安徽卷(数学理)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试·安徽卷(理科)
知识点检索号23
1.(2015·安徽高考理科·T1)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解题指南】利用复数的运算法则进行计算.
【解析】选B.===-1+i,其对应坐标为(-1,1),此点在第二象限.
知识点检索号9
2.(2015·安徽高考理科·T2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()
A.y=cos x
B.y=sin x
C.y=ln x
D.y=x2+1
【解题指南】根据偶函数的定义域关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称及函数零点的定义进行判断.【解析】选A.
选项具体分析结论
正确
A
y=cos x是偶函数且当x=kπ+,k∈Z时,cos x=0
B
y=sin x不是偶函数错误
C
y=ln x的定义域为x>0,故y=ln x不具备奇偶性错误
D
y=x2+1是偶函数,但x2+1=0无解,即不存在零点错误
知识点检索号2
3.(2015·安徽高考理科·T3)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20⇒x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.知识点检索号45
4.(2015·安徽高考理科·T4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()
A.x2-=1
B.-y2=1
C.-x2=1
D.y2-=1
【解析】选C.由题意可知选项A,B所表示的双曲线焦点在x轴上,所以A,B不正确;由选项C可知双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选C.
知识点检索号37
5.(2015·安徽高考理科·T5)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是()
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
【解析】选D.
选项具体分析结
论
A平面α,β垂直于同一个平面,则α,β相交或平行错
误B直线m,n平行于同一个平面,则m与n平行、相交、异面错
误
C若α,β不平行,则在α内存在与β平行的直线,如α中平行于α与β交线的直线,则此直线也平
行于平面β错误
D若m,n垂直于同一个平面,则m∥n,其逆否命题即为选项D正
确
知识点检索号50
6.(2015·安徽高考理科·T6)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为()
A.8
B.15
C.16
D.32
【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.
【解析】选C.样本数据x 1,x2,…,x10的标准差=8,则DX=64,而样本数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差D(2X-1)=22DX=22×64,所以其标准差为=16.
知识点检索号36
7.(2015·安徽高考理科·T7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()
A.1+
B.2+
C.1+2
D.2
【解题指南】根据三视图画出几何体的直观图进行计算.
【解析】选B.由该四面体的三视图可知,该四面体的直观图如图所示:
其中侧面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=,取AC的中点O,连接PO,BO,则在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB=,所以S=2××2+×2×2=2+.
知识点检索号22
8.(2015·安徽高考理科·T8)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()
A.|b|=1
B.a⊥b
C.a·b=1
D.(4a+b)⊥
【解题指南】根据向量的线性运算法则和数量积进行计算判断.
【解析】选D.因为=-=(2a+b)-2a=b,
所以|b|=2,故A错误;
由于·=2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=2×2×=2,
所以2a·b=2-4|a|2=-2,
所以a·b=-1,故B,C错误;
又因为(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×1×2×+4=0,
所以(4a+b)⊥,故D正确.
知识点检索号8
9.(2015·安徽高考理科·T9)函数f(x)=的图像如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b>0,c<0
D.a<0,b<0,c<0
【解题指南】根据图像特征取特殊值进行判断.
【解析】选C.由题中图像可知-c>0,
所以c<0,当x=0时,f(0)=>0⇒b>0,
当y=0时,ax+b=0⇒x=->0⇒a<0.
知识点检索号16
10.(2015·安徽高考理科·T10)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()
A.f<f<f
B.f<f<f
C.f<f<f
D.f<f<f
【解题指南】求出函数f(x)的解析式,利用正弦函数的图像和性质进行判断.
【解析】选A.因为函数f=A sin(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,
所以T==π⇒ω=2,
所以f=A sin,
当x=时,2×+φ=+2kπ,k∈N⇒φ=+2kπ,k∈N,
所以f=A sin,
当2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时函数f取得最大值.
下面只需要判断2,-2,0与最近的最高点处对称轴的距离,距离越大,函数值越小.
当k=0时,x=,≈0.52,≈1.48;
当k=1时,x=,≈1.67;
当k=-1时,x=-,≈0.62,
所以f<f<f.
知识点检索号53
11.(2015·安徽高考理科·T11)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)
【解题指南】利用二项展开式的通项公式计算.
【解析】因为T r+1=(x3)7-r·=x21-4r,
所以令21-4r=5,得r=4,故所求系数为=35.
答案:35
知识点检索号59
12.(2015·安徽高考理科·T12)在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是.
【解题指南】将极坐标化为普通方程,求出圆心到直线的距离,再加上半径,即为所求.
【解析】因为ρ=8sinθ,所以x2+y2=8y,
即x2+(y-4)2=16,
又直线θ=(ρ∈R),
所以y=x,圆心(0,4)到直线y=x的距离为2,
又圆的半径为4,故所求最大值为6.
答案:6
知识点检索号49
13.(2015·安徽高考理科·T13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为.
【解题指南】利用循环结构逐次计算,直到退出循环,输出结果.
【解析】执行第一次循环体a=,n=2;此时|a-1.414|=|1.5-1.414|=0.086>0.005;
执行第二次循环体a=,n=3;此时|a-1.414|=|1.4-1.414|=0.014>0.005;
执行第三次循环体a=,n=4;此时|a-1.414|<0.005,此时不满足判断条件,输出n=4.
答案:4
知识点检索号26
14.(2015·安徽高考理科·T14)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于.
【解题指南】先求出首项和公比,再由等比数列求和公式求解.
【解析】⇒a1=1,q=2,
所以S n==2n-1.
答案:2n-1
知识点检索号11
15.(2015·安徽高考理科·T15)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是(写出所有正确条件的编号)
①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;
③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.
【解题指南】利用函数的单调性及极值进行判断.
【解析】令f(x)=x3+ax+b,则f'(x)=3x2+a,当a≥0时,f'(x)≥0,f(x)是单调递增函数,必有一个实根,故④⑤正确;当a<0时,由于选项中a=-3,所以只考虑a=-3这一种情况.
此时f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
所以f(x)的极大值为f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)的极小值为f(1)=1-3+b=b-2,要有一个根,需满足b+2<0或b-2>0,b<-2或b>2,故①③正确.所以填①③④⑤.
答案:①③④⑤
知识点检索号19
16.(2015·安徽高考理科·T16)在△ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.【解析】由余弦定理得:
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=62+(3)2-2×6×3×cos=90,
所以BC=3,
在△ABD中,设∠ADB=θ,则∠ADC=180°-θ,
设AD=x,
则BD=x,DC=3-x,由余弦定理得:
AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosθ,
即36=2x2-2x2cosθ(1)
AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ),
即18=x2+(3-x)2+2x·(3-x)·cosθ(2)
由(1)(2)解得x=,即AD=.
知识点检索号55
17.(2015·安徽高考理科·T17)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率.
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
【解析】(1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为P=×=.
(2)由题意可知X的可能取值为200,300,400,则
P(X=200)==;
P(X=300)=+=;
P(X=400)=+=,
所以X的分布列如下所示:
X200300400
P
所以EX=200×+300×+400×=350.
知识点检索号28
18.(2015·安徽高考理科·T18)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{x n}的通项公式.
(2)记T n=…,证明:T n≥.
【解题指南】(1)根据导数的几何意义求出曲线的切线方程,从而得出数列的通项公式.
(2)由数列的通项公式,合理进行放缩.
【解析】(1)y'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,
从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),
令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=.
(2)因为x n=,
所以T n=…=…,
当n=1时,T1=;
当n≥2时,因为==>==,
所以T n>×××…×=.
综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.
知识点检索号41
19.(2015·安徽高考理科·T19)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,点E为B1D1的中点,过点A1,D,E的平面交CD1于点F.
(1)证明:EF∥B1C.
(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.
【解题指南】(1)利用线面平行的判定和性质定理.
(2)建立空间直角坐标系,利用法向量求解.
【解析】(1)因为A1D∥B1C,A1D⊂平面A1DE,B1C⊄平面A1DE,
所以B1C∥平面A1DE,
又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,
所以EF∥B1C.
(2)以A为原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴单位正向量建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而点E是B1D1的中点,所以点E的坐标为(0.5,0.5,1).
设平面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),
又=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),
由n1⊥,n1⊥得:
令s1=t1=1,则n1=(-1,1,1),
设平面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),
又=(1,0,0),=(0,1,-1),同理可得:n2=(0,1,1),
所以结合图形可得二面角E-A1D-B1的余弦值为==.
知识点检索号47
20.(2015·安徽高考理科·T20)设椭圆E的方程为+=1,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足=2,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e.
(2)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.【解题指南】(1)由k OM=和椭圆的离心率公式求得.
(2)根据点N关于直线AB的对称点S的中点T在直线AB上且k NS·k AB=-1联立方程组求得b的值.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是,又k OM=,所以=,进而得a=b,c==2b,故e==.
(2)直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,从而有⇒b=3,所以a=3,故椭圆的方程为+=1.
知识点检索号11
21.(2015·安徽高考理科·T21)设函数f(x)=x2-ax+b.
(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
(2)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在上的最大值D.
(3)在(2)中,取a0=b0=0,求z=b-满足条件D≤1时的最大值.
【解析】(1)f(sin x)=sin2x-a sin x+b=sin x(sin x-a)+b,-<x<,
[f(sin x)]'=(2sin x-a)cos x,
因为-<x<,所以cos x>0,-2<2sin x<2,
①当a≤-2,b∈R时,函数f(sin x)在内单调递增,无极值;
②当a≥2,b∈R时,函数f(sin x)在内单调递减,无极值;
③当-2<a<2时,在内存在唯一的x0,使得2sin x0=a,-<x≤x0时,函数f(sin x)单调递减;x0≤x<时,函数f(sin x)单调递增;
因此,-2<a<2时,函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)=f=b-.
(2)当-<x<时,
=≤,
当(a0-a)(b-b0)≥0时,取x=,等号成立;
当(a0-a)(b-b0)<0时,取x=-,等号成立.
由此可知在上的最大值为D=|a 0-a|+|b-b0|.
(3)D≤1即为|a|+|b|≤1,此时0≤a2≤1,-1≤b≤1,从而z=b-≤1,取a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且z=b-=1,由此可知z=b-满足条件D≤1的最大值为1.。