河北省2018年中考数学总复习 精讲试题 第二编专题突破篇专题6二次函数与综合应用

年可能还出现在压轴题的位置上解题策略
此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分．
,重难点突破)
二次函数的实际应用
【例1】(2016石家庄中考模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20
元/kg ，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )有如下关系：w ＝ax 2
＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．
(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式； (2)当销售价定为24元/kg ，该产品每天的销售利润为多少元？
(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，此店铺每天获得的最大利润为多少元？
【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2
＋120x －1 600中计算所
得利润；(3)将w ＝150代入w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数表达式可知w ＝－2x 2
＋
120x －1 600＝－2(x －30)2
＋200，所以当x ＝
29时利润最大．
【答案】解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w ＝ax 2
＋bx －160，得
⎩⎪⎨⎪⎧72＝a ×222
＋b×22－1 600，168＝a×262
＋b×26－1 600.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝120. ∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式为w ＝－2x 2
＋120x －1 600；
(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242
＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg 时，该产品每天的销售利润为128元；
(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2
＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为25元/kg ；
(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2
＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，当
x≤29时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2
＋200＝198(元)．
【方法指导】
正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．
1．(2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(t )与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y 2(t )与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.
(1)求y 1与时间t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；
(2)设国内、国外市场的日销售总量为y t ，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t?
(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值．
解：(1)设y 1＝at 2＋bt ，把点(30，0)和(20，40)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧900a ＋30b ＝0，400a ＋20b ＝40.解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
5，b ＝6.
∴y 1＝－15
t 2
＋6t(0≤t≤30，t 为整数)．
设y 2＝kt ＋b ，当0≤t<20时，y 2＝2t ，
当20≤t≤30时，⎩
⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝40，
30k ＋b ＝0.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝120，
∴y 2＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2t （0≤t<20，且t 为整数），－4t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）；
(2)由y ＝y 1＋y 2，得
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－15
t 2
＋8t （0≤t<20，且t 为整数），－15
t 2
＋2t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）.
由图像可知，销售第20天，y ＝80， ∴y ＝75时，t ＜20，
即－15
t 2＋8t ＝75，t 2
－40t ＋25×15＝0，解得：t 1＝15，t 2＝25>20(舍)．
即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t ；
(3)当0≤t＜20时，y ＝－15t 2＋8t ＝－ 15
(t －20)2
＋80.
此时，y 随t 的增大而增大．
∵t 为整数， ∴当t ＝19时，y 最大，为79.8 t ．当20≤t≤30时，y ＝－15t 2＋2t ＋120＝－15
(t －5)2＋
125.∵当t ＞75时，y 随t 的增大而减小，
∴当t ＝20时，y 的最大，为80 t .
综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y 值最大，最大值为80 t .
【方法指导】
先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题．
二次函数图像综合问题
【例2】(2016河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－1
2(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，
A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝k
x
(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12.
(1)求k 值；
(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；
(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图像G 最高点的坐标；
(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．
【解析】(1)设点P(x ，y)，只要求出xy 即可解决问题；(2)先求出A ，B 两点的坐标，再求出对称轴以及点M 坐标即可解决问题；(3)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP 左侧，L 的顶点就是最高点，当对称轴在MP 右侧，L 与MP 的交点就是最高点；(4)画出图形求出C ，D 两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．
【答案】解：(1)设点P(x ，y)，则MP ＝y ，OM ＝x.OA ＝2x.∵OA·MP＝12， M 是OA 的中点，∴2x ·y ＝12，即xy ＝6； ∴k ＝xy ＝6.
(2)当t ＝1时，令y ＝0，即0＝－1
2
(x －1)(x ＋3)，
解得x ＝1或－3. ∵点B 在点A 左边，
∴B(－3，0)，A(1，0)． ∴AB ＝4，
∴L 的对称轴是直线x ＝－1，M 的坐标为(1
2
，0)，
∵12－(－1)＝32
， ∴MP 与L 对称轴之间的距离为3
2
；
(3)∵A(t，0)，B(t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.
又∵M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2，0， 当t －2≤t
2
，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；
当t ＞4时，L 与MP 的交点为最高点．
联立⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝－1
2
（x －t ）（x －t ＋4），
x ＝t 2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t 2
，y ＝－t
2
8
＋t.
即此时的最高点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2，－t 2
8＋t ；
(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋ 2.
2．(2017天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2
－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且
CD ＝4AC.
(1)求A ，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l 的函数表达式；(其中k ，b 用含a 的式子表示)
(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为5
4
，求a 的值；
(4)设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
解：(1)当y ＝0时，ax 2
－2ax －3a ＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x ＝－1＋3
2
＝1； (2)∵直线l ：y ＝kx ＋b 过A(－1，0)，∴0＝－k ＋b ，即k ＝b ，∴直线l ：y ＝kx ＋k. ∵CD ＝4AC ，点A 的横坐标为－1，
∴点D 的横坐标为4，代入抛物线得y ＝5a ， ∴将(4，5a)代入y ＝kx ＋k 得k ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ；
(3)如图①，过E 作EF∥y 轴交直线l 于F ，设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，a x ＋a)，EF ＝ax 2
－2ax －3a －
ax －a ＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CEF ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2
－3ax －4a)＝
12
a(x －32)2－258a ，∴△ACE 的面积的最大值为－258a.∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25；
(4)以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形．
由(2)知，D(4，5a)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴设P(1，m)．
①如图②，连接AP.若AD 是矩形ADPQ 的一条边，由中点公式可得12(x A ＋x P )＝1
2
(x D ＋x Q )，解得x Q ＝－4，将x
＝－4代入y ＝ax 2
－2ax －3a 得y ＝21a ，
∴Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ 是矩形，
∴∠ADP ＝90°，∴AD 2＋PD 2＝AP 2
，
∴52＋(5a)2＋32＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2
，
解得a 1＝77(不合题意，舍去)，a 2＝－7
7
.
∴P(1，－267
7
)；
②如图③，若AD 是矩形APDQ 的对角线，由中点公式得12(x A ＋x D )＝1
2
(x Q ＋x P )，解得：x Q ＝2，
将x Q ＝2代入y ＝ax 2
－2ax －3a 得y ＝－3a ，
∴Q(2，－3a)，m ＝5a －(－3a)＝8a ，则P(1，8a)．∵四边形APDQ 是矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP 2＋PD 2
＝
AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2
，解得a 1＝12(不合题意，舍去)，a 2＝－12.
∴P(1，－4)．综上所述，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫1，－2677或(1，
－4)．。