2023年新高考天津数学高考真题及答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A.
{}
1,3,5 B.{}
1,3 C.
{}
1,2,4 D.
{}
1,2,4,52.“22a b =”是“222a b ab +=”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3.若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c a b >> B.c b a >>C.a b c
>> D.b a c
>>4.函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）
A.
()25e e 2x x
x --+ B.
25sin 1x
x +C.
(
)
25e e 2
x x
x -++ D.
25cos 1
x x +5.已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（）A.sin 2
x π⎛⎫
⎪⎝⎭ B.cos 2x π⎛⎫
⎪⎝⎭C.sin 4
x π⎛⎫
⎪⎝⎭
D.cos 4
x π⎛⎫
⎪⎝⎭
6.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（）A.3
B.18
C.54
D.152
7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（）
A.花瓣长度和花萼长度没有相关性
B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.82458.在三棱锥-P ABC 中，线段PC 上的点M 满足1
3PM PC =，线段PB 上的点N 满足23
PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.
19
B.
29
C.
13
D.
4
9
9.双曲线22
22(0,0)x y a b a b
->>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已
知22PF =，直线1PF 的斜率为
2
4
，则双曲线的方程为（）A.22
184x y -= B.221
48x y -=C.221
42
x y -= D.221
24
x y -=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10.已知i 是虚数单位，化简
514i
23i
++的结果为_________．
11.在6
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．
12.过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________．
13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
14.在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b ==
，
则AE 可用,a b
表示为_________；若13
BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．
15.若函数()2
2
21f x ax x x ax =---+有且仅有两个零点，则a 的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ．
（1）求sin B 的值；（2）求c 的值；（3）求()sin B C -．
17.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是
,BC BA 中点.
（1）求证：1A N //平面1C MA ；
（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；（3）求点C 到平面1C MA 的距离．
18.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．
19.已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．（1）求{}n a 的通项公式和
1
21
2n n i
i a --=∑．
（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，
（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121k
k k
b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．20.已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
．（1）求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率；（2）当0x >时，证明：()1f x >；
（3）证明：
()()51ln !ln 162n n n n ⎛
⎫<-++≤ ⎪⎝
⎭．
2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学答案
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.A
2.B
3.D
4.D
5.B
6.C
7.C
8.B
9.D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10.4i +11.6012.613.①.0.05
②.
3
5
14.①.1142
a b + ②.
1324
15.
()()()
,00,11,∞∞-+ 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.【解析】（1）
由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即392sin120sin B =
，解得：13
sin 13
B =；（2）
由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+-，即2
1394222c c ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
，解得：5c =或7c =-（舍去）．（3）
由正弦定理可得，
sin sin a c A C =，即5sin120sin C =
，解得：sin 26
C =，而120A =o ，
所以,B C 都为锐角，因此339cos 26C ==，239
cos 13
B ==
，故()1333923951373
sin sin cos cos sin 1326132626
B C B C B C -=-=⨯-⨯-
．17.【解析】
（1）
连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12
AC
MN =
=，由棱台性质，11A C //AC ，于是MN //11A C ，由111MN A C ==可知，四边形11MNA C 是平行四边形，则
1A N //1MC ，
又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA .（2）
过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E .
由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面
11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .
由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是
1AC ⊥平面MEF ，
由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又1
2
AB
ME =
=，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=，故11sin EF CAC =⨯∠=在Rt MEF
中，90MEF ∠= ，则
MF ==
于是2
cos 3
EF MFE MF ∠=
=
（3）
[方法一：几何法
]
过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .
由题干数据可得，11C A C C ==
，1C M =
，根据勾股定理，
132
2C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM
⊥平面1C PQ .
又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .
在1Rt C PQ 中，112222332
2
PC PQ PR QC ⋅
⋅=
=，又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43
.[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点C 到平面1C MA 的距离为h .
12
11112
2332
3
C AMC
AMC V C P S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=
，
1111133222
C C MA AMC h
V h S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯= .
由11223
C AMC C C MA h V V --=⇔=，即4
3h =.
18.【解析】（1）如图，
由题意得3
1
a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得2,1a c ==，所以
b ==，
所以椭圆的方程为22
1
43
x y +=，离心率为12c e a ==.（2）
由题意得，直线2A P 斜率存在，由椭圆的方程为22
143
x y +=可得()22,0A ，
设直线2A P 的方程为()2y k x =-，
联立方程组()22
143
2x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，消去y 整理得：()2222
341616120k x k x k +-+-=，由韦达定理得2
22161234A P k x x k -⋅=+，所以2286
34P k x k -=+，所以2228612,3434k k P k
k ⎛⎫
--- ⎪++⎝⎭，
()0,2Q k -.所以21142A QA Q S y =
⨯⨯ ,2112A PF P S y =⨯⨯ ,121
42
A A P P S y =⨯⨯ ，所以211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+ ，所以23Q P y y =，即21222334k
k k
-=-
+，解得6
2k =±
，所以直线2A P
的方程为()22
y x =±-.19.【解析】（1）由题意可得25153
251624a a a d a a d +=+=⎧⎨
-==⎩，解得13
2a d =⎧⎨=⎩，
则数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=+，
求和得
()()
1
1
1
21
2121
12222122
121n n n n n n n
n i
i i i a i i -------====+=+-++∑∑∑()()()1111222122212n n n n
n ----⎡⎤=++++++-+⎣⎦
()11
11222122342
n n n n n ----+-⋅=
+=⋅.
（2）
(Ⅰ)由题意可知，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，
取12k n -=，则11222121k k k k
b a --<=⨯+=+，即21k k b <+，
当21221k k n --≤≤-时，n k a b <，
取121k n -=-，此时()
1121221121k k k
n a a ---==-+=-，
据此可得2
1k
k b -<，
综上可得：2121k
k k
b -<<+.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：123413,35,79,1517b b b b <<<<<<<<，据此猜测2n
n b =，
否则，若数列的公比2q >，则111
11
22n n n n b bq b ---=>⨯>，注意到()1
12
2112n n n ----=-，则()12210n n --->不恒成立，即1221n n ->-不恒成立，
此时无法保证2
1n
n b -<，
若数列的公比2q <，则1
111
1232n n n n b bq b ---=<⨯<⨯，注意到()1
132
2121n n n --⨯-+=-，则1210n --<不恒成立，即13221n n -⨯<+不恒成立，
此时无法保证21n n
b <+，
综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2n
n b =，其前n 项和为：(
)1
2122
212
n
n n S +⨯-==--.
20.【解析】（1）
ln(1)ln(1)()2
x x f x x ++=
+，则211ln(1)()(1)2(1)x f x x x x x +'=+-++，
所以1ln 3(2)34f '=-，故2x =处的切线斜率为1ln 3
34
-；（2）
要证0x >时()()11ln 112f x x x ⎛⎫
=++>
⎪⎝⎭
，即证()2ln 12x x x +>+，
令()2()ln 12
x
g x x x =+-+且0x >，则222
14()01(2)(1)(2)x g x x x x x '=-=>++++，所以()g x 在(0,)+∞上递增，则()(0)0g x g >=，即()2ln 12
x
x x +>+.所以0x >时()1f x >.（3）
第11页共11页设()()1()ln !ln 2h n n n n n ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
，*N n ∈，则()()1
111(1)()1()ln ()ln 11()ln(1)222h n h n n n n n n n +-=++-++=-++，由（2）知：1x n =(0,1]∈，则111(()ln(1)12f n n n
=++>，所以(1)()0h n h n +-<，故()h n 在*N n ∈上递减，故()(1)1h n h ≤=；下证1
5ln(!)()ln()26n n n n -++>
，令(5)(1)()ln 42
x x x x x ϕ+-=-+且0x >，则22(1)(1)()(21)x x x x x ϕ--'=+，当01x <<时()0x ϕ'>，()ϕx 递增，当1x >时()0x ϕ'<，()ϕx 递减，
所以()(1)0x ϕϕ≤=，故在()0,x ∞∈+上(5)(1)ln 42x x x x +-≤
+恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1()1()2224(32)1212(3)n n h n h n n n n n n n n n
+-+=++-≤+⋅-=<-+-+，所以11(2)(3)(1)122h h -<-，111(3)(4)()1223h h -<-，…，111(1)()()121h n h n n n --<--，累加得：11(2)()(1)12h h n n -<-，而3(2)2ln 22h =-，则113()(1)2ln 2122h n n -<--+，所以311311(1)()ln 21(1)ln 212122126h h n n -<-+-<-+<，故5()6h n >；综上，5()16h n <≤，即()()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝
⎭.。