例函数y 1=4x
和y 2=2x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2,设点P 在C 1上,P A ⊥x 轴于点A ,交C 2于点B ,则△POB 的面积为( )
.
A. 4
B. 2
C. 1
D. 6
9. 如图,ABC 与DEF 是位似图形,位似中心为O ,:1:2OA AD =,下列结论正确有( ) ①ABC 与DEF 的相似比为13;②12
AC DF =;③13OBC OEF = 的周长的周长;④14ABC DFF S S =
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 如图,点A 、B 、C 在O 上,若45BAC ∠=°,2OB =,则图中阴影部分面积为( )
A. 4π−
B. 213π−
C. 2π−
D. 223
π− 二.填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11. 已知25
a b =,那么代数式a b a b +−的值是________. 12. 已知y 与x 成反比例,且当x =-3时,y =4,则当x =6时,y 的值为_______.
13. ABC 是直角三角形,90A ∠=°,6AB =,8AC =,则ABC 的外接圆半径为_________. 14. 如图,1,,52
AB
AD BE CF DE BC ==∥∥,则DF 的长为_________.
的
的
15. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,2)A ,(1,0)B ,以点B 为中心,把线段BA 顺时针旋转90°得到线段BC ,则点C 的坐标为_________.
16. 在平面直角坐标系xOy 中,若点P 的横坐标和纵坐标相等,则称点P 为完美点.已知二次函数
25(0)y ax x c a ++≠的图象上有且只有一个完美点(22),
,且当0x m ≤≤时,函数255(0)4=++−≠y ax x c a 的最小值为214
−,最大值为1,则m 的取值范围是_______. 三.解答题(共9小题,其中17、18、19每小题6分,20、21每小题8分,22、23每小题9分,24、25每小题10分,共72分)
17. 解方程:3x 2﹣4x ﹣1=0.
18. 如图所示,一次函数1y x m =−+与反比例函数2k y x
=相交于点A 和点()3,1B −.
(1)求m 的值和反比例函数解析式;
(2)当12y y >时,求x 的取值范围.
19. 如图是两个圆形转盘,第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域,第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域.
(1)旋转第一个转盘一次,指针落在“2”区域的概率是___________;
(2)同时旋转两个转盘,用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率.
20. 某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB 为24m ,拱顶高出水面8m (即8=CD m ),OC AB ⊥,
(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径;
(2)现有一艘宽10m ,船舱高出水面7.5m 的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座桥吗? 21. 如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=°,CD 是ABC 的中线,作AE CD ⊥于点E ,EF AB ∥交BD 于点F .
(1)求证:ACE BAC ∽△△;
(2
)若AC =1CE =,求BD 及EF 的长.
22. 某商店为了推销一种新产品,在某地先后举行40场产品发布会,已知该产品每台成本为10万元,设第
x 场产品的销售量为y (台),y 与x 之间满足的函数关系式50y x =
−;产品的每场销售单价p (万元)由基本价和浮动价两部分相加组成,其中基本价保持不变.经过统计,发现第1场
—第20场浮动价与发布场次x 成正比,第21场
—第40场浮动价与发布场次x 成反比,得到如下数据: x (场) 3 10 25
P (万元) 10.6 12 14.2
(1)求P 与x 之间满足函数关系式;
(2)当产品销售单价为13万元时,求销售场次是第几场?
(3)在这40场产品发布会中,求哪一场获得的利润最大,最大利润是多少?
23. 如图,已知AB 为半圆O 的直径,C 为半圆O 上一点,连接AC ,BC ,过点O 作OD AC ⊥于点D ,过点A 作半圆O 的切线交OD 的延长线于点E ,连接EC .
的
(1)求证:EC 为圆O 的切线;
(2)求证:22AB BC OE = ;
(3)连接BD 并延长交AE 于F ,若半圆O 的直径为10,
35BC AB =,求AF 的长. 24. 初识模型】
(1)如图①,在ABC 中,D 是BC 上一点,B ACE ∠=∠,
AB BD AC CE
=,连接DE . 求证:(Ⅰ)AB AD AC AE =; (Ⅱ)B ADE ∠=∠.
【再研模型】
(2)如图②,在ABC 中,D 是BC 上一点,B ADE ACE ∠=∠=∠.求证:
AB BD AC CE =. 【应用模型】
(3)如图③,直线AM 与BN 交于点O ,60AOB ∠=°,一辆快车和一辆慢车分别从A ,B 两处沿AM ,BN 方向同时匀速行驶,快车速度是慢车速度的2倍,在行驶过程中两车与某一定点P 所组成的三角形的形状始终不变.当两车距离为700m 时,求慢车到定点P 的距离.
25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数y=m x
(m 为常数,m >1,x >0)的图象经过点P (m ,1)和Q (1,m ),直线PQ 与x 轴,y 轴分别交于C ,D 两点,点M (x ,y )是该函数图象上的一个动点,过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线,垂足分别为A ,B .
(1)求∠OCD 的度数;
【
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.。