数中自有黄金屋
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註：「掃地雷」(Minesweeper)遊戲是─ NP-complete問題。
Clay Mathematics Institute:
多謝各位老師和同學來臨
數學系電腦室設於邵逸夫夫人樓232室 歡迎老師和同學參觀
有興趣參與研討會的老師和同學， 請到邵逸夫夫人樓222B室
數學問題一般由以下原因而提 出的。
檢驗或發展數學理論─數學自身發展所需 要的 (內部問題) 實在的應用─其他學科發展所需要的 (現象世界所提出的「外在問題」)
外在問題 經驗) (經驗) 解決辦法
數學理論
內部問題
理論提升
新外在問題
(部份或全部 部份或全部) 部份或全部
歷史：
Hilbert 23 問題 發表於一九○○年八月八日，國際數學 家大會(International Congress of Mathematicians) 的演講影響了整個二十 世紀數學的發展。
Poincaré 猜想
背景：幾何形狀的分類
理論： 代數拓撲學(Algebraic Topology) 幾何物體→群 (Group) （基本群）
問題： 幾何物體←群？
猜想 如一個三維「緊致流形」的基本群只有 一個元素，則此流形「拓撲」等價於三 維球面。
S =
3
{(w, x, y, z ) : w
2
X +Y =1
3 3
有無窮多有理數解 沒有有趣的有理數解
問題：找通用的判別的方法 (Hilbert 第十問題) 答案：否 (Matiyaserich) 答案：
猜想：在特殊情況下 （「阿貝耳簇」上的有理點）
ζ (1) = 0 ⇒ 無窮多解 ζ (1) ≠ 0 ⇒ 有限多解
ζ = 相對應的Zeta函數
『數』中自有黃金屋
七個總值七百萬美元的數學問題
伯努利(John Bernoulli)說：
經驗告訴我們，正是擺在面前的那 些困難而同時也是有用的問題，引 導著有才智的人們為豐富人類的知 識而奮鬥。
『有名』的數學問題:
難！ 能推動數學的發展。 例：費馬大定理 ─ 近代代數數論 三體問題 ─ 動力系統 最速降線問題 ─ 變分學
二○○○年五月廿四日
Clay Mathematics Institute 在巴黎宣佈 設立 7 個“Millennium Prize Problems”， 每個問題懸紅一百萬美元以徵求解答。
The Riemann Hypothesis ( 也是 Hilbert 23 問題之一) The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture The Poincaré Conjecture The Hodge Conjecture Yang-Mills Theory Navier-Stokes Equations The P versus NP problem
證據：
數值計算：前15億個非平凡零點的實部 1 都是 2。 機率分析：40%正確。 代數幾何。
Birch 及Swinnerton-Dyer猜想
背景：代數方程的整數解 2 2 2 x + y = z 有無窮多整數解 例： 3 3 3 x + y = z 沒有有趣的整數解 變化形式：
X +Y =1
2 2
NP問題： (Non-deterministic polynomial) (≠ Non-P) ≠ 檢驗「準答案」是否真的是解是 P問題。 但要找出「解」來，看起來就難很多。
P對NP問題: P=NP?
NP完備(NP-complete)問題：─ 問題是NP完備，如果它是 P， 就所有其他的NP問題都是 P。 所以要証明P=NP，只需找出一個是P的 NP-complete問題。
18題是提網結領的，無所謂完滿解決。 在其餘的15題，有12題已完滿解決。 (已解決：1, 2, 3, 5, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 21, 22) (未解決：8, 11, 15)
* 數學史譯文集，上海科學技術出版社，1981年，60-84頁。 或： David Hilbert, Mathematical problems, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 37, No.4 (2000), 407-436.
o
v = 粘性系數
P對NP問題(Computation)
背景－例：素數分解 驗証整數n是否素數，是一個「很難」的 問題 「很難」＝很多“Computer time”= 很慢 驗証：素數 p 是否n的因子是一個「容易」 的問題 「容易」＝很少“Computer time” = 快
P問題：很少“Computer time”的問 題 (Polynomial time)
+ x + y + z =1
2 2 2
}
Hodge 猜想
背景：
G = 幾何現象 數學理論 = T
（射影代數簇）
無幾何解釋的 (Hodge Cycles) 純數學部份
H =
猜想：（不能在此詳細解釋，此猜想是 有關代數幾何學的） H＝事實上也是有幾何解釋的。
Yang-Mills理論
基本粒子的物理學⇔幾何物體 “Mass Gap”假設 ─ 數學証明? 重粒子的Yang-Mills方程的解。
The Riemann Hypothesis (黎曼假設)
Riemann Zeta 點的實部均為 2 。 n =1 n 1
∞
的非平凡零
與素數分佈密切相關。
1 1 (1 − s ) p , Re( s ) > 0
其他相關發展 - 解析數論 - L- 函數理論 - Primality Test - 模函數理論↔群論
Navier-Stokes方程： （流體力學）
解：
2 n n ∂u i ∂ui ∂ ui ∂p +∑uj =ν ∑ + fi ( x, t ) − 2 ∂t ∂x j ∂xi ∂x j j =1 j =1 n ∂u i =0 ∑ ∂xi i =1
初始條件： u ( x,0) = u ( x) 其中： f i ( x , t ) = 重力 ， n = 2, 3， p = 壓力 ，
Clay Mathematics Institute:
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數學問題一般由以下原因而提 出的。
檢驗或發展數學理論─數學自身發展所需 要的 (內部問題) 實在的應用─其他學科發展所需要的 (現象世界所提出的「外在問題」)
外在問題 經驗) (經驗) 解決辦法
數學理論
內部問題
理論提升
新外在問題
(部份或全部 部份或全部) 部份或全部
歷史：
Hilbert 23 問題 發表於一九○○年八月八日，國際數學 家大會(International Congress of Mathematicians) 的演講影響了整個二十 世紀數學的發展。
Poincaré 猜想
背景：幾何形狀的分類
理論： 代數拓撲學(Algebraic Topology) 幾何物體→群 (Group) （基本群）
問題： 幾何物體←群？
猜想 如一個三維「緊致流形」的基本群只有 一個元素，則此流形「拓撲」等價於三 維球面。
S =
3
{(w, x, y, z ) : w
2
X +Y =1
3 3
有無窮多有理數解 沒有有趣的有理數解
問題：找通用的判別的方法 (Hilbert 第十問題) 答案：否 (Matiyaserich) 答案：
猜想：在特殊情況下 （「阿貝耳簇」上的有理點）
ζ (1) = 0 ⇒ 無窮多解 ζ (1) ≠ 0 ⇒ 有限多解
ζ = 相對應的Zeta函數
『數』中自有黃金屋
七個總值七百萬美元的數學問題
伯努利(John Bernoulli)說：
經驗告訴我們，正是擺在面前的那 些困難而同時也是有用的問題，引 導著有才智的人們為豐富人類的知 識而奮鬥。
『有名』的數學問題:
難！ 能推動數學的發展。 例：費馬大定理 ─ 近代代數數論 三體問題 ─ 動力系統 最速降線問題 ─ 變分學
二○○○年五月廿四日
Clay Mathematics Institute 在巴黎宣佈 設立 7 個“Millennium Prize Problems”， 每個問題懸紅一百萬美元以徵求解答。
The Riemann Hypothesis ( 也是 Hilbert 23 問題之一) The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture The Poincaré Conjecture The Hodge Conjecture Yang-Mills Theory Navier-Stokes Equations The P versus NP problem
證據：
數值計算：前15億個非平凡零點的實部 1 都是 2。 機率分析：40%正確。 代數幾何。
Birch 及Swinnerton-Dyer猜想
背景：代數方程的整數解 2 2 2 x + y = z 有無窮多整數解 例： 3 3 3 x + y = z 沒有有趣的整數解 變化形式：
X +Y =1
2 2
NP問題： (Non-deterministic polynomial) (≠ Non-P) ≠ 檢驗「準答案」是否真的是解是 P問題。 但要找出「解」來，看起來就難很多。
P對NP問題: P=NP?
NP完備(NP-complete)問題：─ 問題是NP完備，如果它是 P， 就所有其他的NP問題都是 P。 所以要証明P=NP，只需找出一個是P的 NP-complete問題。
18題是提網結領的，無所謂完滿解決。 在其餘的15題，有12題已完滿解決。 (已解決：1, 2, 3, 5, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 21, 22) (未解決：8, 11, 15)
* 數學史譯文集，上海科學技術出版社，1981年，60-84頁。 或： David Hilbert, Mathematical problems, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 37, No.4 (2000), 407-436.
o
v = 粘性系數
P對NP問題(Computation)
背景－例：素數分解 驗証整數n是否素數，是一個「很難」的 問題 「很難」＝很多“Computer time”= 很慢 驗証：素數 p 是否n的因子是一個「容易」 的問題 「容易」＝很少“Computer time” = 快
P問題：很少“Computer time”的問 題 (Polynomial time)
+ x + y + z =1
2 2 2
}
Hodge 猜想
背景：
G = 幾何現象 數學理論 = T
（射影代數簇）
無幾何解釋的 (Hodge Cycles) 純數學部份
H =
猜想：（不能在此詳細解釋，此猜想是 有關代數幾何學的） H＝事實上也是有幾何解釋的。
Yang-Mills理論
基本粒子的物理學⇔幾何物體 “Mass Gap”假設 ─ 數學証明? 重粒子的Yang-Mills方程的解。
The Riemann Hypothesis (黎曼假設)
Riemann Zeta 點的實部均為 2 。 n =1 n 1
∞
的非平凡零
與素數分佈密切相關。
1 1 (1 − s ) p , Re( s ) > 0
其他相關發展 - 解析數論 - L- 函數理論 - Primality Test - 模函數理論↔群論
Navier-Stokes方程： （流體力學）
解：
2 n n ∂u i ∂ui ∂ ui ∂p +∑uj =ν ∑ + fi ( x, t ) − 2 ∂t ∂x j ∂xi ∂x j j =1 j =1 n ∂u i =0 ∑ ∂xi i =1
初始條件： u ( x,0) = u ( x) 其中： f i ( x , t ) = 重力 ， n = 2, 3， p = 壓力 ，