四川省成都市高三数学10月月考试题 文(1)

四川省成都市2018届高三数学10月月考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分 钟 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，考生要认真核对答题纸上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题纸上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求） 1.已知集合103x A x z
x ⎧+⎫
=∈≤⎨⎬-⎩⎭
，},1|{2A x x y y B ∈+==，则集合B 的含有元素1的子集个数为（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2 2．设i 为虚数单位，若i
()1i
a z a -=
∈+R 是纯虚数，则a 的值是 ( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
3．设向量=（2x ﹣1，3），向量=（1，﹣1），若⊥，则实数x 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．3
4．已知则（ ）
A ．C ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c 5.已知
，
，且
，则
( )
A.（2，-4）
B.(2,4)或（2，-4）
C.（2，-4）或（-2，4）
D.（4，-8） 6. 对于实数,x y R ∈，“1xy <”是“1
0x y
<<
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
8. 已知,,,P A B C 是球O 球面上的四点，ABC ∆是正三角形，三棱锥ABC P -的体积为
4
3
9， 且︒=∠=∠=∠30CPO BPO APO ，则球O 的表面积为（ ） A. π4 B. π12 C. π16 D.
π3
32 9.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1，200]的人做试卷A ，编号落在[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( )
A.10
B.12
C.18
D.28 10.下列四个图中，可能是函数ln 1
1
x y x +=
+的图象是是（ ）
11.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：
()
12100,3sin 1004y t y t πππ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的
声波的振幅为（ ）
A.3
B. 3+
12.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为2
5
，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．14y x =±
B ．13y x =±
C ．1
2
y x =± D ．y x =± 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．
13．已知tan α=3，则sin αsin
（
﹣α）的值是 ．
14.若一个正方体的表面积为1S ，其外接球的表面积为2S ，则
1
2
S S =____________. 15.对正整数n ，设曲线()2n
y x x =-在3x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列
2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和等于 ． 16.定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①当x ∈[1，3)时，f (x )＝1－|x －2|；②f (3x )＝3f (x )．设关于x 的函数F (x )＝f (x )－a 的零点从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，….若a ∈(1，3)，则x 1＋x 2＋…＋x 2n ＝______________． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)
ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量
(
)
()3,1,cos 1,sin m n A
A =
=+，且m n 的值为2
.
（1）求
A ∠的大小； （2）若3
a B == ，求ABC ∆的面积.
18．
(本小题满分12分)
设数列{a n }各项为正数，且a 2=4a 1，
．
（Ⅰ）证明：数列{log 3（1+a n ）}为等比数列；
（Ⅱ）设数列{log 3（a n +1）}的前n 项和为T n ，求使T n ＞520成立时n 的最小值．
19．（本题满分12分）
已知四棱锥BCDE A -，其中⊥=====CD CD BE AC BC AB ,2,1面ABC ，
CD BE ∥，F 为AD 的中点.
（Ⅰ）求证：∥EF 面ABC ； （Ⅱ）求证：面⊥ADE 面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥BCDE A -的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数()ln a f x x b x =-
+，其中,a b R ∈且2a >，若(2)l n 212
e f =-+，()f x 在
(1,(1))f 处切线的斜率为1e --．
（1）求函数()f x 的解析式及其单调区间；
（2）若实数,c d 满足cd λ=，且()()f c f d <对于任意c d >恒成立，求实数λ的取值范围．
21.（本题满分12分）
已知a R ∈，函数()ln 1.f x x ax =-+ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求证：12 2.x x +>
请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（共1小题，满分10分）
22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（其中t 为参数），现以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ． （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．
23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知函数())0f x a =≠. （1）求函数()f x 的定义域；
（2）若当[]0,1x ∈时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
成都龙泉第二中学2015级高三上学期10月考试题
数 学(文史类)参考答案
1—5 BCCDC 6—10 BBDBC 11—12 AC
13.
﹣
14. 2π 15.133
2
n +- 16.6(3n －1)
17.(本小题满分12分) 解：
(1)
3cos sin 2sin 3m n A A A π⎛
⎫==++ ⎪⎝
⎭
sin 13
6A A ππ⎛
⎫∴+=⇒= ⎪⎝
⎭.
(2)cos sin 33
B B =
∴=
,由sin sin b a B A =
得6
33221
2
b ==，
())1sin 22sin sin cos cos sin 2
ABC S ab C A B A B A B ∆∴=
=+=+=+
18．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）证明：由已知，
，则a 1（a 1﹣2）=0，
因为数列{a n }各项为正数，所以a 1=2， 由已知，
，
得log 3（a n+1+1）=2log 3（a n
+1）．
又log 3（a 1+1）=log 33=1，
所以，数列{log 3（1+a n ）}是首项为1，公比为2的等比数列．… （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
所以
．
由T n ＞520，得2n
＞521（n ∈N *
）， 所以n ≥10．
于是T n ＞520成立时n 的最小值为10．…12分 19.(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.
【解析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，可证明平面外的线与平面内的线平行，则线面
平行，故取AC 中点G ，连接FG ， BG ，即证明四边形是平行四边形，即证明线线平
行，则线面平行；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，先证明平面内的线垂直于另一个平面，即根据条件，可先证明
平面
，再根据
,证明面面垂直；（Ⅲ）根据前
两问已证，将四棱锥的体积进行分割，
.（或直接做高）
试题解析：（Ⅰ）证明：取AC 中点G ，连接FG ，BG ， ∵F ，G 分别是AD ，AB 的中点，∴FG ∥CD ，且
，
∵BE ∥CD ，∴FG 与BE 平行且相等，FGBE 为平行四边形， ∴EF ∥BG ，又
面ABC ，BG
面ABC ，∴EF ∥面ABC.
（Ⅱ）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴BG ⊥AG ， 又∵CD ⊥面ABC ，BG
面ABC ，∴CD ⊥BG ，
∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC ，DC ，∴BG ⊥面ADC ， ∵EF ∥BG ，∴EF ⊥面ADC ，∵EF 面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC.
（Ⅲ）
20．(本小题满分12分)
解：1）由于2a >且(2)ln 212e f =
-+，则122
a e
b +=+， 当1x =时，()ln a f x x b x =-+，即21
'()a f x x x
=--，
故'(1)11f a e =--=--，即a e =，1b =， 因此()ln 1e
f x x x
=-
+．………………………………………………………3分 令()ln e g x x x =-
，则21'()0e
g x x x
=+>，即()g x 在(0,)+∞上单调递增，
由于()0g e =，则0,ln 1()ln 1,ln 1
e x e x e x
f x x e x x e x x ⎧
<<-+⎪⎪=-+=⎨⎪>-+⎪⎩
，
故当0x e <<时，()ln 1e
f x x x =
-+，'()'()0f x g x =-<，()f x 单调递减； 当x e >时，()ln 1e
f x x x
=-+，'()'()0f x g x =>，()f x 单调递增．
因此()f x 的单调递减区间为(0,)e ，()f x 的单调递增区间为(,)e +∞．…………6分 （2）当2
(,)λe ∈+∞时，取d e =，则λ
c e d
=
>， 由于()f x 在(,)e +∞上单调递增，则()()f d f c <，不合题意，故舍去；…………8分 当2
(0,]λe ∈
时，由抽屉原理可知d e <
≤，则()ln 1e
f d d d
=
-+， 若c e ≤，由于()f x 在(0,)e 上单调递减，则()()f c f d <成立；
若c e >，λc d =，则()ln 1ln ln 1e ed
f d c λd c λ=-+=--
+， 故()()ln e ed
f c f d λd λ
-=+-， 由于2
(0,]λe ∈，则ln 2λ≤，
ed d λe
≥（当且仅当2λe =时取“=”）
故()()220e d f c f d d e -≥
+-≥=（当且仅当d e =时取“=”） 由于d e <，故上式无法取“=”， 因此()()f c f d <恒成立，
2(0,]λe ∈．…………………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x ）=﹣a ． ①当a ≤0时，f'（x ）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a ＞0时，在区间（0，）上，f'（x ）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x ）＜0． ∴f （x ）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，
当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，
当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，
此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，
f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），
令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：
∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx ﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，
函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，
于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，由（1）可知，即．………………12分
22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．
由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得
x 2+（y ﹣2）2
=4；
（Ⅱ）由x 2+（y ﹣2）2=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，
则圆心到直线的距离为：d=
=3
，
而点P 在圆上，即O′P +PQ=d （Q 为圆心到直线l 的垂足），
所以点P 到直线l 的距离最小值为3
﹣2．
23.23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解：（1）2442426ax ax ax -≤⇔-≤-≤⇔-≤≤，
当0a >时，函数()f x 的定义域为26|x x a a ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭；当0a <时，函数()f x 的定义域为
6
2|x x a
a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭.
（2）()123f x ax ≥⇔-≤，记()2f x ax =-，因为[]0,1x ∈，所以需且只需
()()03,23,23,15232313g a a a g ⎧≤≤≤⎧⎧⎪⎪⎪⇔⇔⇔-≤≤⎨
⎨⎨-≤-≤≤⎪⎪⎪⎩⎩⎩，又0a ≠，所以，15a -≤≤，且0a ≠.。