高等代数矩阵练习题参考答案

高等代数矩阵练习题参考答案
第四章矩阵习题参考答案
一、判断题
1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.
错.
2. 如果20,A =则0A =.
错.如2
11,0,011A A A ??==≠ ?--??但.
3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.
正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.
4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .
错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n .
5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =
错.如112132,,112132A B C
=== ? ? ?------
，有,AC AB =但B C ≠.
6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使
.00
=s
I PAQ
正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形.
7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.
正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11
(*)||
A A A -=
. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB =
正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又
()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.
因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =
二、选择题
1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.
(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB
(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵.
2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.
(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A -
3．以下结论不正确的是（ C ）.
(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵；
(B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵；
(C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；
(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.
4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）
(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零；
(C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；
5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）
(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-
(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-
6．下列命题正确的是（B ）.
(A) 若AB AC =，则B C =
(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =
(C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =
(D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =
7. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ B ）.
(A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠；
(B) 当m n >时，必有行列式0AB =
(C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠；
(D) 当n m >时，必有行列式0AB =.
AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.
8．以下结论正确的是（ C ）
(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；
(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；
(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；
(D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-
9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知
0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.
（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.
由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα?? ? ?=+= ? ???
. 因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由
可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.
10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵
(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A =
(B) A 主对角线上的元素全为零
11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）
(A)1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠
12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）
(A)若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA =
(B)若A 是可逆矩阵，则必有AB BA =
(C)若0A ≠，则从AB AC =可推出B C =
(D)若B C ≠，则必有AB AC ≠
13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ）
(A)ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E =
14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）
(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；
(B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵；（Ｄ）*.AA A =
15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（Ｄ）
(A)A (B) 2A (C) 3A (D) 4
A
16．设*A 是()ij n n A a ?=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ）
(A) 1
n jk ki k a A =∑ (B) 1
n kj ki k a A =∑ (C) 1
n jk ik k a A =∑ (D) 1
n
ki kj k a A =∑
应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.
17.设1111n n nn a a A a a =??L
L L
L L
, 1111n n nn A A B A A ??
=
L
L L L L
,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）
(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随(D)以上结论都不对
18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ??=??
,则*
C = ( Ｃ )
(A)
*
*
A
C
B
=??
(B)
*
*
A A
C
B B
=??
(C)
*
*
B A
C
A B
=??
(D)
*
*
A B A
C
A B B
=??
利用*||
CC C E
=验证.
19．已知
46135
,
12246
A B
==
-
，下列运算可行的是（ C ）(A)A B
+ (B)A B
- (C)AB (D)AB BA
-
20．设,A B是两个m n
矩阵，C是n阶矩阵，那么（ D ）
21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA =，那么B是一个（Ｃ）
(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A的逆矩阵
与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵. 22．设A是一个上三角阵，且0
A=，那么A的主对角线上的元素（Ｃ）
(A)全为零（B）只有一个为零
（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零23．设
13
20
A
=??
，则1
A-=（ D ）
(A)
1
2
11
36
--
（B）1
3
11 36
-
（C）1
3
11 26
-
（D）1
11
36
-
24．设111 222 333
a b c A a b c a b c
=??
，若111 22
2
333
2
2
2
a c b
AP a c b
a c b
=??
，则P=（ B ）(A)
100
001
020
（B）
100
002
010
（C）
001
020
100
（D）200
001
010
25．设(3) n n≥阶矩阵1
1
1
1
a a a
a a a
A a a a
a a a
=
L
L
L
L L L L L
L
，若矩阵A的秩为1，则a必为（A ）
(A)1 （B）-1 （C）
1
1n
-
（D）
1
1
n-
矩阵A的任意两行成比例.
26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:
①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;
②若,A B的行列式相等,即||||,
A B
=则,A B为等价矩阵;
③若0
Ax=与0
Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;
④若,A B为相似矩阵,则0
Ax=与0
Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )
(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.
当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。

相似矩阵的秩相等。

齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。

三、填空题
1．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，有2A =，则11
()2*3
A A --=
11*||2A A A A --==，111
()33
A A --=，因此
1
1111311()2*34(1)32
A A A A A A ------=-=-=-=-. 2．设,A
B 为4阶方阵，且3A =，则1(3)A --= 1/27 , 21BA B -= 9 。

3．设A 是一个m n ?矩阵，B 是一个n s ?矩阵，那么是()'AB 一个s m ?阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为1n
jk ki k a b =∑.
4.n 阶矩阵A 可逆A 非退化||0A ≠
A 与单位矩阵等价 ? A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .
4.三阶对角矩阵000000a A b c =??，则A 的伴随矩阵*A = 000000bc ac ab ??
. 5．设123023003A ??
=
，则*1()A -=16
A .
6．设0,1,2,i a i n ≠=L ，矩阵121000000000000n n a a
a a -
L
L L L L
L L L L
的逆矩阵为 1
111211
0000000000
0n n a a a a -----
L L L L L L L L L
. 7．设,A B 都是可逆矩阵，矩阵0
0A C B ??=?
的逆矩阵为1100B A --??
. 8．设121331,,342424A B C
===
，则(2)B A C -=（）． 9．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为零矩阵.
10．设方阵1
112
223
3
3b x c A b x c b x c =??，1
112223
3
3b y c B b y c b y c ??
=
，且2,3A B =-=则行列式A B += 4 .
11．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知,A a B b ==，则行列式
00
A B
=ab mn )1(-.
将A 的各列依次与B 的各列交换，共需要交换mn 次，化为
0A B
12．设A 为n 阶方阵，且0A ≠，则在A 等价关系下的标准形为n 阶单位矩阵 .
13. 设
122
21
311
A a
-
=-
（a为某常数），B为43
的非零矩阵，且0
BA=，则矩阵B的秩为
1 .
由0
BA=可得A的各列为齐次线性方程组0
Bx=的解，A的前两列线性无关，因此0
Bx=的基础解系至少有两个解，因此()1
r B≤.又B为非零矩阵，因此()1
r B≥.即() 1.
r B=
四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1)
2546
1321
X
-
=
; (2)
211
113
210
432
111
X
-
-
=
-
;
(3)
142031 121101
X
=
---
;
(4)
010100143 100001201 001010120 X
-
=- ? ? ? ? ? ?
-
解：（1）
1
25463546223
1321122108 X
-----
===
-
（2）
1
211
113221
210
4328/352/3
111
X
-
-
--
==
--
-
2．设
033
110
123
A
= ?
-??
,2
AB A B
=+ ,求B
解：(2)A E B A -=. 0332002332110020110123002121A E -?????? ? ? ?
-=-=- ? ? ? ? ? ?--
.
22A E -=，因此2A E -可逆.
3．.设1
P AP -=Λ,其中1411P --??= ,1002-??Λ=
,求11
A .
解：1,A P P -=Λ
4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.
证明：124A B B E -=-两边同左乘以A 得到24B AB A =-.因此有
(2)4A E B A -=.由A 可逆可得2A E -，且11
1(2).4
A E BA ---=
5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.
证明：()R A r =，因此矩阵A 可以经过一系列行初等变换化为后n r -行全为零.也即存在初等矩阵11,,,m P P P L ，使得21m P P P A L 后n r -行全为零. 21m P P P P =L ,则PA 的后n r -行全为零.由矩阵乘法运算可得1PAP -的后n r -行全为零.
6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.
证明：由,m n AB E <=可得()()m r AB r A m =≤≤，因此()r A m =.因此A 的行向量组线性无关.
7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是0.AB BA +=
证明：当B A +时幂等阵时，
因此0.AB BA +=
反之，当0.AB BA +=时有
B A +是幂等矩阵.。