新密市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新密市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则
的值为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的
解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
A.4π
B.25π
C. 5π
D. 225π+π
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算
能力．
4． 若椭圆
和圆
为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则
椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6
D ．12
6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}01
2
|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[
【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.
7． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．
8． 复数=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足111
22
n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．5
8
10．求值： =（ ）
A ．tan 38°
B ．
C ．
D ．﹣
11．设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
12．如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则
= ．
14．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
15．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”） 16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
18．已知函数f （x ）=x 2+
x ﹣b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
20．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，
14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为3
4
． （1）求a 与b 的值；
（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
21．在ABC ∆中已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．
（1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
23．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．
24．（本小题满分12分）若二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=, 且()01f =.
（1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
新密市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：F
，F2为椭圆=1的两个焦点，可得F1（﹣，0），F2（）．a=2，b=1．
1
点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，
|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．
==．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
2．【答案】A
【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，
解得ω=2，
再把点（，1）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=1，
结合，可得φ=，
故有，
故选：A．
3．【答案】B
4．【答案】A
【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴4c＜3b，
∴16c2＜9b2，
∴16c2＜9a2﹣9c2，
∴9a2＞25c2，
∴，
∴．
综上所述，．
故选A．
5．【答案】C
【解析】解：由题意知
当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．故选C．
6．【答案】C
7．【答案】B
8． 【答案】A
【解析】解： =
=
=
，
故选A ．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
9． 【答案】B 【解析】
10．【答案】C
【解析】解： =tan （49°+11°）=tan60°=
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 12．【答案】D 【解析】
考点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直.
二、填空题
13．【答案】﹣5．
【解析】解：求导得：f′（x）=3ax2+2bx+c，结合图象可得
x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0，
故，解得
故==﹣5
故答案为：﹣5
14．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
15．【答案】充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，
∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），
若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
16．【答案】4+．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
17．【答案】0
【解析】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A1E⊥GF，
∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．
故答案为：0．
18．【答案】9+4．
【解析】解：∵函数f（x）=x2
+x﹣b+只有一个零点，
∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，
∵a，b为正实数，
∴+=（+）（a+4b）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当=，即a=b时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：9+4
【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由990S =，15240S =，得11
93690
15105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
20．【答案】
【解析】（1）由题意，得1
1424
131(1)(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，因为a b >，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
．…………………4分
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X ，
则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
而4
1
433221)0(=⨯⨯==X P ；1231(2)2344P X ==⨯⨯=；
1131(4)2348P X ==⨯⨯=； 1211135
(6)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；
1211(8)23412P X ==⨯⨯=； 1111
(10)23424P X ==⨯⨯=；
1111
(12)23424
P X ==⨯⨯=．…………………9分
所以X 的分布列为：
于是，11()012345644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12
=．……………12分
21．【答案】ABC ∆为等边三角形．
【解析】
试题分析：由2
sin sin sin A B C =，根据正弦定理得出2
a bc =，在结合2a
b
c =+，可推理得到a b c ==，即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定． 22．【答案】
【解析】解：（1）圆C 的极坐标方程为，可得直角坐标方程为x 2
+y 2
=2，即x 2
+（y ﹣）
2
=3；
（2）设P （3+，
t ），
∵C （0，），
∴|PC|=
=
，
∴t=0时，P 到圆心C 的距离最小，P 的直角坐标是（3，0）．
23．【答案】
【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），
∴
=0，
+8
=0，
∴=
，
化为，代入
=0，
化为： +16﹣
cos 2θ，
∴，
∴θ=
或
．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】（1）()2=+1f x x x -；（2）1m <-． 【解析】
试题分析：（1）根据二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=，利用多项式相等，即可求解,a b 的值，得到函数的解析式；（2）由[]()1,1,x f x m ∈->恒成立，转化为2
31m x x <-+，设
()2g 31x x x =-+，只需()min m g x <，即可而求解实数m 的取值范围．
试题解析：（1） ()()20f x ax bx c a =++≠ 满足()01,1f c ==
()()()()2
212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=，解得1,1a b ==-,
故()2
=+1f x x x -.
考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.。