构造地质学第三讲：构造分析的力学基础

5 cos2a＝0 4 sa = (s1 + s2)/2 在（8）中代入a=45° 5 sin2a/2 4 ta= tmax
一、 应力分析
（四） 图解法求应力-----应力摩尔圆
1. 应力摩尔圆的数学模型: 从双轴应力状态的应力公式 sa =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 ta= (s1 - s2) sin2a/2 可以看出, 当受力方式一定, 应力s 就成为角度a的函数, 为了得出应 力摩尔圆公式，先将公式中a消去. 为此移项得: sa - (s1 + s2)/2= (s1 - s2) cos2a /2 ta -0 = (s1 - s2) sin2a/2 等式两端平方得: [sa - (s1 + s2)/2]2 =[(s1 - s2) cos2a /2] 2 (ta -0 ) 2 = [(s1 - s2) sin2a/2] 2 公式二式相加得: [sa - (s1 + s2)/2]2 + (ta -0 ) 2 = [(s1 - s2) /2]2 比较圆数学方程 (x -a) 2 +(y -b) 2 =r 可知此即应力摩尔圆的圆 数学方程式。
（二） 应力状态和应力椭球体
1. 应力状态: 点的应力状态: 过物体中某一点的 各个不同方向截面上的应力情况 截取包含该点的一个小单元体,一 个正六面体来研究. 如单元体选择在六 个面上只有正应力的作用, 而无剪应力 的作用，这六个面上的正应力叫做主 应力。 若单元体六个截面上的三对主应力 的值都相等时, 称为等应力状态, 在这 种应力状态下, 物体只发生体积膨胀或 收缩的变化而不会产生形态变化(畸变). 当单元体六个截面上的三对主应力不 都相等时, 单元体截面上存在最大主应 力s1, 中间主应力s2和最小主应力s3, 这 种应力状态可导致物体形态变化(畸变), 其中s1-s3 之值称为应力差。 微小单元体六个截面上的三对主应 力, 每对主应力作用方向线叫做主应力 轴, 主应力所作用的截面称为主应力面 或主平面
（三）二维应力分析 前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向，相 互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力 作用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态,只是 推导、计算 和研究较为复杂。根据弹性力学应力叠加原理, 单轴应力分析方法 是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础。
3. 一点的空间应力状态类型 (1) 三轴应力状态: 三个主应力均不为零的状态, 这是自然界最 普遍的一种应力状态 (2) 双轴应力状态: 一个主应力的值为零, 另外两个主应力的值 不为零的应力状态 (3) 单轴应力状态: 其中只有一个主应力的值不为零, 另外两个 主应力的值都等于零的应力状态
一、应力分析
2. 应力摩尔圆的性质:
如以s为横坐标，t为纵坐标 （1） 圆心一定在横轴上, 圆心坐标为 ((s1 + s2)/2, 0) （2） 圆的半径为(s1 - s2) /2 （3） 单元体中截面角a, 应力圆上为2a （4）单元体上任何一截面都对应于摩尔应力圆圆周上的的一个点, 该截面上的一 组应力值即为圆周上对应点的一组坐标 （5）已知单元体上的一个截面, 求出该截面在应力摩尔圆圆周上的对应点.
1. 单轴应力状态的二维应力分析 1) 平面上一矩形物体, 作用于物体上的外力为P1 , 内力为p1, 那么, 垂直于外力截面A0上 的主应力为: =p1/A0 （1） 2) 在与内力p1斜交的截面Aa上, 设其正应力为上sa, 剪应力为ta, 合应力为sA, 截面Aa的 法线与p1作用线之间的夹角为a , 则 =p1/Aa （2） 根据三角函数关系: 5 sa=sA cosa 并代入（2） 4 sa= p1 cosa/ Aa 由（2） 得p1 = s1 A0 代入∴ sa= s1 A0 cosa / Aa ,又 5 cosa = A0 /Aa ∴ sa= s1 cos2a （3） 2a可写成: 据倍角公式1＋ cos2 a ＝2 cos sa= s1(1+cos2 a ) / 2 （4） 剪应力 5 ta = p1 sina / (sA / cos a) 4 ta = s1cos a sina （5） 用倍角公式sin2 a ＝2 cos a sina 可写成： ta = s1 /2 sin2 a （6） （4）和（6）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力s1、正应力sa及剪应力ta的关系。
4. 附加内力的分解 在物体内任意选取一个 与外力作用方向不相垂直的小 截面dF, 作用于截面dF 上的附 加内力为dP , 根据平行四边形 法则, 可将内力dP 分解为垂直 于截面dF 的分力dN , 及平行 于截面dF 的分力dT. 合应力: sf=dP/dF 正应力: 垂直于截面dF上的 应力 s=dN/dF 剪应力: 平行于截面dF 上 的应力 t=dT/dF 规定: 顺时针剪切为 “负”, 逆时针剪切为“正”
（7） （8）
讨论: (1) 两个互相垂直截面Aa, A.上的应力: 先求Aa截面上的应力, 由公式公式（7） 和（8）可得: sa =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 ta= (s1 - s2) sin2a/2 同理可求A截面上的应力（＝90+a） s =(s1 + s2)/2-(s1 - s2) cosa /2 t= -(s1 - s2) sin2a/2 由以上结果得: sa + s= s1 + s2=常量 结论: 在两个互相垂直的截面上的主应力之和为一常量, 且等 于二 主应力之和
一、 应力分析
（一）有关力的一些概念 1. 外力的概念: 对于一个物体来说, 另一个物体施加于这个物 体的的力称为外力. 外力又可分为面力和体力两种类型: 面力: 通过接触面作用于物体的力 体力: 物体内每一个质点都受到的力, 它不通 过接触, 而是相隔一定的距离相互作用, 如太空星 球之间的吸引力, 物体的重力等
结论:
在距主应力面 45°的截面上(即 a=45°的截面上), 正应力等于主应力 的一半。剪应力值 也等于主应力的一 半，并且最大。在 两垂直的截面 （ α=45° 和α=-45° ） 上剪应力互等, 剪 切方向相反
主要公式 ：sa= s1(1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (4) 当a=90° 时 ∵cos2 a ＝－1 ，sin2 a ＝0 4 s a= 0 ta = 0 结论: 在平行于单轴作用力的截面上,既无正应力, 也无 剪应力
3） 根据叠加原理: s = sa + s t= ta + t 可得 s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 （7） t= (s1 - s2) sin2a/2 （8）
已知双轴应力状态的应力公式
s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2
2. 双轴应力状态的二维应力分析 一矩形物体, 在其相互垂直的面上, 分别作用有外力p1 和p2,且p1>p2,。据应力叠加原理，采用两个单轴应力状态 的叠加方法
1）先求出由p1单独作用在Aa截面上的应力, 由单轴应力状态的应力 分析公式（4） 和（6）,即得p1单独作用形成的应力 sa= s1(1+cos2 a ) / 2 （4） ta = s1 /2 sin2 a （6） 2） 再求由p2单独作用在Aa截面上的应力: ＝ 90+a 代人 （4） 和（6）即得 s =s2(1-cos2a) / 2 t =-s2sin2a / 2
从上可得主要公式 ：sa= s1(1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (1) 当a=0 时 ∵（4）中的 cos2 a ＝1 4 sa= s1
ta = s1(sin2 *0 )/2 4 ta= 0 结论: 在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 正应力最大，等于主应力。 结论: 在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 剪应力为零, 即无剪应力存在。
(1) 应力椭球体: 当物体内一点主应力性 质相同，大小不同, 即 s1>s2>s3时, 可以取三个主 应力的矢量为半径, 作一个 椭球体, 该椭球体代表作用 于该点的全应力状态, 称为 应力椭球体，其中长轴代表 最大主应力s1, 短轴代表最 小主应力s3, 中间轴代表中 间主应力s2
(2) 应力椭圆: 沿椭球体三个主 应力平面切割椭球体, 可得三个椭圆, 叫应 力椭圆, 每一个应力 椭圆中有两个主应力, 代表二维应力状态. 这三个应力椭圆分别 为: s1与s2椭圆、s1 与s3椭圆、s2与s3椭 圆
① 当a=0°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的夹角) 在（7）中代入a=0°
结论: 在与外力垂直的截面上, 存在最大主应力s1 , 剪应力为零, 即 没有剪应力
5 cos2a＝1 4 sa =s1 =smax 又在（8）中代入a=0° 5 sin2a＝0 4 ta=0
(2) 求smax
据s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2
2. 内力的概念: 物体内部各部分之间的相互作用力叫内力 内力又可分为固有内力和附加内力两种类型: 固有内力: 一物体未受外力作用时, 其内部质 点之间存在的相互作用力, 这种相互作用力使各质 点处于相对平衡状态, 从而使物体保持一定的形状, 这种力称为物体的固有内力. 附加内力: 物体受到外力作用时, 其内部各质点的相对 位置发生了变化, 它们之间的相互作用力也发生了 变化, 这种物体内部内力的改变量称为附加内力
smin
tmax
（7） （8）
②当a=90°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的夹 角)
结论: 在与外力平行的截面上, 存在最小主应力s2, 剪应力为零
在（7）中代入a=90° 5 cos2a＝－1 4 sa =s2 =smin 在（8）中代入a=90° 5 sin2a＝0 4 ta=0
(2) 求smax
3. 应力的概念: 一物体受外力P 的作用, 物体内部产生与外力作用相 抗衡的附加内力p, 将物体沿 截面A切开, 取其中一部分, 此 时, 截面A 上的附加内力与外 力P 大小相等, 方向相反. 应 力 可定义为受力物体内任意 一截面单位面积上的附加内 力。 写为: s =P/A 应力的单位是帕斯卡(Pa) 或兆帕(MPa), 并规定, 挤压力 为“正”, 拉张力为“负”.
第三章 地质构造分析的力学基础
一、 应力分析 二、变形分析 三、影响岩石力学性质与岩石变形的因素
第三章 地质构造分析的力学基础
一、 应力分析
地壳中地质构造是地壳中的作用力达到和超 过岩石的强度极限或屈服极限, 岩石发生构造变形 而形成的, 所以, 地质构造的形成与力之间存在着 密切的依存关系. 要研究地质构造的成因, 形成机 制, 发展和组合规律, 就要研究力在地壳中的分布 规律, 活动规律, 变化规律, 时间和空间规律, 要研 究地质构造与作用力的之间的几何和空间关系, 从 而由地质构造的特征去追溯地质历史时期作用力 的方式、方向和大小, 及其时空变化规律。
主要公式 ：sa= s1(1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (2) 当a=45° 时 5 cos90＝0 4 sa= s1/2 5 sin90＝1 4 ta = s1 /2= tmax (3) 当a=-45° 时 sa= s1/2 ta = -s1 /2 = tmax
据s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2)sin2a/2
smin
tmax
（7） （8）
③当a=45°时: (a为作用力与所作用的截面法线之间的夹角) 在（7）中代入a=45°
结论: 在与外力呈45°的截面上, 正应力为二主应力之和的一半, 剪应力为最大
又由
结论:
ta= (s1 - s2) sin2a/2 t= -(s1 - s2) sin2a/2 得 ta= -t
两个互相垂直的截面上的剪应力值大小相等, 剪切方向相反, 这一关系称为剪应力互等定律
讨论: (2) 求smax
smin
tmax （7） （8）
据s =(s1 + s2)/2+ (s1 - s2) cos2a /2 t= (s1 - s2) sin2a/2