广东省深圳市第二外国语学校高二数学理测试题含解析

广东省深圳市第二外国语学校高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()
A．120 B．720
C．1440 D．5040
参考答案：
B
2. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设A表示事件“4个人去的景点不相同”，B表示事件“小赵独自去一个景点”，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
3. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )
A．B．1 C．D．
参考答案：
D
【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．
【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，
故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，
故选 D．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．
4. 设，则
A. －
B.
C. －
D.
参考答案：
B
令，得到，
再令，得到
∴
故选：B
5. 从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】条件概率与独立事件．
【分析】先求出P（A），P（B），根据条件概率公式计算得到结果．
【解答】解：从5张卡片中随机抽取2张共有C52=10种方法，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数或两个偶数，共有C22+C32=4种结果，则P（A）
=
事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数共有=3
种
结果，则P（B）=，
所以P（B|A）=
故选：C
【点评】本小题主要考查等可能事件概率求解问题，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
6. 下列说法中，正确的个数是（）
(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。

（2）平均数是频率分布直方图的“重心”。

(3) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。

(4)一个样本的方差s2= ，则这组数据等总和等于60.
(5) 数据的方差为，则数据的方差为
A、5
B、 4
C、3
D、 2
参考答案：
A
7. 直线被圆截得的弦长为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
先把直线的参数方程化成标准形式，将其代入圆的方程整理，再利用参数方程t的几何意义求弦长.
【详解】把化为标准形式为将其代入x2＋y2＝9，整理得t′2＋t′－4＝0，由根与系数的关系得t′1＋t′2＝－，t′1t′2＝－4. 故|t′1－t′2|＝＝＝，所以弦长为.
故答案为：B.
【点睛】(1)本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程
（t为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t的几何意义解答.
8. 设x、y满足，则目标函数z＝x＋y( )
A．有最小值2，无最大值 B．有最小值2，最大值3
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
参考答案：
A
9. 圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．π B．2π C．π D．π
参考答案：
D
上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝＝，∴V＝π·(1＋1×2＋2×2)＝π.故选D.
10. 下列命题正确的是
（A）若，则（B）若，则
（C）若，则（D）若，则
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列中，公比
，记（即表示
数列
的前项之积），则、
、
、
中值为正数的是
．
参考答案：
、
；
12. 圆为参数）上的点P 到直线为参数）的距离最小值是_______．
参考答案：
【分析】
化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．
【详解】由得x 2+（y-1）2=1，由，
得x-2y-3=0，
圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，
所以所求距离的最小值为．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
13. 已知方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为 ．
参考答案：
k ＜2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的简单性质列出不等式求解即可．
【解答】解：方程表示焦点在y 轴上的双曲线，
可得：2﹣k ＞0＞k ﹣3， 解得：k ＜2． 故答案为：k ＜2．
14. 已知点在不等式组表示的平面区域内, 则 的取值范围是___________.
参考答案：
[－4，２]
15. 某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是 ．
参考答案：
140
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140， 故答案为：140
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目． 16. 若命题“?x∈[﹣1，1]，1+2x +a?4x ＜0”是假命题，则实数a 的最小值为 ．
参考答案：
﹣6
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】依题意，“?x 0∈[﹣1，1]，使得1+2x 0+a?4x 0≥0成立，分离a ，利用配方法与指数函数的性质即可求得实数a 的最小值．
【解答】解：∵命题“?x∈[﹣1，1]，1+2x
+a?4x
＜0”是假命题，
∴?x 0∈[﹣1，1]，使得1+2x 0+a?4x 0≥0成立，
令=t ，∴
，g （t ）=﹣（t 2+t ）．则a≥g（t ）min ．
g （t ）=﹣（t+）2
+≤﹣6， ∴a≥﹣6，∴实数a 的最小值为﹣6． 故答案为﹣6． 17. 在平面直角坐标系中，若圆
上存在
，
两点关于点
成中心对称，则
直线
的方程为
.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
设数列
的前项和满足,其中.
⑴若
,求
及
;
⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.
参考答案：
解:⑴ ………①,
当
时代入①,得
,解得
;
由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数
列,
故(对也满足); ⑵当或时,显然
,等号成立.
设
,
且
,由(1)知,
,
,所以要证的不等式化为:
即证:
当时,上面不等式的等号成立.
当
时,与,()同为负; 当时,
与,()同为正; 因此当
且
时,总有 (
)()>0,即
,(
).
上面不等式对从1到求和得,
;
由此得
;
综上,当且
时,有
,当且仅当
或
时等号成立.
略
19. （12分）若，试问
是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请
说明理由。

参考答案：
20. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞2，且a n 2
+4n=4S n +1． （1）求证：{a n }为等差数列；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；数学模型法；配方法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用递推关系可得，又a n＞2，即可证明．（2）利用“裂项求和”即可得出．
【解答】（1）证明：由，①
可得，②
②﹣①得，
即，
∵a n＞2，∴a n+1﹣2=a n，
即a n+1﹣a n=2，
∴{a n}为等差数列．
（2）解：由已知得a12+4=4a1+1，
即，
解得a1=1（舍）或a1=3，
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，
∴b n===，
∴数列{b n}的前n项和T n=+…+
=
=．【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 已知一个几何体的三视图，如图，求原几何体的表面积和体积。

参考答案：
解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，上面是圆锥的简单几何体。

其表面积为：
体积为：.
略
22. 设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
参考答案：
【考点】不等式的证明．
【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；
（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0
，以及二次不
等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．
【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，
则a+b=+=，
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2=2，
当且仅当a=b取得等号．
则a+b≥2；
（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．
由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，
由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，
这与ab=1矛盾．
a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．。