函数图像的研究一对一辅导讲义

3
y=sinx 的图像是怎样经过平移变化
的图像上的所有点向左平行移动
3
+
3
)
的图像，再把 y = sin(x +
3
) 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到 y =
sin(2x +
3
) 的图像，再把 y = sin(2x +
3
) 的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的
(3) 已知 f (x) 的定义域为 [ 0,1] ，求 f (cos x) 的定义域 .
考向三
三角函数的单调性
求形如 y ＝ Asin( ω x＋ φ ) ＋ k 的单调区间时， 只需把 ω x ＋φ看作一个整体代入 y ＝ sin x 的相应 单调区间内即可，若 ω为负则要先把 ω化为正数． 【例 3】 ?求下列函数的单调递增区间． (1) y cos( 2 x) ， (2) y 1 2 sin( 2 4 3 x) ， (3) y tan(3x ).
为常数，且 A
0,
0 ）是周期函数，它的最小正
；
) ，它的最小正周期 T
A tan( wx
课堂演练： 1、函数 y 2、函数 y
2 sin 2 x 的最小正周期为 ____________ ； 2 cos 1 2 x 3 的最小正周期为 ____________ ；
二、三角函数的奇偶性与对称性 1 、奇偶性 （ 1）正弦函数的奇偶性：如果点
为了探讨函数 y = Asin(wx+ 点 法”作函数 y = Asin(wx+ 例：作函数 y = 3sin(2x+
3
) 的图像。 ) 的简图。
z 2
解：⑴设 Z= 2x +
3
，那么 3xin(2x+
3
)= 3sin
， x=
3
=
z 2 6
，分别取 z = 0 ，
2
， ，
3 2
，
2 ，则得 x 为
6
2．要得到函数 y = sin (2 A．向左平行移动 C ．向左平行移动 3．函数 y =
) 的图象，只要将函数 y = sin2 x 的图象 B D ．向右平行移动 ．向右平行移动 个单位 个单位
3 6
个单位 个单位
3 6
2cos x 1 的定义域
____________________ ，值域 ________________ ，当 y = 0 时 x 的集
；最小正周期
4、正切函数 y 5、函数 y 周期 T = 6、函数 y 周期 T = 7. 函数 y
tan x, x 2 ), x
k 是周期函数，它的周期是 R, （其中 A, ,
；最小正周期是
0, 0 ）是周期函数，它的最小正
A sin( x
为常数，且 A
；
A cos( x ), x R, （其中 A, ,
教学目标
1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用； 2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求 值域、求单调区间等问题中的应用．
重点、难点
教学重点：三角函数的图像和基本性质。 教学难点：三角函数图像的由来与函数
y=Asin(wx+ ) 性质图像的平移。
考点及考试要求
合为 ______________________ ． 4．函数 f ( x )
cos 2 x 2 3 sin xcos x 的最小正周期是 _________．
z 2
3
解：⑴设 Z= 2x +
3
，那么 3xin(2x+
3
)= 3sin ，x=
=
z 2 6
，分别取 z = 0，
2
， ，
3 2
，
2
，则得 x 为
6
，
12
，
3
，
7 12
，
5 6
，所对应的五点为函数
y=3sin(x 3
) 在一个周期
[
6
，
5 6
⑵列表
] 图象上起关键作用的点。
x
7
6
5 6
2
12
3
12
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数 过 在平移变换过程中的单位变换而调整到函数
周期变换
y = Asin(wx+
y = Asin(wx+
平移变换
) 图像的一般公式。
原因： y = sinx
伸长或缩短
y =Asinwx
1 倍
振幅变换 平移 个单位
y = sinw(x+
) = sin(wx+w
)
伸长或缩短 A 倍
( x, y) 是函数 y sin x 的图象上任意一点，那么与它关于原点 y sin x 是 _______函
对称的点 __________ 也在函数 y
sin x 的图象上，这时我们说函数
数。即：若 __________________ ，则称函数 f ( x) 为奇函数。 （ 2）余弦函数的奇偶性：如果点
第二课时
一、创设情境
函数 y=Asin(wx+
y = sin(x
)(A>0 ， w>0 ）的图象
上面我们学习和复习了三种函数 图像的关系，那么函数 呢？三、尝试探究 1 . 函数 y = Asin(wx+
k) ， y = sinwx ， y = Asinx 的图像和函数 y =sinx 的图像有何关系
(2) 函数 y ＝ cos(3 x＋ φ ) 的图象关于原点成中心对称图形．则
第三课时
课前检测
函数 y=Asin(wx+
)(A>0 ， w>0 ）的图象课堂检测
1．函数 y = 2 sin A．2， 2 4
x + 2 的最大值和最小值分别为 B 0 ( )
) D ．4，
f ( x) 的 周 期 为 T ， 则 T) f (x sin x , x 2T ) ... f ( x kT ), k Z,k 0
也 是
f ( x) 的 周 期 。 即
2 、正弦函数 y 是 ；
R 是周期函数，它的周期是
；最小正周期
3、余弦函数 y 是 ；
cos x, x
R 是周期函数，它的周期是
( x, y) 是函数 y
cos x 的图象上任意一点，那么与它关于 y
y轴
对称的点 ___________ 也在函数 y
cos x 的图象上，这时我们说函数
cos x 是 _______函
数。即：若 __________________ ，则称函数 f ( x) 为偶函数。 2 、单调性 （ 1）正弦函数在每一个闭区间 ______________________________ 上都是增函数，其值从 1 增大到 1； 在每一上闭区间 ______________________________ 上都是减函数，其值从 1减 小到 1 。 （ 2）余弦函数在每一个闭区间 ______________________________ 上都是增函数，其值从 1 增大到 1 。在每一个闭区间 ______________________________ 上都是减函数， 其值从 1减 小到 1 。 3 、对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为 ________________________ ；对称中心为 _______________________ ； 余弦曲线的对称轴为 ________________________ ；对称中心为 _______________________ ； 正切曲线的对称中心为
，
12
，
3
，
7 12
，
5 6
，所对应的五点为函数 y=3sin(x
3
) 在一个周期 [
6
，
5 6
] 图象上起关键作用的点。
⑵列表 x
7
6
12
3
12
3
5 6
2
2x+
3
)
0
2
2
sin(2x+ 3
3
0
1
0
1
0
0 sin(2x+
3
0
3
0
3
) ( 图略 )
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。
2 . 函数 y=Asin(wx+ )(A>0 ， w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件， 运用多媒体教学手段向学生展示由函数 y=sinx 的图像是怎样经过平移变化
y = Asin(wx+w
)
一般公式：将平移变换单位改为： 考向指引
w
即可。
考向一
三角函数的周期
【例 1】 ?求下列函数的周期： (1) y sin( x) ； (2) y tan(3 x )
3
2
6
考向二
三角函数的定义域与值域
(1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求 解． (2) 求解三角函数的值域 ( 最值 ) 常见到以下几种类型的题目： ①形如 y ＝ asin x ＋ bsin x ＋ c 的三角函数，可先设 sin x ＝ t ，化为关于 t 的二次函数求值域 ( 最 值) ； ②形如 y ＝ asin xcos x＋ b(sin 于 t 的二次函数求值域 ( 最值 ) ． x± cos x ) ＋ c 的三角函数，可先设 t ＝ sin x ± cos x ，化为关
3 倍 ( 横坐标
不变 ) ，从而得到 y = 3sin(2x +
3
) 图像。
归纳 2：函数 y = Asin(wx+
) ， (A>0 ， w>0)的图像可以看作是先把
y = sinx 的图像上所有的点
向左 ( >0) 或向右 ( <0) 平移 | | 个单位，再把所得各点的横坐标缩短
(w>1) 或伸长 (0<w<1) 到原来的
2
【例 2】 ?(1) 求函数 y＝ lg sin 2 (2)
2
x＋
9－ x 的定义域． ) 的最大值与最小值．
2
求函数 y ＝ cos x＋ sin x (| x | 4
tan(x (1) 求函数 y＝ sin x － cos x 的定义域； (2) y
4 lg( 2 cos x 1)
) sin x
3
2x+
3
)
0
2
2
sin(2x+
3
0
1
0
1
0
3sin(2x+
3
)
0
3
0 ( 图略 )
3
0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。
2 . 函数 y=Asin(wx+ )(A>0 ， w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件， 运用多媒体教学手段向学生展示由函数 →周期变换→振幅变换而得到函数 归纳 1：先把函数 y = sinx y=Asin (wx+ ) 图像的。 个单位，得到 y = sin(x
y = Asin(wx+
)(a>0 ， w>0) 的图像和函数 y = sinx
) 的图像的画法。 ) 的图像和函数 y = sinx 图像的关系，我们先来用“五
为了探讨函数 y = Asin(wx+
点 法”作函数 y = Asin(wx+ 例：作函数 y = 3sin(2x+
3
) 的图像。 ) 的简图。
→周期变换→振幅变换而得到函数 四、指导创新 上面我们学习了函数 换 的顺序而得到，若按下列顺序得到 y = Asin(wx+
y=Asin (wx+
) 图像的。
) 的图像可由 y = sinx
图像平移变换→周期变换→振幅变
y = Asin(wx+
) 的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换 教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律： 若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数 幅变换出现在前或后不会影响得到函数 y = Asin(wx+ ) 的图像。 ) (A>0 ， w>0)图像的原因，并通 y = Asin(wx+ ) 的图像，振
考点：三角函数的定义域值域、周期、三角函数的单调性、三角函数的对称 性
教
学
内
容
第一课时 三角函数的性质
知识梳理
一、函数的周期 1、周期函数的定义：对于函数 值时，都有： f ( x 若 函 数
f ( x) f (x T) f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个
f ( x) ，那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期。
3
A． x＝－
π π π π B ． x＝－ C ． x＝ D ．x＝ 6 12 6 12 π ， g (x) 2 sin( 2x ) 是偶函数，则 α的值为 ________．
(2) 若 0＜α ＜
4
(1) 函数 y ＝ 2sin(3 x ＋φ ) (| |
2
) 的一条对称轴为 x ＝
π ，则 φ＝ ________. 12 φ＝ ________.
1
倍 ( 纵坐标不变 ) ，再把所得各点的纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1) 到原来的 A 倍，( 横坐标不变 ) 。
即：平移变换→周期变换→振幅变换。 三、尝试探究 1 . 函数 y = Asin(wx+ ) 的图像的画法。 ) 的图像和函数 y = sinx 图像的关系，我们先来用“五
3
3
函数 f ( x) ＝ sin ( 2x 考向四 三角函数的对称性
3
) 的单调减区间为
．
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形， 应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例 4】 ?(1) 函数 y ＝ cos ( 2 x ) 图象的对称轴方程可能是 ( )．