专题08 旋转中的最值问题(原卷版)

专题08 旋转中的最值问题
考点一费马点问题求最值
【方法点拨】费马点证明都是依据旋转思想，构造三角形全等，然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。

这个思路一定要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。

【典例剖析】
1．（经典例题）已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求P A+PB+PC的最小值．
2．（朝阳区二模）阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，P A+PB+PC的最小值为；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等
于P A+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当P A+PB+PC值最小时PB的长．
3．（延庆县一模）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
（1）请你回答：AP的最大值是．
（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB＝4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．
4．（2019春•灞桥区校级期末）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC 的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BP A绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP 为正三角形，有PB＝P'P．
故PA+PB+PC=P′A+P′P+PC≥A′C=√3．因此，当A'、P'、P、C共线时，P A+PB+PC有最小值是√3．
学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，则的最小值是．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB=2√2，CA=3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求√2PA+PB+PC的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接P A、PD、PQ，求P A+PD+PQ 的最小值．
考点二其它旋转中的最值问题
【方法点拨】正确的作出辅助线构造全等三角形是解决此类题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线．
【典例剖析】
1．（无锡一模）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可以与B点或C重合），分别过B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，则BB'+CC'+DD'的最大值与最小值的和为．
2．（2019•金台区二模）如图，正方形ABCD的边长为2√3，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P 为AB中点，线段PE的最大值是．
3．（2018•无锡一模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC （A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB 的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB 外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝4√2，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．
4．如图1正方形ABCD，边CD在等腰三角形DEF的边DE上，AB＝3，DE＝5，连接AE、CF，点M、N 分别是AE、CF的中点，连DM、DN、MN．
（1）直接写出AE与CF的关系和△DMN的形状．
（2）如图2，将等腰直角三角形DEF绕点D顺时针旋转α°（0°≤α≤45°），连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DF、MN．此时（1）中的两个结论是否成立？若成立，给出证明；
若不成立，说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ECF的面积在旋转过程中变化吗？若没有变化，请直接写出面积；若有变化，
请直接写出它的最大值和最小值．。